Theorem ismeti 14367

Description: Properties that determine a metric. (Contributed by NM, 17-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismeti.0	⊢ 𝑋 ∈ V
ismeti.1	⊢ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ
ismeti.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
ismeti.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ismeti	⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Proof of Theorem ismeti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismeti.1	. 2 ⊢ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ
2		ismeti.2	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
3		ismeti.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
4	3	3expa 1205	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
5	4	ralrimiva 2563	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
6	2, 5	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))
7	6	rgen2a 2544	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
8		ismeti.0	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
9		ismet 14365	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦))))))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))))
11	1, 7, 10	mpbir2an 944	1 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  Vcvv 2756   class class class wbr 4025   × cxp 4649  ⟶wf 5238  ‘cfv 5242  (class class class)co 5904  ℝcr 7850  0cc0 7851   + caddc 7854   ≤ cle 8034  Metcmet 13896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-cnex 7942  ax-resscn 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3150  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-id 4318  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-fv 5250  df-ov 5907  df-oprab 5908  df-mpo 5909  df-1st 6173  df-2nd 6174  df-map 6684  df-met 13904

This theorem is referenced by:  0met  14405  cnmet  14551