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Theorem isosolem 5677
Description: Lemma for isoso 5678. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isosolem  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Or  B  ->  R  Or  A
) )

Proof of Theorem isosolem
Dummy variables  a  b  c  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isopolem 5675 . . 3  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Po  B  ->  R  Po  A
) )
2 df-3an 945 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  <->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A ) )
3 isof1o 5660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
4 f1of 5321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
5 ffvelrn 5505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  a  e.  A )  ->  ( H `  a
)  e.  B )
65ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( a  e.  A  ->  ( H `  a
)  e.  B ) )
7 ffvelrn 5505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  b  e.  A )  ->  ( H `  b
)  e.  B )
87ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( b  e.  A  ->  ( H `  b
)  e.  B ) )
9 ffvelrn 5505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  c  e.  A )  ->  ( H `  c
)  e.  B )
109ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( c  e.  A  ->  ( H `  c
)  e.  B ) )
116, 8, 103anim123d 1278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A --> B  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  ->  (
( H `  a
)  e.  B  /\  ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  c )  e.  B ) ) )
123, 4, 113syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  ->  (
( H `  a
)  e.  B  /\  ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  c )  e.  B ) ) )
1312imp 123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( ( H `  a )  e.  B  /\  ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  c )  e.  B ) )
14 breq1 3896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( H `  a )  ->  (
x S y  <->  ( H `  a ) S y ) )
15 breq1 3896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( H `  a )  ->  (
x S z  <->  ( H `  a ) S z ) )
1615orbi1d 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( H `  a )  ->  (
( x S z  \/  z S y )  <->  ( ( H `
 a ) S z  \/  z S y ) ) )
1714, 16imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( H `  a )  ->  (
( x S y  ->  ( x S z  \/  z S y ) )  <->  ( ( H `  a ) S y  ->  (
( H `  a
) S z  \/  z S y ) ) ) )
18 breq2 3897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S y  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
19 breq2 3897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( H `  b )  ->  (
z S y  <->  z S
( H `  b
) ) )
2019orbi2d 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( H `  b )  ->  (
( ( H `  a ) S z  \/  z S y )  <->  ( ( H `
 a ) S z  \/  z S ( H `  b
) ) ) )
2118, 20imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( H `  b )  ->  (
( ( H `  a ) S y  ->  ( ( H `
 a ) S z  \/  z S y ) )  <->  ( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S z  \/  z S ( H `
 b ) ) ) ) )
22 breq2 3897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( H `  c )  ->  (
( H `  a
) S z  <->  ( H `  a ) S ( H `  c ) ) )
23 breq1 3896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( H `  c )  ->  (
z S ( H `
 b )  <->  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) )
2422, 23orbi12d 765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( H `  c )  ->  (
( ( H `  a ) S z  \/  z S ( H `  b ) )  <->  ( ( H `
 a ) S ( H `  c
)  \/  ( H `
 c ) S ( H `  b
) ) ) )
2524imbi2d 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( H `  c )  ->  (
( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  ( ( H `
 a ) S z  \/  z S ( H `  b
) ) )  <->  ( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 c )  \/  ( H `  c
) S ( H `
 b ) ) ) ) )
2617, 21, 25rspc3v 2773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H `  a
)  e.  B  /\  ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  c )  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  ( x S z  \/  z S y ) )  -> 
( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  ( ( H `
 a ) S ( H `  c
)  \/  ( H `
 c ) S ( H `  b
) ) ) ) )
2713, 26syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x S y  -> 
( x S z  \/  z S y ) )  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 b )  -> 
( ( H `  a ) S ( H `  c )  \/  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) ) ) )
28 isorel 5661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
29283adantr3 1123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
30 isorel 5661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( a R c  <->  ( H `  a ) S ( H `  c ) ) )
31303adantr2 1122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( a R c  <->  ( H `  a ) S ( H `  c ) ) )
32 isorel 5661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
c  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  ( c R b  <->  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) )
3332ancom2s 538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( c R b  <->  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) )
34333adantr1 1121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( c R b  <->  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) )
3531, 34orbi12d 765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( (
a R c  \/  c R b )  <-> 
( ( H `  a ) S ( H `  c )  \/  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) ) )
3629, 35imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( (
a R b  -> 
( a R c  \/  c R b ) )  <->  ( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 c )  \/  ( H `  c
) S ( H `
 b ) ) ) ) )
3727, 36sylibrd 168 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x S y  -> 
( x S z  \/  z S y ) )  ->  (
a R b  -> 
( a R c  \/  c R b ) ) ) )
382, 37sylan2br 284 . . . . . 6  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
( a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A ) )  -> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  ( x S z  \/  z S y ) )  ->  ( a R b  ->  ( a R c  \/  c R b ) ) ) )
3938anassrs 395 . . . . 5  |-  ( ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  /\  c  e.  A )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  ( x S z  \/  z S y ) )  -> 
( a R b  ->  ( a R c  \/  c R b ) ) ) )
4039ralrimdva 2484 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x S y  -> 
( x S z  \/  z S y ) )  ->  A. c  e.  A  ( a R b  ->  (
a R c  \/  c R b ) ) ) )
4140ralrimdvva 2489 . . 3  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  (
x S z  \/  z S y ) )  ->  A. a  e.  A  A. b  e.  A  A. c  e.  A  ( a R b  ->  (
a R c  \/  c R b ) ) ) )
421, 41anim12d 331 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( S  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x S y  -> 
( x S z  \/  z S y ) ) )  -> 
( R  Po  A  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  A. c  e.  A  ( a R b  ->  ( a R c  \/  c R b ) ) ) ) )
43 df-iso 4177 . 2  |-  ( S  Or  B  <->  ( S  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  (
x S z  \/  z S y ) ) ) )
44 df-iso 4177 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  A. c  e.  A  ( a R b  ->  (
a R c  \/  c R b ) ) ) )
4542, 43, 443imtr4g 204 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Or  B  ->  R  Or  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    /\ w3a 943    = wceq 1312    e. wcel 1461   A.wral 2388   class class class wbr 3893    Po wpo 4174    Or wor 4175   -->wf 5075   -1-1-onto->wf1o 5078   ` cfv 5079    Isom wiso 5080
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-v 2657  df-sbc 2877  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-isom 5088
This theorem is referenced by:  isoso  5678
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