ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isosolem Unicode version

Theorem isosolem 5819
Description: Lemma for isoso 5820. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isosolem  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Or  B  ->  R  Or  A
) )

Proof of Theorem isosolem
Dummy variables  a  b  c  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isopolem 5817 . . 3  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Po  B  ->  R  Po  A
) )
2 df-3an 980 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  <->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A ) )
3 isof1o 5802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
4 f1of 5457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
5 ffvelcdm 5645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  a  e.  A )  ->  ( H `  a
)  e.  B )
65ex 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( a  e.  A  ->  ( H `  a
)  e.  B ) )
7 ffvelcdm 5645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  b  e.  A )  ->  ( H `  b
)  e.  B )
87ex 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( b  e.  A  ->  ( H `  b
)  e.  B ) )
9 ffvelcdm 5645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  c  e.  A )  ->  ( H `  c
)  e.  B )
109ex 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( c  e.  A  ->  ( H `  c
)  e.  B ) )
116, 8, 103anim123d 1319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A --> B  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  ->  (
( H `  a
)  e.  B  /\  ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  c )  e.  B ) ) )
123, 4, 113syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  ->  (
( H `  a
)  e.  B  /\  ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  c )  e.  B ) ) )
1312imp 124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( ( H `  a )  e.  B  /\  ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  c )  e.  B ) )
14 breq1 4003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( H `  a )  ->  (
x S y  <->  ( H `  a ) S y ) )
15 breq1 4003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( H `  a )  ->  (
x S z  <->  ( H `  a ) S z ) )
1615orbi1d 791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( H `  a )  ->  (
( x S z  \/  z S y )  <->  ( ( H `
 a ) S z  \/  z S y ) ) )
1714, 16imbi12d 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( H `  a )  ->  (
( x S y  ->  ( x S z  \/  z S y ) )  <->  ( ( H `  a ) S y  ->  (
( H `  a
) S z  \/  z S y ) ) ) )
18 breq2 4004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S y  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
19 breq2 4004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( H `  b )  ->  (
z S y  <->  z S
( H `  b
) ) )
2019orbi2d 790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( H `  b )  ->  (
( ( H `  a ) S z  \/  z S y )  <->  ( ( H `
 a ) S z  \/  z S ( H `  b
) ) ) )
2118, 20imbi12d 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( H `  b )  ->  (
( ( H `  a ) S y  ->  ( ( H `
 a ) S z  \/  z S y ) )  <->  ( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S z  \/  z S ( H `
 b ) ) ) ) )
22 breq2 4004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( H `  c )  ->  (
( H `  a
) S z  <->  ( H `  a ) S ( H `  c ) ) )
23 breq1 4003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( H `  c )  ->  (
z S ( H `
 b )  <->  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) )
2422, 23orbi12d 793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( H `  c )  ->  (
( ( H `  a ) S z  \/  z S ( H `  b ) )  <->  ( ( H `
 a ) S ( H `  c
)  \/  ( H `
 c ) S ( H `  b
) ) ) )
2524imbi2d 230 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( H `  c )  ->  (
( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  ( ( H `
 a ) S z  \/  z S ( H `  b
) ) )  <->  ( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 c )  \/  ( H `  c
) S ( H `
 b ) ) ) ) )
2617, 21, 25rspc3v 2857 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H `  a
)  e.  B  /\  ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  c )  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  ( x S z  \/  z S y ) )  -> 
( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  ( ( H `
 a ) S ( H `  c
)  \/  ( H `
 c ) S ( H `  b
) ) ) ) )
2713, 26syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x S y  -> 
( x S z  \/  z S y ) )  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 b )  -> 
( ( H `  a ) S ( H `  c )  \/  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) ) ) )
28 isorel 5803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
29283adantr3 1158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
30 isorel 5803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( a R c  <->  ( H `  a ) S ( H `  c ) ) )
31303adantr2 1157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( a R c  <->  ( H `  a ) S ( H `  c ) ) )
32 isorel 5803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
c  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  ( c R b  <->  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) )
3332ancom2s 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( c R b  <->  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) )
34333adantr1 1156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( c R b  <->  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) )
3531, 34orbi12d 793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( (
a R c  \/  c R b )  <-> 
( ( H `  a ) S ( H `  c )  \/  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) ) )
3629, 35imbi12d 234 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( (
a R b  -> 
( a R c  \/  c R b ) )  <->  ( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 c )  \/  ( H `  c
) S ( H `
 b ) ) ) ) )
3727, 36sylibrd 169 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x S y  -> 
( x S z  \/  z S y ) )  ->  (
a R b  -> 
( a R c  \/  c R b ) ) ) )
382, 37sylan2br 288 . . . . . 6  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
( a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A ) )  -> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  ( x S z  \/  z S y ) )  ->  ( a R b  ->  ( a R c  \/  c R b ) ) ) )
3938anassrs 400 . . . . 5  |-  ( ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  /\  c  e.  A )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  ( x S z  \/  z S y ) )  -> 
( a R b  ->  ( a R c  \/  c R b ) ) ) )
4039ralrimdva 2557 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x S y  -> 
( x S z  \/  z S y ) )  ->  A. c  e.  A  ( a R b  ->  (
a R c  \/  c R b ) ) ) )
4140ralrimdvva 2562 . . 3  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  (
x S z  \/  z S y ) )  ->  A. a  e.  A  A. b  e.  A  A. c  e.  A  ( a R b  ->  (
a R c  \/  c R b ) ) ) )
421, 41anim12d 335 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( S  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x S y  -> 
( x S z  \/  z S y ) ) )  -> 
( R  Po  A  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  A. c  e.  A  ( a R b  ->  ( a R c  \/  c R b ) ) ) ) )
43 df-iso 4294 . 2  |-  ( S  Or  B  <->  ( S  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  (
x S z  \/  z S y ) ) ) )
44 df-iso 4294 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  A. c  e.  A  ( a R b  ->  (
a R c  \/  c R b ) ) ) )
4542, 43, 443imtr4g 205 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Or  B  ->  R  Or  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   class class class wbr 4000    Po wpo 4291    Or wor 4292   -->wf 5208   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212    Isom wiso 5213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221
This theorem is referenced by:  isoso  5820
  Copyright terms: Public domain W3C validator