Theorem isosolem 5960

Description: Lemma for isoso 5961. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isosolem	|- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Or B -> R Or A ) )

Proof of Theorem isosolem

Dummy variables a b c x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isopolem 5958	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Po B -> R Po A ) )
2		df-3an 1004	. . . . . . 7 |- ( ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) <-> ( ( a e. A /\ b e. A ) /\ c e. A ) )
3		isof1o 5943	. . . . . . . . . . 11 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
4		f1of 5580	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
5		ffvelcdm 5776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ a e. A ) -> ( H ` a ) e. B )
6	5	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( a e. A -> ( H ` a ) e. B ) )
7		ffvelcdm 5776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ b e. A ) -> ( H ` b ) e. B )
8	7	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( b e. A -> ( H ` b ) e. B ) )
9		ffvelcdm 5776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ c e. A ) -> ( H ` c ) e. B )
10	9	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( c e. A -> ( H ` c ) e. B ) )
11	6, 8, 10	3anim123d 1353	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : A --> B -> ( ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) -> ( ( H ` a ) e. B /\ ( H ` b ) e. B /\ ( H ` c ) e. B ) ) )
12	3, 4, 11	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) -> ( ( H ` a ) e. B /\ ( H ` b ) e. B /\ ( H ` c ) e. B ) ) )
13	12	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( ( H ` a ) e. B /\ ( H ` b ) e. B /\ ( H ` c ) e. B ) )
14		breq1 4089	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( H ` a ) -> ( x S y <-> ( H ` a ) S y ) )
15		breq1 4089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( H ` a ) -> ( x S z <-> ( H ` a ) S z ) )
16	15	orbi1d 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( H ` a ) -> ( ( x S z \/ z S y ) <-> ( ( H ` a ) S z \/ z S y ) ) )
17	14, 16	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( H ` a ) -> ( ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) <-> ( ( H ` a ) S y -> ( ( H ` a ) S z \/ z S y ) ) ) )
18		breq2 4090	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S y <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
19		breq2 4090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( H ` b ) -> ( z S y <-> z S ( H ` b ) ) )
20	19	orbi2d 795	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( H ` b ) -> ( ( ( H ` a ) S z \/ z S y ) <-> ( ( H ` a ) S z \/ z S ( H ` b ) ) ) )
21	18, 20	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( H ` b ) -> ( ( ( H ` a ) S y -> ( ( H ` a ) S z \/ z S y ) ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S z \/ z S ( H ` b ) ) ) ) )
22		breq2 4090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( H ` c ) -> ( ( H ` a ) S z <-> ( H ` a ) S ( H ` c ) ) )
23		breq1 4089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( H ` c ) -> ( z S ( H ` b ) <-> ( H ` c ) S ( H ` b ) ) )
24	22, 23	orbi12d 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( H ` c ) -> ( ( ( H ` a ) S z \/ z S ( H ` b ) ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) )
25	24	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( H ` c ) -> ( ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S z \/ z S ( H ` b ) ) ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) ) )
26	17, 21, 25	rspc3v 2924	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` a ) e. B /\ ( H ` b ) e. B /\ ( H ` c ) e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) ) )
27	13, 26	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) ) )
28		isorel 5944	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
29	28	3adantr3 1182	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
30		isorel 5944	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ c e. A ) ) -> ( a R c <-> ( H ` a ) S ( H ` c ) ) )
31	30	3adantr2 1181	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( a R c <-> ( H ` a ) S ( H ` c ) ) )
32		isorel 5944	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( c e. A /\ b e. A ) ) -> ( c R b <-> ( H ` c ) S ( H ` b ) ) )
33	32	ancom2s 566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) -> ( c R b <-> ( H ` c ) S ( H ` b ) ) )
34	33	3adantr1 1180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( c R b <-> ( H ` c ) S ( H ` b ) ) )
35	31, 34	orbi12d 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( ( a R c \/ c R b ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) )
36	29, 35	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) ) )
37	27, 36	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
38	2, 37	sylan2br 288	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. A ) /\ c e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
39	38	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) /\ c e. A ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
40	39	ralrimdva 2610	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> A. c e. A ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
41	40	ralrimdvva 2615	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> A. a e. A A. b e. A A. c e. A ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
42	1, 41	anim12d 335	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( ( S Po B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) ) -> ( R Po A /\ A. a e. A A. b e. A A. c e. A ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) ) )
43		df-iso 4392	. 2 |- ( S Or B <-> ( S Po B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) ) )
44		df-iso 4392	. 2 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. a e. A A. b e. A A. c e. A ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
45	42, 43, 44	3imtr4g 205	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Or B -> R Or A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   class class class wbr 4086   Po wpo 4389   Or wor 4390   -->wf 5320   -1-1-onto->wf1o 5323   ` cfv 5324   Isom wiso 5325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333

This theorem is referenced by:  isoso  5961