Theorem isosolem 5803

Description: Lemma for isoso 5804. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isosolem	|- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Or B -> R Or A ) )

Proof of Theorem isosolem

Dummy variables a b c x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isopolem 5801	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Po B -> R Po A ) )
2		df-3an 975	. . . . . . 7 |- ( ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) <-> ( ( a e. A /\ b e. A ) /\ c e. A ) )
3		isof1o 5786	. . . . . . . . . . 11 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
4		f1of 5442	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
5		ffvelrn 5629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ a e. A ) -> ( H ` a ) e. B )
6	5	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( a e. A -> ( H ` a ) e. B ) )
7		ffvelrn 5629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ b e. A ) -> ( H ` b ) e. B )
8	7	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( b e. A -> ( H ` b ) e. B ) )
9		ffvelrn 5629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ c e. A ) -> ( H ` c ) e. B )
10	9	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( c e. A -> ( H ` c ) e. B ) )
11	6, 8, 10	3anim123d 1314	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : A --> B -> ( ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) -> ( ( H ` a ) e. B /\ ( H ` b ) e. B /\ ( H ` c ) e. B ) ) )
12	3, 4, 11	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) -> ( ( H ` a ) e. B /\ ( H ` b ) e. B /\ ( H ` c ) e. B ) ) )
13	12	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( ( H ` a ) e. B /\ ( H ` b ) e. B /\ ( H ` c ) e. B ) )
14		breq1 3992	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( H ` a ) -> ( x S y <-> ( H ` a ) S y ) )
15		breq1 3992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( H ` a ) -> ( x S z <-> ( H ` a ) S z ) )
16	15	orbi1d 786	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( H ` a ) -> ( ( x S z \/ z S y ) <-> ( ( H ` a ) S z \/ z S y ) ) )
17	14, 16	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( H ` a ) -> ( ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) <-> ( ( H ` a ) S y -> ( ( H ` a ) S z \/ z S y ) ) ) )
18		breq2 3993	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S y <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
19		breq2 3993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( H ` b ) -> ( z S y <-> z S ( H ` b ) ) )
20	19	orbi2d 785	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( H ` b ) -> ( ( ( H ` a ) S z \/ z S y ) <-> ( ( H ` a ) S z \/ z S ( H ` b ) ) ) )
21	18, 20	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( H ` b ) -> ( ( ( H ` a ) S y -> ( ( H ` a ) S z \/ z S y ) ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S z \/ z S ( H ` b ) ) ) ) )
22		breq2 3993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( H ` c ) -> ( ( H ` a ) S z <-> ( H ` a ) S ( H ` c ) ) )
23		breq1 3992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( H ` c ) -> ( z S ( H ` b ) <-> ( H ` c ) S ( H ` b ) ) )
24	22, 23	orbi12d 788	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( H ` c ) -> ( ( ( H ` a ) S z \/ z S ( H ` b ) ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) )
25	24	imbi2d 229	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( H ` c ) -> ( ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S z \/ z S ( H ` b ) ) ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) ) )
26	17, 21, 25	rspc3v 2850	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` a ) e. B /\ ( H ` b ) e. B /\ ( H ` c ) e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) ) )
27	13, 26	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) ) )
28		isorel 5787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
29	28	3adantr3 1153	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
30		isorel 5787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ c e. A ) ) -> ( a R c <-> ( H ` a ) S ( H ` c ) ) )
31	30	3adantr2 1152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( a R c <-> ( H ` a ) S ( H ` c ) ) )
32		isorel 5787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( c e. A /\ b e. A ) ) -> ( c R b <-> ( H ` c ) S ( H ` b ) ) )
33	32	ancom2s 561	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) -> ( c R b <-> ( H ` c ) S ( H ` b ) ) )
34	33	3adantr1 1151	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( c R b <-> ( H ` c ) S ( H ` b ) ) )
35	31, 34	orbi12d 788	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( ( a R c \/ c R b ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) )
36	29, 35	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) ) )
37	27, 36	sylibrd 168	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
38	2, 37	sylan2br 286	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. A ) /\ c e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
39	38	anassrs 398	. . . . 5 |- ( ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) /\ c e. A ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
40	39	ralrimdva 2550	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> A. c e. A ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
41	40	ralrimdvva 2555	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> A. a e. A A. b e. A A. c e. A ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
42	1, 41	anim12d 333	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( ( S Po B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) ) -> ( R Po A /\ A. a e. A A. b e. A A. c e. A ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) ) )
43		df-iso 4282	. 2 |- ( S Or B <-> ( S Po B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) ) )
44		df-iso 4282	. 2 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. a e. A A. b e. A A. c e. A ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
45	42, 43, 44	3imtr4g 204	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Or B -> R Or A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   class class class wbr 3989   Po wpo 4279   Or wor 4280   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198   Isom wiso 5199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207

This theorem is referenced by:  isoso  5804