Theorem isosolem 5677

Description: Lemma for isoso 5678. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isosolem	|- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Or B -> R Or A ) )

Proof of Theorem isosolem

Dummy variables a b c x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isopolem 5675	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Po B -> R Po A ) )
2		df-3an 945	. . . . . . 7 |- ( ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) <-> ( ( a e. A /\ b e. A ) /\ c e. A ) )
3		isof1o 5660	. . . . . . . . . . 11 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
4		f1of 5321	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
5		ffvelrn 5505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ a e. A ) -> ( H ` a ) e. B )
6	5	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( a e. A -> ( H ` a ) e. B ) )
7		ffvelrn 5505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ b e. A ) -> ( H ` b ) e. B )
8	7	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( b e. A -> ( H ` b ) e. B ) )
9		ffvelrn 5505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ c e. A ) -> ( H ` c ) e. B )
10	9	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( c e. A -> ( H ` c ) e. B ) )
11	6, 8, 10	3anim123d 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : A --> B -> ( ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) -> ( ( H ` a ) e. B /\ ( H ` b ) e. B /\ ( H ` c ) e. B ) ) )
12	3, 4, 11	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) -> ( ( H ` a ) e. B /\ ( H ` b ) e. B /\ ( H ` c ) e. B ) ) )
13	12	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( ( H ` a ) e. B /\ ( H ` b ) e. B /\ ( H ` c ) e. B ) )
14		breq1 3896	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( H ` a ) -> ( x S y <-> ( H ` a ) S y ) )
15		breq1 3896	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( H ` a ) -> ( x S z <-> ( H ` a ) S z ) )
16	15	orbi1d 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( H ` a ) -> ( ( x S z \/ z S y ) <-> ( ( H ` a ) S z \/ z S y ) ) )
17	14, 16	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( H ` a ) -> ( ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) <-> ( ( H ` a ) S y -> ( ( H ` a ) S z \/ z S y ) ) ) )
18		breq2 3897	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S y <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
19		breq2 3897	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( H ` b ) -> ( z S y <-> z S ( H ` b ) ) )
20	19	orbi2d 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( H ` b ) -> ( ( ( H ` a ) S z \/ z S y ) <-> ( ( H ` a ) S z \/ z S ( H ` b ) ) ) )
21	18, 20	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( H ` b ) -> ( ( ( H ` a ) S y -> ( ( H ` a ) S z \/ z S y ) ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S z \/ z S ( H ` b ) ) ) ) )
22		breq2 3897	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( H ` c ) -> ( ( H ` a ) S z <-> ( H ` a ) S ( H ` c ) ) )
23		breq1 3896	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( H ` c ) -> ( z S ( H ` b ) <-> ( H ` c ) S ( H ` b ) ) )
24	22, 23	orbi12d 765	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( H ` c ) -> ( ( ( H ` a ) S z \/ z S ( H ` b ) ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) )
25	24	imbi2d 229	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( H ` c ) -> ( ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S z \/ z S ( H ` b ) ) ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) ) )
26	17, 21, 25	rspc3v 2773	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` a ) e. B /\ ( H ` b ) e. B /\ ( H ` c ) e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) ) )
27	13, 26	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) ) )
28		isorel 5661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
29	28	3adantr3 1123	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
30		isorel 5661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ c e. A ) ) -> ( a R c <-> ( H ` a ) S ( H ` c ) ) )
31	30	3adantr2 1122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( a R c <-> ( H ` a ) S ( H ` c ) ) )
32		isorel 5661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( c e. A /\ b e. A ) ) -> ( c R b <-> ( H ` c ) S ( H ` b ) ) )
33	32	ancom2s 538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) -> ( c R b <-> ( H ` c ) S ( H ` b ) ) )
34	33	3adantr1 1121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( c R b <-> ( H ` c ) S ( H ` b ) ) )
35	31, 34	orbi12d 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( ( a R c \/ c R b ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) )
36	29, 35	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) ) )
37	27, 36	sylibrd 168	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
38	2, 37	sylan2br 284	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. A ) /\ c e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
39	38	anassrs 395	. . . . 5 |- ( ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) /\ c e. A ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
40	39	ralrimdva 2484	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> A. c e. A ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
41	40	ralrimdvva 2489	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> A. a e. A A. b e. A A. c e. A ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
42	1, 41	anim12d 331	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( ( S Po B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) ) -> ( R Po A /\ A. a e. A A. b e. A A. c e. A ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) ) )
43		df-iso 4177	. 2 |- ( S Or B <-> ( S Po B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) ) )
44		df-iso 4177	. 2 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. a e. A A. b e. A A. c e. A ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
45	42, 43, 44	3imtr4g 204	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Or B -> R Or A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 680   /\ w3a 943   = wceq 1312   e. wcel 1461   A.wral 2388   class class class wbr 3893   Po wpo 4174   Or wor 4175   -->wf 5075   -1-1-onto->wf1o 5078   ` cfv 5079   Isom wiso 5080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-v 2657  df-sbc 2877  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-isom 5088

This theorem is referenced by:  isoso  5678