Theorem isosolem 5815

Description: Lemma for isoso 5816. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isosolem	|- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Or B -> R Or A ) )

Proof of Theorem isosolem

Dummy variables a b c x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isopolem 5813	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Po B -> R Po A ) )
2		df-3an 980	. . . . . . 7 |- ( ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) <-> ( ( a e. A /\ b e. A ) /\ c e. A ) )
3		isof1o 5798	. . . . . . . . . . 11 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
4		f1of 5453	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
5		ffvelcdm 5641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ a e. A ) -> ( H ` a ) e. B )
6	5	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( a e. A -> ( H ` a ) e. B ) )
7		ffvelcdm 5641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ b e. A ) -> ( H ` b ) e. B )
8	7	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( b e. A -> ( H ` b ) e. B ) )
9		ffvelcdm 5641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ c e. A ) -> ( H ` c ) e. B )
10	9	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( c e. A -> ( H ` c ) e. B ) )
11	6, 8, 10	3anim123d 1319	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : A --> B -> ( ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) -> ( ( H ` a ) e. B /\ ( H ` b ) e. B /\ ( H ` c ) e. B ) ) )
12	3, 4, 11	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) -> ( ( H ` a ) e. B /\ ( H ` b ) e. B /\ ( H ` c ) e. B ) ) )
13	12	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( ( H ` a ) e. B /\ ( H ` b ) e. B /\ ( H ` c ) e. B ) )
14		breq1 4001	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( H ` a ) -> ( x S y <-> ( H ` a ) S y ) )
15		breq1 4001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( H ` a ) -> ( x S z <-> ( H ` a ) S z ) )
16	15	orbi1d 791	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( H ` a ) -> ( ( x S z \/ z S y ) <-> ( ( H ` a ) S z \/ z S y ) ) )
17	14, 16	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( H ` a ) -> ( ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) <-> ( ( H ` a ) S y -> ( ( H ` a ) S z \/ z S y ) ) ) )
18		breq2 4002	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S y <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
19		breq2 4002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( H ` b ) -> ( z S y <-> z S ( H ` b ) ) )
20	19	orbi2d 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( H ` b ) -> ( ( ( H ` a ) S z \/ z S y ) <-> ( ( H ` a ) S z \/ z S ( H ` b ) ) ) )
21	18, 20	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( H ` b ) -> ( ( ( H ` a ) S y -> ( ( H ` a ) S z \/ z S y ) ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S z \/ z S ( H ` b ) ) ) ) )
22		breq2 4002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( H ` c ) -> ( ( H ` a ) S z <-> ( H ` a ) S ( H ` c ) ) )
23		breq1 4001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( H ` c ) -> ( z S ( H ` b ) <-> ( H ` c ) S ( H ` b ) ) )
24	22, 23	orbi12d 793	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( H ` c ) -> ( ( ( H ` a ) S z \/ z S ( H ` b ) ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) )
25	24	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( H ` c ) -> ( ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S z \/ z S ( H ` b ) ) ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) ) )
26	17, 21, 25	rspc3v 2855	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` a ) e. B /\ ( H ` b ) e. B /\ ( H ` c ) e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) ) )
27	13, 26	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) ) )
28		isorel 5799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
29	28	3adantr3 1158	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
30		isorel 5799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ c e. A ) ) -> ( a R c <-> ( H ` a ) S ( H ` c ) ) )
31	30	3adantr2 1157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( a R c <-> ( H ` a ) S ( H ` c ) ) )
32		isorel 5799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( c e. A /\ b e. A ) ) -> ( c R b <-> ( H ` c ) S ( H ` b ) ) )
33	32	ancom2s 566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) -> ( c R b <-> ( H ` c ) S ( H ` b ) ) )
34	33	3adantr1 1156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( c R b <-> ( H ` c ) S ( H ` b ) ) )
35	31, 34	orbi12d 793	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( ( a R c \/ c R b ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) )
36	29, 35	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) <-> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` c ) \/ ( H ` c ) S ( H ` b ) ) ) ) )
37	27, 36	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A /\ c e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
38	2, 37	sylan2br 288	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. A ) /\ c e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
39	38	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) /\ c e. A ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
40	39	ralrimdva 2555	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> A. c e. A ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
41	40	ralrimdvva 2560	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) -> A. a e. A A. b e. A A. c e. A ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
42	1, 41	anim12d 335	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( ( S Po B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) ) -> ( R Po A /\ A. a e. A A. b e. A A. c e. A ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) ) )
43		df-iso 4291	. 2 |- ( S Or B <-> ( S Po B /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x S y -> ( x S z \/ z S y ) ) ) )
44		df-iso 4291	. 2 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. a e. A A. b e. A A. c e. A ( a R b -> ( a R c \/ c R b ) ) ) )
45	42, 43, 44	3imtr4g 205	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Or B -> R Or A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   class class class wbr 3998   Po wpo 4288   Or wor 4289   -->wf 5204   -1-1-onto->wf1o 5207   ` cfv 5208   Isom wiso 5209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-sbc 2961  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217

This theorem is referenced by:  isoso  5816