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Theorem isosolem 5728
Description: Lemma for isoso 5729. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isosolem  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Or  B  ->  R  Or  A
) )

Proof of Theorem isosolem
Dummy variables  a  b  c  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isopolem 5726 . . 3  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Po  B  ->  R  Po  A
) )
2 df-3an 964 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  <->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A ) )
3 isof1o 5711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
4 f1of 5370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
5 ffvelrn 5556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  a  e.  A )  ->  ( H `  a
)  e.  B )
65ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( a  e.  A  ->  ( H `  a
)  e.  B ) )
7 ffvelrn 5556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  b  e.  A )  ->  ( H `  b
)  e.  B )
87ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( b  e.  A  ->  ( H `  b
)  e.  B ) )
9 ffvelrn 5556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  c  e.  A )  ->  ( H `  c
)  e.  B )
109ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( c  e.  A  ->  ( H `  c
)  e.  B ) )
116, 8, 103anim123d 1297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A --> B  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  ->  (
( H `  a
)  e.  B  /\  ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  c )  e.  B ) ) )
123, 4, 113syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  ->  (
( H `  a
)  e.  B  /\  ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  c )  e.  B ) ) )
1312imp 123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( ( H `  a )  e.  B  /\  ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  c )  e.  B ) )
14 breq1 3935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( H `  a )  ->  (
x S y  <->  ( H `  a ) S y ) )
15 breq1 3935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( H `  a )  ->  (
x S z  <->  ( H `  a ) S z ) )
1615orbi1d 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( H `  a )  ->  (
( x S z  \/  z S y )  <->  ( ( H `
 a ) S z  \/  z S y ) ) )
1714, 16imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( H `  a )  ->  (
( x S y  ->  ( x S z  \/  z S y ) )  <->  ( ( H `  a ) S y  ->  (
( H `  a
) S z  \/  z S y ) ) ) )
18 breq2 3936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S y  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
19 breq2 3936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( H `  b )  ->  (
z S y  <->  z S
( H `  b
) ) )
2019orbi2d 779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( H `  b )  ->  (
( ( H `  a ) S z  \/  z S y )  <->  ( ( H `
 a ) S z  \/  z S ( H `  b
) ) ) )
2118, 20imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( H `  b )  ->  (
( ( H `  a ) S y  ->  ( ( H `
 a ) S z  \/  z S y ) )  <->  ( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S z  \/  z S ( H `
 b ) ) ) ) )
22 breq2 3936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( H `  c )  ->  (
( H `  a
) S z  <->  ( H `  a ) S ( H `  c ) ) )
23 breq1 3935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( H `  c )  ->  (
z S ( H `
 b )  <->  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) )
2422, 23orbi12d 782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( H `  c )  ->  (
( ( H `  a ) S z  \/  z S ( H `  b ) )  <->  ( ( H `
 a ) S ( H `  c
)  \/  ( H `
 c ) S ( H `  b
) ) ) )
2524imbi2d 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( H `  c )  ->  (
( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  ( ( H `
 a ) S z  \/  z S ( H `  b
) ) )  <->  ( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 c )  \/  ( H `  c
) S ( H `
 b ) ) ) ) )
2617, 21, 25rspc3v 2805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H `  a
)  e.  B  /\  ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  c )  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  ( x S z  \/  z S y ) )  -> 
( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  ( ( H `
 a ) S ( H `  c
)  \/  ( H `
 c ) S ( H `  b
) ) ) ) )
2713, 26syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x S y  -> 
( x S z  \/  z S y ) )  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 b )  -> 
( ( H `  a ) S ( H `  c )  \/  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) ) ) )
28 isorel 5712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
29283adantr3 1142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
30 isorel 5712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( a R c  <->  ( H `  a ) S ( H `  c ) ) )
31303adantr2 1141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( a R c  <->  ( H `  a ) S ( H `  c ) ) )
32 isorel 5712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
c  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  ( c R b  <->  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) )
3332ancom2s 555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( c R b  <->  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) )
34333adantr1 1140 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( c R b  <->  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) )
3531, 34orbi12d 782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( (
a R c  \/  c R b )  <-> 
( ( H `  a ) S ( H `  c )  \/  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) ) )
3629, 35imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( (
a R b  -> 
( a R c  \/  c R b ) )  <->  ( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 c )  \/  ( H `  c
) S ( H `
 b ) ) ) ) )
3727, 36sylibrd 168 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x S y  -> 
( x S z  \/  z S y ) )  ->  (
a R b  -> 
( a R c  \/  c R b ) ) ) )
382, 37sylan2br 286 . . . . . 6  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
( a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A ) )  -> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  ( x S z  \/  z S y ) )  ->  ( a R b  ->  ( a R c  \/  c R b ) ) ) )
3938anassrs 397 . . . . 5  |-  ( ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  /\  c  e.  A )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  ( x S z  \/  z S y ) )  -> 
( a R b  ->  ( a R c  \/  c R b ) ) ) )
4039ralrimdva 2512 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x S y  -> 
( x S z  \/  z S y ) )  ->  A. c  e.  A  ( a R b  ->  (
a R c  \/  c R b ) ) ) )
4140ralrimdvva 2517 . . 3  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  (
x S z  \/  z S y ) )  ->  A. a  e.  A  A. b  e.  A  A. c  e.  A  ( a R b  ->  (
a R c  \/  c R b ) ) ) )
421, 41anim12d 333 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( S  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x S y  -> 
( x S z  \/  z S y ) ) )  -> 
( R  Po  A  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  A. c  e.  A  ( a R b  ->  ( a R c  \/  c R b ) ) ) ) )
43 df-iso 4222 . 2  |-  ( S  Or  B  <->  ( S  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  (
x S z  \/  z S y ) ) ) )
44 df-iso 4222 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  A. c  e.  A  ( a R b  ->  (
a R c  \/  c R b ) ) ) )
4542, 43, 443imtr4g 204 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Or  B  ->  R  Or  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   class class class wbr 3932    Po wpo 4219    Or wor 4220   -->wf 5122   -1-1-onto->wf1o 5125   ` cfv 5126    Isom wiso 5127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-br 3933  df-opab 3993  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-isom 5135
This theorem is referenced by:  isoso  5729
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