Theorem leadd1dd 8888

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
leadd1dd.4	|- ( ph -> A <_ B )

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	|- ( ph -> ( A + C ) <_ ( B + C ) )

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		leidd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltnegd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltadd1d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
5	2, 3, 4	leadd1d 8868	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B <-> ( A + C ) <_ ( B + C ) ) )
6	1, 5	mpbid 147	1 |- ( ph -> ( A + C ) <_ ( B + C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8178   + caddc 8182   <_ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366

This theorem is used by:  lesub3d  8892  eluzadd  9960  xleadd1a  10285  lincmble  10416  fzoaddel  10615  flqaddz  10745  bernneq3  11113  resqrexlemglsq  11802  bdtrilem  12021  isumshft  12273  eirraplem  12560  divalglemnqt  12703  2expltfac  13239  gzsumshift  14198  log2tlbndlog2  16139  pellexlem2  16149  ppiqub  16194  bposlem5  16213