ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bernneq3 Unicode version
Theorem bernneq3 10901
Description: A corollary of bernneq 10899. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bernneq3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( P ^ N ) )
Proof of Theorem bernneq3
StepHypRef Expression
1 nn0re 9394 . . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
21adantl 277 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
3 peano2re 8298 . . 3 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. RR )
42, 3syl 14 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. RR )
5 eluzelre 9749 . . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. RR )
6 reexpcl 10795 . . 3 |- ( ( P e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( P ^ N ) e. RR )
75, 6sylan 283 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( P ^ N ) e. RR )
82ltp1d 9093 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( N + 1 ) )
9 uz2m1nn 9817 . . . . . . 7 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( P - 1 ) e. NN )
109adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( P - 1 ) e. NN )
1110nnred 9139 . . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( P - 1 ) e. RR )
1211, 2remulcld 8193 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( P - 1 ) x. N ) e. RR )
13 peano2re 8298 . . . 4 |- ( ( ( P - 1 ) x. N ) e. RR -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) e. RR )
1412, 13syl 14 . . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) e. RR )
15 1red 8177 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 1 e. RR )
16 nn0ge0 9410 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
1716adantl 277 . . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ N )
1810nnge1d 9169 . . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( P - 1 ) )
192, 11, 17, 18lemulge12d 9101 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N <_ ( ( P - 1 ) x. N ) )
202, 12, 15, 19leadd1dd 8722 . . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) )
215adantr 276 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> P e. RR )
22 simpr 110 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
23 eluzge2nn0 9781 . . . . . 6 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN0 )
24 nn0ge0 9410 . . . . . 6 |- ( P e. NN0 -> 0 <_ P )
2523, 24syl 14 . . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 <_ P )
2625adantr 276 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ P )
27 bernneq2 10900 . . . 4 |- ( ( P e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ P ) -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( P ^ N ) )
2821, 22, 26, 27syl3anc 1271 . . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( P ^ N ) )
294, 14, 7, 20, 28letrd 8286 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( P ^ N ) )
302, 4, 7, 8, 29ltletrd 8586 1 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( P ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   RRcr 8014   0cc0 8015   1c1 8016   + caddc 8018   x. cmul 8020   < clt 8197   <_ cle 8198   - cmin 8333   NNcn 9126   2c2 9177   NN0cn0 9385   ZZ>=cuz 9738   ^cexp 10777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-seqfrec 10687  df-exp 10778
This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  11551  resqrexlemga  11555  bitsfzo  12487  bitsinv1  12494  pw2dvds  12709  pcfaclem  12893  pcfac  12894  cvgcmp2nlemabs  16514  trilpolemlt1  16523
  Copyright terms: Public domain W3C validator