ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bernneq3 Unicode version
Theorem bernneq3 10771
Description: A corollary of bernneq 10769. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bernneq3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( P ^ N ) )
Proof of Theorem bernneq3
StepHypRef Expression
1 nn0re 9275 . . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
21adantl 277 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
3 peano2re 8179 . . 3 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. RR )
42, 3syl 14 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. RR )
5 eluzelre 9628 . . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. RR )
6 reexpcl 10665 . . 3 |- ( ( P e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( P ^ N ) e. RR )
75, 6sylan 283 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( P ^ N ) e. RR )
82ltp1d 8974 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( N + 1 ) )
9 uz2m1nn 9696 . . . . . . 7 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( P - 1 ) e. NN )
109adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( P - 1 ) e. NN )
1110nnred 9020 . . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( P - 1 ) e. RR )
1211, 2remulcld 8074 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( P - 1 ) x. N ) e. RR )
13 peano2re 8179 . . . 4 |- ( ( ( P - 1 ) x. N ) e. RR -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) e. RR )
1412, 13syl 14 . . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) e. RR )
15 1red 8058 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 1 e. RR )
16 nn0ge0 9291 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
1716adantl 277 . . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ N )
1810nnge1d 9050 . . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( P - 1 ) )
192, 11, 17, 18lemulge12d 8982 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N <_ ( ( P - 1 ) x. N ) )
202, 12, 15, 19leadd1dd 8603 . . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) )
215adantr 276 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> P e. RR )
22 simpr 110 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
23 eluzge2nn0 9660 . . . . . 6 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN0 )
24 nn0ge0 9291 . . . . . 6 |- ( P e. NN0 -> 0 <_ P )
2523, 24syl 14 . . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 <_ P )
2625adantr 276 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ P )
27 bernneq2 10770 . . . 4 |- ( ( P e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ P ) -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( P ^ N ) )
2821, 22, 26, 27syl3anc 1249 . . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( P ^ N ) )
294, 14, 7, 20, 28letrd 8167 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( P ^ N ) )
302, 4, 7, 8, 29ltletrd 8467 1 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( P ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   NNcn 9007   2c2 9058   NN0cn0 9266   ZZ>=cuz 9618   ^cexp 10647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-seqfrec 10557  df-exp 10648
This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  11201  resqrexlemga  11205  bitsfzo  12137  bitsinv1  12144  pw2dvds  12359  pcfaclem  12543  pcfac  12544  cvgcmp2nlemabs  15763  trilpolemlt1  15772
  Copyright terms: Public domain W3C validator