ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bernneq3 Unicode version
Theorem bernneq3 11049
Description: A corollary of bernneq 11047. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bernneq3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( P ^ N ) )
Proof of Theorem bernneq3
StepHypRef Expression
1 nn0re 9522 . . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
21adantl 277 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
3 peano2re 8425 . . 3 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. RR )
42, 3syl 14 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. RR )
5 eluzelre 9882 . . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. RR )
6 reexpcl 10942 . . 3 |- ( ( P e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( P ^ N ) e. RR )
75, 6sylan 283 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( P ^ N ) e. RR )
82ltp1d 9221 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( N + 1 ) )
9 uz2m1nn 9955 . . . . . . 7 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( P - 1 ) e. NN )
109adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( P - 1 ) e. NN )
1110nnred 9267 . . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( P - 1 ) e. RR )
1211, 2remulcld 8320 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( P - 1 ) x. N ) e. RR )
13 peano2re 8425 . . . 4 |- ( ( ( P - 1 ) x. N ) e. RR -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) e. RR )
1412, 13syl 14 . . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) e. RR )
15 1red 8305 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 1 e. RR )
16 nn0ge0 9538 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
1716adantl 277 . . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ N )
1810nnge1d 9297 . . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( P - 1 ) )
192, 11, 17, 18lemulge12d 9229 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N <_ ( ( P - 1 ) x. N ) )
202, 12, 15, 19leadd1dd 8850 . . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) )
215adantr 276 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> P e. RR )
22 simpr 110 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
23 eluzge2nn0 9920 . . . . . 6 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN0 )
24 nn0ge0 9538 . . . . . 6 |- ( P e. NN0 -> 0 <_ P )
2523, 24syl 14 . . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 <_ P )
2625adantr 276 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ P )
27 bernneq2 11048 . . . 4 |- ( ( P e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ P ) -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( P ^ N ) )
2821, 22, 26, 27syl3anc 1274 . . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( P ^ N ) )
294, 14, 7, 20, 28letrd 8413 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( P ^ N ) )
302, 4, 7, 8, 29ltletrd 8714 1 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( P ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   NNcn 9254   2c2 9305   NN0cn0 9513   ZZ>=cuz 9871   ^cexp 10924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-seqfrec 10834  df-exp 10925
This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  11729  resqrexlemga  11733  bitsfzo  12666  bitsinv1  12673  pw2dvds  12888  pcfaclem  13072  pcfac  13073  cvgcmp2nlemabs  16942  trilpolemlt1  16951
  Copyright terms: Public domain W3C validator