ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bernneq3 Unicode version
Theorem bernneq3 10987
Description: A corollary of bernneq 10985. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bernneq3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( P ^ N ) )
Proof of Theorem bernneq3
StepHypRef Expression
1 nn0re 9470 . . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
21adantl 277 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
3 peano2re 8374 . . 3 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. RR )
42, 3syl 14 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. RR )
5 eluzelre 9827 . . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. RR )
6 reexpcl 10881 . . 3 |- ( ( P e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( P ^ N ) e. RR )
75, 6sylan 283 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( P ^ N ) e. RR )
82ltp1d 9169 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( N + 1 ) )
9 uz2m1nn 9900 . . . . . . 7 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( P - 1 ) e. NN )
109adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( P - 1 ) e. NN )
1110nnred 9215 . . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( P - 1 ) e. RR )
1211, 2remulcld 8269 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( P - 1 ) x. N ) e. RR )
13 peano2re 8374 . . . 4 |- ( ( ( P - 1 ) x. N ) e. RR -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) e. RR )
1412, 13syl 14 . . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) e. RR )
15 1red 8254 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 1 e. RR )
16 nn0ge0 9486 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
1716adantl 277 . . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ N )
1810nnge1d 9245 . . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ ( P - 1 ) )
192, 11, 17, 18lemulge12d 9177 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N <_ ( ( P - 1 ) x. N ) )
202, 12, 15, 19leadd1dd 8798 . . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) )
215adantr 276 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> P e. RR )
22 simpr 110 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
23 eluzge2nn0 9865 . . . . . 6 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN0 )
24 nn0ge0 9486 . . . . . 6 |- ( P e. NN0 -> 0 <_ P )
2523, 24syl 14 . . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 <_ P )
2625adantr 276 . . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ P )
27 bernneq2 10986 . . . 4 |- ( ( P e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ P ) -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( P ^ N ) )
2821, 22, 26, 27syl3anc 1274 . . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( P - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( P ^ N ) )
294, 14, 7, 20, 28letrd 8362 . 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) <_ ( P ^ N ) )
302, 4, 7, 8, 29ltletrd 8662 1 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N < ( P ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   x. cmul 8097   < clt 8273   <_ cle 8274   - cmin 8409   NNcn 9202   2c2 9253   NN0cn0 9461   ZZ>=cuz 9816   ^cexp 10863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-seqfrec 10773  df-exp 10864
This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  11659  resqrexlemga  11663  bitsfzo  12596  bitsinv1  12603  pw2dvds  12818  pcfaclem  13002  pcfac  13003  cvgcmp2nlemabs  16764  trilpolemlt1  16773
  Copyright terms: Public domain W3C validator