Theorem leaddle0 8635

Description: The sum of a real number and a second real number is less then the real number iff the second real number is negative. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
leaddle0	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + B ) <_ A <-> B <_ 0 ) )

Proof of Theorem leaddle0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leaddsub2 8597	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( A + B ) <_ A <-> B <_ ( A - A ) ) )
2	1	3anidm13 1330	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + B ) <_ A <-> B <_ ( A - A ) ) )
3		recn 8143	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
4	3	subidd 8456	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A - A ) = 0 )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - A ) = 0 )
6	5	breq2d 4095	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ ( A - A ) <-> B <_ 0 ) )
7	2, 6	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + B ) <_ A <-> B <_ 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   RRcr 8009   0cc0 8010   + caddc 8013   <_ cle 8193   - cmin 8328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331

This theorem is referenced by:  fzpreddisj  10279  swrdccat3blem  11286