Theorem leaddsub2 8421

Description: 'Less than or equal to' relationship between and addition and subtraction. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
leaddsub2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A + B ) <_ C <-> B <_ ( C - A ) ) )

Proof of Theorem leaddsub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7969	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 7969	. . . . 5 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		addcom 8119	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
5	4	3adant3 1019	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
6	5	breq1d 4028	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A + B ) <_ C <-> ( B + A ) <_ C ) )
7		leaddsub 8420	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( B + A ) <_ C <-> B <_ ( C - A ) ) )
8	7	3com12 1209	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( B + A ) <_ C <-> B <_ ( C - A ) ) )
9	6, 8	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A + B ) <_ C <-> B <_ ( C - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892   CCcc 7834   RRcr 7835   + caddc 7839   <_ cle 8018   - cmin 8153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-addcom 7936  ax-addass 7938  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-cnre 7947  ax-pre-ltadd 7952

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156

This theorem is referenced by:  lesub  8423  leaddle0  8459  leaddsub2d  8529  zltp1le  9332  absdifle  11129