Theorem fzpreddisj 10068

Description: A finite set of sequential integers is disjoint with its predecessor. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fzpreddisj	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )

Proof of Theorem fzpreddisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 3327	. 2 |- ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i { M } ) = ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) )
2		0lt1 8082	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
3		0z 9262	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
4		1z 9277	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
5		zltnle 9297	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( 0 < 1 <-> -. 1 <_ 0 ) )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( 0 < 1 <-> -. 1 <_ 0 )
7	2, 6	mpbi 145	. . . . . . 7 |- -. 1 <_ 0
8		eluzel2 9531	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
9	8	zred 9373	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. RR )
10		1re 7955	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
11		leaddle0 8432	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ M <-> 1 <_ 0 ) )
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M + 1 ) <_ M <-> 1 <_ 0 ) )
13	7, 12	mtbiri 675	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( M + 1 ) <_ M )
14	13	intnanrd 932	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( ( M + 1 ) <_ M /\ M <_ N ) )
15	14	intnand 931	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ M /\ M <_ N ) ) )
16		elfz2 10013	. . . 4 |- ( M e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ M /\ M <_ N ) ) )
17	15, 16	sylnibr 677	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. M e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
18		disjsn 3654	. . 3 |- ( ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i { M } ) = (/) <-> -. M e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
19	17, 18	sylibr 134	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i { M } ) = (/) )
20	1, 19	eqtr3id 2224	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   i^i cin 3128   (/)c0 3422   {csn 3592   class class class wbr 4003   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811   + caddc 7813   < clt 7990   <_ cle 7991   ZZcz 9251   ZZ>=cuz 9526   ...cfz 10006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-fz 10007

This theorem is referenced by: (None)