ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzpreddisj Unicode version

Theorem fzpreddisj 10074
Description: A finite set of sequential integers is disjoint with its predecessor. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
fzpreddisj  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( { M }  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )

Proof of Theorem fzpreddisj
StepHypRef Expression
1 incom 3329 . 2  |-  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  { M }
)  =  ( { M }  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )
2 0lt1 8087 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
3 0z 9267 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
4 1z 9282 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
5 zltnle 9302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  1  <->  -.  1  <_  0 ) )
63, 4, 5mp2an 426 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  1  <->  -.  1  <_  0 )
72, 6mpbi 145 . . . . . . 7  |-  -.  1  <_  0
8 eluzel2 9536 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
98zred 9378 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  RR )
10 1re 7959 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
11 leaddle0 8437 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  M  <->  1  <_  0 ) )
129, 10, 11sylancl 413 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  +  1 )  <_  M  <->  1  <_  0 ) )
137, 12mtbiri 675 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  ( M  +  1 )  <_  M )
1413intnanrd 932 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  (
( M  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  N ) )
1514intnand 931 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  (
( ( M  + 
1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( ( M  + 
1 )  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
16 elfz2 10018 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( (
( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
( M  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
1715, 16sylnibr 677 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  M  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
18 disjsn 3656 . . 3  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
1917, 18sylibr 134 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( M  +  1 ) ... N )  i^i  { M }
)  =  (/) )
201, 19eqtr3id 2224 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( { M }  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    i^i cin 3130   (/)c0 3424   {csn 3594   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   RRcr 7813   0cc0 7814   1c1 7815    + caddc 7817    < clt 7995    <_ cle 7996   ZZcz 9256   ZZ>=cuz 9531   ...cfz 10011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-fz 10012
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator