ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzpreddisj Unicode version

Theorem fzpreddisj 9744
Description: A finite set of sequential integers is disjoint with its predecessor. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
fzpreddisj  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( { M }  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )

Proof of Theorem fzpreddisj
StepHypRef Expression
1 incom 3234 . 2  |-  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  { M }
)  =  ( { M }  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )
2 0lt1 7812 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
3 0z 8969 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
4 1z 8984 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
5 zltnle 9004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  1  <->  -.  1  <_  0 ) )
63, 4, 5mp2an 420 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  1  <->  -.  1  <_  0 )
72, 6mpbi 144 . . . . . . 7  |-  -.  1  <_  0
8 eluzel2 9233 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
98zred 9077 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  RR )
10 1re 7689 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
11 leaddle0 8158 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  M  <->  1  <_  0 ) )
129, 10, 11sylancl 407 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  +  1 )  <_  M  <->  1  <_  0 ) )
137, 12mtbiri 647 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  ( M  +  1 )  <_  M )
1413intnanrd 900 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  (
( M  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  N ) )
1514intnand 899 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  (
( ( M  + 
1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( ( M  + 
1 )  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
16 elfz2 9690 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( (
( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
( M  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
1715, 16sylnibr 649 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  M  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
18 disjsn 3551 . . 3  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
1917, 18sylibr 133 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( M  +  1 ) ... N )  i^i  { M }
)  =  (/) )
201, 19syl5eqr 2161 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( { M }  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463    i^i cin 3036   (/)c0 3329   {csn 3493   class class class wbr 3895   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   RRcr 7546   0cc0 7547   1c1 7548    + caddc 7550    < clt 7724    <_ cle 7725   ZZcz 8958   ZZ>=cuz 9228   ...cfz 9683
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-fz 9684
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator