Theorem fzpreddisj 10368

Description: A finite set of sequential integers is disjoint with its predecessor. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fzpreddisj	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )

Proof of Theorem fzpreddisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 3401	. 2 |- ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i { M } ) = ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) )
2		0lt1 8365	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
3		0z 9551	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
4		1z 9566	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
5		zltnle 9586	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( 0 < 1 <-> -. 1 <_ 0 ) )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( 0 < 1 <-> -. 1 <_ 0 )
7	2, 6	mpbi 145	. . . . . . 7 |- -. 1 <_ 0
8		eluzel2 9821	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
9	8	zred 9663	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. RR )
10		1re 8238	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
11		leaddle0 8716	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ M <-> 1 <_ 0 ) )
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M + 1 ) <_ M <-> 1 <_ 0 ) )
13	7, 12	mtbiri 682	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( M + 1 ) <_ M )
14	13	intnanrd 940	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( ( M + 1 ) <_ M /\ M <_ N ) )
15	14	intnand 939	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ M /\ M <_ N ) ) )
16		elfz2 10312	. . . 4 |- ( M e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ M /\ M <_ N ) ) )
17	15, 16	sylnibr 684	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. M e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
18		disjsn 3735	. . 3 |- ( ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i { M } ) = (/) <-> -. M e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
19	17, 18	sylibr 134	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i { M } ) = (/) )
20	1, 19	eqtr3id 2278	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   i^i cin 3200   (/)c0 3496   {csn 3673   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   < clt 8273   <_ cle 8274   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   ...cfz 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306

This theorem is referenced by: (None)