ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzpreddisj Unicode version

Theorem fzpreddisj 10068
Description: A finite set of sequential integers is disjoint with its predecessor. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
fzpreddisj  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( { M }  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )

Proof of Theorem fzpreddisj
StepHypRef Expression
1 incom 3327 . 2  |-  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  { M }
)  =  ( { M }  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )
2 0lt1 8082 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
3 0z 9262 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
4 1z 9277 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
5 zltnle 9297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  1  <->  -.  1  <_  0 ) )
63, 4, 5mp2an 426 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  1  <->  -.  1  <_  0 )
72, 6mpbi 145 . . . . . . 7  |-  -.  1  <_  0
8 eluzel2 9531 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
98zred 9373 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  RR )
10 1re 7955 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
11 leaddle0 8432 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  M  <->  1  <_  0 ) )
129, 10, 11sylancl 413 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  +  1 )  <_  M  <->  1  <_  0 ) )
137, 12mtbiri 675 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  ( M  +  1 )  <_  M )
1413intnanrd 932 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  (
( M  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  N ) )
1514intnand 931 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  (
( ( M  + 
1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( ( M  + 
1 )  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
16 elfz2 10013 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( (
( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
( M  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
1715, 16sylnibr 677 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  M  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
18 disjsn 3654 . . 3  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
1917, 18sylibr 134 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( M  +  1 ) ... N )  i^i  { M }
)  =  (/) )
201, 19eqtr3id 2224 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( { M }  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    i^i cin 3128   (/)c0 3422   {csn 3592   class class class wbr 4003   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811    + caddc 7813    < clt 7990    <_ cle 7991   ZZcz 9251   ZZ>=cuz 9526   ...cfz 10006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-fz 10007
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator