Theorem fzpreddisj 10193

Description: A finite set of sequential integers is disjoint with its predecessor. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fzpreddisj	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )

Proof of Theorem fzpreddisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 3365	. 2 |- ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i { M } ) = ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) )
2		0lt1 8199	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
3		0z 9383	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
4		1z 9398	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
5		zltnle 9418	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( 0 < 1 <-> -. 1 <_ 0 ) )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( 0 < 1 <-> -. 1 <_ 0 )
7	2, 6	mpbi 145	. . . . . . 7 |- -. 1 <_ 0
8		eluzel2 9653	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
9	8	zred 9495	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. RR )
10		1re 8071	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
11		leaddle0 8550	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ M <-> 1 <_ 0 ) )
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M + 1 ) <_ M <-> 1 <_ 0 ) )
13	7, 12	mtbiri 677	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( M + 1 ) <_ M )
14	13	intnanrd 934	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( ( M + 1 ) <_ M /\ M <_ N ) )
15	14	intnand 933	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ M /\ M <_ N ) ) )
16		elfz2 10137	. . . 4 |- ( M e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ M /\ M <_ N ) ) )
17	15, 16	sylnibr 679	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. M e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
18		disjsn 3695	. . 3 |- ( ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i { M } ) = (/) <-> -. M e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
19	17, 18	sylibr 134	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i { M } ) = (/) )
20	1, 19	eqtr3id 2252	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   i^i cin 3165   (/)c0 3460   {csn 3633   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   < clt 8107   <_ cle 8108   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648   ...cfz 10130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131

This theorem is referenced by: (None)