Theorem fzpreddisj 9485

Description: A finite set of sequential integers is disjoint with its predecessor. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fzpreddisj	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )

Proof of Theorem fzpreddisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 3192	. 2 |- ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i { M } ) = ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) )
2		0lt1 7610	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
3		0z 8761	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
4		1z 8776	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
5		zltnle 8796	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( 0 < 1 <-> -. 1 <_ 0 ) )
6	3, 4, 5	mp2an 417	. . . . . . . 8 |- ( 0 < 1 <-> -. 1 <_ 0 )
7	2, 6	mpbi 143	. . . . . . 7 |- -. 1 <_ 0
8		eluzel2 9024	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
9	8	zred 8868	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. RR )
10		1re 7487	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
11		leaddle0 7955	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ M <-> 1 <_ 0 ) )
12	9, 10, 11	sylancl 404	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M + 1 ) <_ M <-> 1 <_ 0 ) )
13	7, 12	mtbiri 635	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( M + 1 ) <_ M )
14	13	intnanrd 879	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( ( M + 1 ) <_ M /\ M <_ N ) )
15	14	intnand 878	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ M /\ M <_ N ) ) )
16		elfz2 9431	. . . 4 |- ( M e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ M /\ M <_ N ) ) )
17	15, 16	sylnibr 637	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. M e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
18		disjsn 3504	. . 3 |- ( ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i { M } ) = (/) <-> -. M e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
19	17, 18	sylibr 132	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( M + 1 ) ... N ) i^i { M } ) = (/) )
20	1, 19	syl5eqr 2134	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 924   = wceq 1289   e. wcel 1438   i^i cin 2998   (/)c0 3286   {csn 3446   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   RRcr 7349   0cc0 7350   1c1 7351   + caddc 7353   < clt 7522   <_ cle 7523   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   ...cfz 9424

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425

This theorem is referenced by: (None)