ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzpreddisj Unicode version

Theorem fzpreddisj 9485
Description: A finite set of sequential integers is disjoint with its predecessor. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
fzpreddisj  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( { M }  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )

Proof of Theorem fzpreddisj
StepHypRef Expression
1 incom 3192 . 2  |-  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  { M }
)  =  ( { M }  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )
2 0lt1 7610 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
3 0z 8761 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
4 1z 8776 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
5 zltnle 8796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  1  <->  -.  1  <_  0 ) )
63, 4, 5mp2an 417 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  1  <->  -.  1  <_  0 )
72, 6mpbi 143 . . . . . . 7  |-  -.  1  <_  0
8 eluzel2 9024 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
98zred 8868 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  RR )
10 1re 7487 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
11 leaddle0 7955 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  M  <->  1  <_  0 ) )
129, 10, 11sylancl 404 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  +  1 )  <_  M  <->  1  <_  0 ) )
137, 12mtbiri 635 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  ( M  +  1 )  <_  M )
1413intnanrd 879 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  (
( M  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  N ) )
1514intnand 878 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  (
( ( M  + 
1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( ( M  + 
1 )  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
16 elfz2 9431 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( (
( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
( M  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
1715, 16sylnibr 637 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  M  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
18 disjsn 3504 . . 3  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
1917, 18sylibr 132 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( M  +  1 ) ... N )  i^i  { M }
)  =  (/) )
201, 19syl5eqr 2134 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( { M }  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438    i^i cin 2998   (/)c0 3286   {csn 3446   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   RRcr 7349   0cc0 7350   1c1 7351    + caddc 7353    < clt 7522    <_ cle 7523   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   ...cfz 9424
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator