ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suble0 Unicode version

Theorem suble0 7933
Description: Nonpositive subtraction. (Contributed by NM, 20-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
suble0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  -  B )  <_  0  <->  A  <_  B ) )

Proof of Theorem suble0
StepHypRef Expression
1 0re 7467 . . 3  |-  0  e.  RR
2 suble 7897 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( A  -  B
)  <_  0  <->  ( A  -  0 )  <_  B ) )
31, 2mp3an3 1262 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  -  B )  <_  0  <->  ( A  -  0 )  <_  B ) )
4 simpl 107 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
54recnd 7495 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
65subid1d 7761 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  0 )  =  A )
76breq1d 3847 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  - 
0 )  <_  B  <->  A  <_  B ) )
83, 7bitrd 186 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  -  B )  <_  0  <->  A  <_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   RRcr 7328   0cc0 7329    <_ cle 7502    - cmin 7632
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635
This theorem is referenced by:  suble0d  7989
  Copyright terms: Public domain W3C validator