Theorem suble0 8468

Description: Nonpositive subtraction. (Contributed by NM, 20-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
suble0	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ 0 <-> A <_ B ) )

Proof of Theorem suble0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7992	. . 3 |- 0 e. RR
2		suble 8432	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ 0 <-> ( A - 0 ) <_ B ) )
3	1, 2	mp3an3 1337	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ 0 <-> ( A - 0 ) <_ B ) )
4		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
5	4	recnd 8021	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. CC )
6	5	subid1d 8292	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - 0 ) = A )
7	6	breq1d 4031	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A - 0 ) <_ B <-> A <_ B ) )
8	3, 7	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ 0 <-> A <_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900   RRcr 7845   0cc0 7846   <_ cle 8028   - cmin 8163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166

This theorem is referenced by:  suble0d  8528