Theorem suble0 7855

Description: Nonpositive subtraction. (Contributed by NM, 20-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
suble0	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ 0 <-> A <_ B ) )

Proof of Theorem suble0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7389	. . 3 |- 0 e. RR
2		suble 7819	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ 0 <-> ( A - 0 ) <_ B ) )
3	1, 2	mp3an3 1258	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ 0 <-> ( A - 0 ) <_ B ) )
4		simpl 107	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
5	4	recnd 7417	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. CC )
6	5	subid1d 7683	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - 0 ) = A )
7	6	breq1d 3821	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A - 0 ) <_ B <-> A <_ B ) )
8	3, 7	bitrd 186	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ 0 <-> A <_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5589   RRcr 7250   0cc0 7251   <_ cle 7424   - cmin 7554

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-addcom 7346  ax-addass 7348  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-cnre 7357  ax-pre-ltadd 7362

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4083  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557

This theorem is referenced by:  suble0d  7911