Theorem zltp1le 9595

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zltp1le	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( M + 1 ) <_ N ) )

Proof of Theorem zltp1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 9225	. . . 4 |- ( ( N - M ) e. NN -> 1 <_ ( N - M ) )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N - M ) e. NN -> 1 <_ ( N - M ) ) )
3		znnsub 9592	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( N - M ) e. NN ) )
4		zre 9544	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 9544	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		1re 8238	. . . . 5 |- 1 e. RR
7		leaddsub2 8678	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> 1 <_ ( N - M ) ) )
8	6, 7	mp3an2 1362	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> 1 <_ ( N - M ) ) )
9	4, 5, 8	syl2an 289	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> 1 <_ ( N - M ) ) )
10	2, 3, 9	3imtr4d 203	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N -> ( M + 1 ) <_ N ) )
11	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
12	11	ltp1d 9169	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M < ( M + 1 ) )
13		peano2re 8374	. . . . 5 |- ( M e. RR -> ( M + 1 ) e. RR )
14	11, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + 1 ) e. RR )
15	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
16		ltletr 8328	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ ( M + 1 ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M < ( M + 1 ) /\ ( M + 1 ) <_ N ) -> M < N ) )
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M < ( M + 1 ) /\ ( M + 1 ) <_ N ) -> M < N ) )
18	12, 17	mpand 429	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ N -> M < N ) )
19	10, 18	impbid 129	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( M + 1 ) <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8091   1c1 8093   + caddc 8095   < clt 8273   <_ cle 8274   - cmin 8409   NNcn 9202   ZZcz 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541

This theorem is referenced by:  zleltp1  9596  zlem1lt  9597  zgt0ge1  9599  nnltp1le  9601  nn0ltp1le  9603  btwnnz  9635  uzind2  9653  fzind  9656  btwnapz  9671  eluzp1l  9842  eluz2b1  9896  zltaddlt1le  10304  fzsplit2  10347  zsupcllemstep  10552  infssuzex  10556  suprzubdc  10559  m1modge3gt1  10696  seq3f1olemqsumkj  10836  seq3f1olemqsumk  10837  bcval5  11088  seq3coll  11169  cvgratnnlemseq  12167  nn0o1gt2  12546  divalglemnqt  12561  isprm3  12770  dvdsnprmd  12777  prmgt1  12784  oddprmge3  12787  znege1  12830  hashdvds  12873  lgsdilem2  15855  lgsquadlem1  15896  2lgslem1a  15907  konigsberglem5  16433