Theorem zltp1le 9699

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zltp1le	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( M + 1 ) <_ N ) )

Proof of Theorem zltp1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 9327	. . . 4 |- ( ( N - M ) e. NN -> 1 <_ ( N - M ) )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N - M ) e. NN -> 1 <_ ( N - M ) ) )
3		znnsub 9696	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( N - M ) e. NN ) )
4		zre 9648	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 9648	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		1re 8325	. . . . 5 |- 1 e. RR
7		leaddsub2 8767	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> 1 <_ ( N - M ) ) )
8	6, 7	mp3an2 1366	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> 1 <_ ( N - M ) ) )
9	4, 5, 8	syl2an 289	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> 1 <_ ( N - M ) ) )
10	2, 3, 9	3imtr4d 203	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N -> ( M + 1 ) <_ N ) )
11	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
12	11	ltp1d 9260	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M < ( M + 1 ) )
13		peano2re 8462	. . . . 5 |- ( M e. RR -> ( M + 1 ) e. RR )
14	11, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + 1 ) e. RR )
15	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
16		ltletr 8415	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ ( M + 1 ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M < ( M + 1 ) /\ ( M + 1 ) <_ N ) -> M < N ) )
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M < ( M + 1 ) /\ ( M + 1 ) <_ N ) -> M < N ) )
18	12, 17	mpand 433	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ N -> M < N ) )
19	10, 18	impbid 129	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( M + 1 ) <_ N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8178   1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   NNcn 9304   ZZcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645

This theorem is used by:  zleltp1  9700  zlem1lt  9701  zgt0ge1  9703  nnltp1le  9705  nn0ltp1le  9707  btwnnz  9740  uzind2  9758  fzind  9761  btwnapz  9776  eluzp1l  9947  eluz2b1  10001  ltesubnnd  10170  zltaddlt1le  10410  fzsplit2  10455  zsupcllemstep  10662  infssuzex  10666  suprzubdc  10671  m1modge3gt1  10808  seq3f1olemqsumkj  10948  seq3f1olemqsumk  10949  bcval5  11201  seq3coll  11294  cvgratnnlemseq  12293  nn0o1gt2  12672  divalglemnqt  12687  isprm3  12896  dvdsnprmd  12903  prmgt1  12910  oddprmge3  12913  znege1  12956  hashdvds  12999  lgsdilem2  16155  lgsquadlem1  16196  2lgslem1a  16207  konigsberglem5  16733