Theorem zltp1le 9678

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zltp1le	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( M + 1 ) <_ N ) )

Proof of Theorem zltp1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 9306	. . . 4 |- ( ( N - M ) e. NN -> 1 <_ ( N - M ) )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N - M ) e. NN -> 1 <_ ( N - M ) ) )
3		znnsub 9675	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( N - M ) e. NN ) )
4		zre 9627	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 9627	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		1re 8315	. . . . 5 |- 1 e. RR
7		leaddsub2 8757	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> 1 <_ ( N - M ) ) )
8	6, 7	mp3an2 1366	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> 1 <_ ( N - M ) ) )
9	4, 5, 8	syl2an 289	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> 1 <_ ( N - M ) ) )
10	2, 3, 9	3imtr4d 203	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N -> ( M + 1 ) <_ N ) )
11	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
12	11	ltp1d 9250	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M < ( M + 1 ) )
13		peano2re 8452	. . . . 5 |- ( M e. RR -> ( M + 1 ) e. RR )
14	11, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + 1 ) e. RR )
15	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
16		ltletr 8405	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ ( M + 1 ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M < ( M + 1 ) /\ ( M + 1 ) <_ N ) -> M < N ) )
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M < ( M + 1 ) /\ ( M + 1 ) <_ N ) -> M < N ) )
18	12, 17	mpand 433	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ N -> M < N ) )
19	10, 18	impbid 129	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( M + 1 ) <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   RRcr 8168   1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   NNcn 9283   ZZcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  zleltp1  9679  zlem1lt  9680  zgt0ge1  9682  nnltp1le  9684  nn0ltp1le  9686  btwnnz  9719  uzind2  9737  fzind  9740  btwnapz  9755  eluzp1l  9926  eluz2b1  9980  ltesubnnd  10149  zltaddlt1le  10389  fzsplit2  10433  zsupcllemstep  10640  infssuzex  10644  suprzubdc  10649  m1modge3gt1  10786  seq3f1olemqsumkj  10926  seq3f1olemqsumk  10927  bcval5  11179  seq3coll  11272  cvgratnnlemseq  12271  nn0o1gt2  12650  divalglemnqt  12665  isprm3  12874  dvdsnprmd  12881  prmgt1  12888  oddprmge3  12891  znege1  12934  hashdvds  12977  lgsdilem2  16069  lgsquadlem1  16110  2lgslem1a  16121  konigsberglem5  16647