Theorem zltp1le 9710

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zltp1le	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( M + 1 ) <_ N ) )

Proof of Theorem zltp1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 9336	. . . 4 |- ( ( N - M ) e. NN -> 1 <_ ( N - M ) )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N - M ) e. NN -> 1 <_ ( N - M ) ) )
3		znnsub 9707	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( N - M ) e. NN ) )
4		zre 9659	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 9659	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		1re 8331	. . . . 5 |- 1 e. RR
7		leaddsub2 8774	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> 1 <_ ( N - M ) ) )
8	6, 7	mp3an2 1366	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> 1 <_ ( N - M ) ) )
9	4, 5, 8	syl2an 289	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> 1 <_ ( N - M ) ) )
10	2, 3, 9	3imtr4d 203	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N -> ( M + 1 ) <_ N ) )
11	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
12	11	ltp1d 9268	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M < ( M + 1 ) )
13		peano2re 8469	. . . . 5 |- ( M e. RR -> ( M + 1 ) e. RR )
14	11, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + 1 ) e. RR )
15	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
16		ltletr 8421	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ ( M + 1 ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M < ( M + 1 ) /\ ( M + 1 ) <_ N ) -> M < N ) )
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M < ( M + 1 ) /\ ( M + 1 ) <_ N ) -> M < N ) )
18	12, 17	mpand 433	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ N -> M < N ) )
19	10, 18	impbid 129	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( M + 1 ) <_ N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   RRcr 8184   1c1 8186   + caddc 8188   < clt 8366   <_ cle 8367   - cmin 8504   NNcn 9313   ZZcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656

This theorem is used by:  zleltp1  9711  zlem1lt  9712  zgt0ge1  9714  nnltp1le  9716  nn0ltp1le  9718  btwnnz  9751  uzind2  9769  fzind  9772  btwnapz  9787  eluzp1l  9963  eluz2b1  10017  ltesubnnd  10187  zltaddlt1le  10427  fzsplit2  10472  zsupcllemstep  10679  infssuzex  10683  suprzubdc  10688  m1modge3gt1  10829  seq3f1olemqsumkj  10969  seq3f1olemqsumk  10970  bcval5  11223  seq3coll  11316  cvgratnnlemseq  12318  nn0o1gt2  12697  divalglemnqt  12712  isprm3  12921  dvdsnprmd  12928  prmgt1  12936  oddprmge3  12939  znege1  12983  hashdvds  13028  chtqub  16296  bposlem9  16319  lgsdilem2  16360  lgsquadlem1  16401  2lgslem1a  16412  konigsberglem5  16938