Theorem zltp1le 9309

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zltp1le	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( M + 1 ) <_ N ) )

Proof of Theorem zltp1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 8944	. . . 4 |- ( ( N - M ) e. NN -> 1 <_ ( N - M ) )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N - M ) e. NN -> 1 <_ ( N - M ) ) )
3		znnsub 9306	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( N - M ) e. NN ) )
4		zre 9259	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 9259	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		1re 7958	. . . . 5 |- 1 e. RR
7		leaddsub2 8398	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> 1 <_ ( N - M ) ) )
8	6, 7	mp3an2 1325	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> 1 <_ ( N - M ) ) )
9	4, 5, 8	syl2an 289	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ N <-> 1 <_ ( N - M ) ) )
10	2, 3, 9	3imtr4d 203	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N -> ( M + 1 ) <_ N ) )
11	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
12	11	ltp1d 8889	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M < ( M + 1 ) )
13		peano2re 8095	. . . . 5 |- ( M e. RR -> ( M + 1 ) e. RR )
14	11, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + 1 ) e. RR )
15	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
16		ltletr 8049	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ ( M + 1 ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M < ( M + 1 ) /\ ( M + 1 ) <_ N ) -> M < N ) )
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M < ( M + 1 ) /\ ( M + 1 ) <_ N ) -> M < N ) )
18	12, 17	mpand 429	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ N -> M < N ) )
19	10, 18	impbid 129	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( M + 1 ) <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   RRcr 7812   1c1 7814   + caddc 7816   < clt 7994   <_ cle 7995   - cmin 8130   NNcn 8921   ZZcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256

This theorem is referenced by:  zleltp1  9310  zlem1lt  9311  zgt0ge1  9313  nnltp1le  9315  nn0ltp1le  9317  btwnnz  9349  uzind2  9367  fzind  9370  btwnapz  9385  eluzp1l  9554  eluz2b1  9603  zltaddlt1le  10009  fzsplit2  10052  m1modge3gt1  10373  seq3f1olemqsumkj  10500  seq3f1olemqsumk  10501  bcval5  10745  seq3coll  10824  cvgratnnlemseq  11536  nn0o1gt2  11912  divalglemnqt  11927  zsupcllemstep  11948  infssuzex  11952  suprzubdc  11955  isprm3  12120  dvdsnprmd  12127  prmgt1  12134  oddprmge3  12137  znege1  12180  hashdvds  12223  lgsdilem2  14522