ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leaddsub Unicode version

Theorem leaddsub 7906
Description: 'Less than or equal to' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
leaddsub  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  +  B
)  <_  C  <->  A  <_  ( C  -  B ) ) )

Proof of Theorem leaddsub
StepHypRef Expression
1 simp1 943 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
2 simp3 945 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
3 simp2 944 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
42, 3resubcld 7849 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
5 leadd1 7898 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( C  -  B
)  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  ( C  -  B )  <->  ( A  +  B )  <_  ( ( C  -  B )  +  B ) ) )
61, 4, 3, 5syl3anc 1174 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  ( C  -  B )  <->  ( A  +  B )  <_  (
( C  -  B
)  +  B ) ) )
72recnd 7506 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  e.  CC )
83recnd 7506 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
97, 8npcand 7787 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( C  -  B
)  +  B )  =  C )
109breq2d 3855 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  +  B
)  <_  ( ( C  -  B )  +  B )  <->  ( A  +  B )  <_  C
) )
116, 10bitr2d 187 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  +  B
)  <_  C  <->  A  <_  ( C  -  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    /\ w3a 924    e. wcel 1438   class class class wbr 3843  (class class class)co 5644   RRcr 7339    + caddc 7343    <_ cle 7513    - cmin 7643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-addcom 7435  ax-addass 7437  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-cnre 7446  ax-pre-ltadd 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-br 3844  df-opab 3898  df-id 4118  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646
This theorem is referenced by:  leaddsub2  7907  lesub  7909  lesub2  7925  subge0  7943  div4p1lem1div2  8659  eluzp1m1  9032  eluzsubi  9036  eluzsub  9038  fzen  9447  fznatpl1  9478  seq3f1olemqsumkj  9915  ibcval5  10159  hashdvds  11462
  Copyright terms: Public domain W3C validator