Theorem lssats2 13910

Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssats2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssats2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lssats2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
2		lssats2.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
4		lssats2.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
6		eqid 2193	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		lssats2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
8	6, 7	lsselg 13857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9	3, 5, 1, 8	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
10		lssats2.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11	6, 10	lspsnid 13903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
12	3, 9, 11	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
13		sneq 3629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
14	13	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{𝑦}))
15	14	eleq2d 2263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦})))
16	15	rspcev 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦})) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
17	1, 12, 16	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
18	17	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥})))
19	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
20	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
21		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
22	7, 10, 19, 20, 21	lspsnel5a 13906	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
23	22	sseld 3178	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝑈))
24	23	rexlimdva 2611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝑈))
25	18, 24	impbid 129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥})))
26		eliun 3916	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
27	25, 26	bitr4di 198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥})))
28	27	eqrdv 2191	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473  {csn 3618  ∪ ciun 3912  ‘cfv 5254  Basecbs 12618  LModclmod 13783  LSubSpclss 13848  LSpanclspn 13882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-lmod 13785  df-lssm 13849  df-lsp 13883

This theorem is referenced by: (None)