Theorem lssats2 13690

Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssats2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssats2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lssats2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
2		lssats2.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
4		lssats2.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
6		eqid 2188	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		lssats2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
8	6, 7	lsselg 13637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9	3, 5, 1, 8	syl3anc 1248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
10		lssats2.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11	6, 10	lspsnid 13683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
12	3, 9, 11	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
13		sneq 3617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
14	13	fveq2d 5533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{𝑦}))
15	14	eleq2d 2258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦})))
16	15	rspcev 2855	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦})) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
17	1, 12, 16	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
18	17	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥})))
19	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
20	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
21		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
22	7, 10, 19, 20, 21	lspsnel5a 13686	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
23	22	sseld 3168	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝑈))
24	23	rexlimdva 2606	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝑈))
25	18, 24	impbid 129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥})))
26		eliun 3904	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
27	25, 26	bitr4di 198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥})))
28	27	eqrdv 2186	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑥}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2159  ∃wrex 2468  {csn 3606  ∪ ciun 3900  ‘cfv 5230  Basecbs 12479  LModclmod 13563  LSubSpclss 13628  LSpanclspn 13662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1re 7922  ax-addrcl 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-plusg 12567  df-mulr 12568  df-sca 12570  df-vsca 12571  df-0g 12728  df-mgm 12797  df-sgrp 12830  df-mnd 12843  df-grp 12913  df-lmod 13565  df-lssm 13629  df-lsp 13663

This theorem is referenced by: (None)