Theorem lssvancl2 14291

Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. (Contributed by NM, 20-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvancl.v	|- V = ( Base ` W )
lssvancl.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssvancl.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssvancl.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssvancl.u	|- ( ph -> U e. S )
lssvancl.x	|- ( ph -> X e. U )
lssvancl.y	|- ( ph -> Y e. V )
lssvancl.n	|- ( ph -> -. Y e. U )

Assertion

Ref	Expression
lssvancl2	|- ( ph -> -. ( Y .+ X ) e. U )

Proof of Theorem lssvancl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvancl.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lssvancl.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. S )
3		lssvancl.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. U )
4		lssvancl.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
5		lssvancl.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
6	4, 5	lsselg 14284	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. V )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
8		lssvancl.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. V )
9		lssvancl.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
10	4, 9	lmodcom 14256	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
11	1, 7, 8, 10	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
12		lssvancl.n	. . 3 |- ( ph -> -. Y e. U )
13	4, 9, 5, 1, 2, 3, 8, 12	lssvancl1 14290	. 2 |- ( ph -> -. ( X .+ Y ) e. U )
14	11, 13	eqneltrrd 2304	1 |- ( ph -> -. ( Y .+ X ) e. U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5291  (class class class)co 5969   Basecbs 12993   +g cplusg 13070   LModclmod 14210   LSubSpclss 14275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-addcom 8062  ax-addass 8064  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltadd 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-ltxr 8149  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-5 9135  df-6 9136  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-sets 13000  df-plusg 13083  df-mulr 13084  df-sca 13086  df-vsca 13087  df-0g 13251  df-mgm 13349  df-sgrp 13395  df-mnd 13410  df-grp 13496  df-minusg 13497  df-sbg 13498  df-cmn 13783  df-abl 13784  df-mgp 13844  df-ur 13883  df-ring 13921  df-lmod 14212  df-lssm 14276

This theorem is referenced by: (None)