Theorem lssvancl2 14130

Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. (Contributed by NM, 20-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvancl.v	|- V = ( Base ` W )
lssvancl.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssvancl.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssvancl.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssvancl.u	|- ( ph -> U e. S )
lssvancl.x	|- ( ph -> X e. U )
lssvancl.y	|- ( ph -> Y e. V )
lssvancl.n	|- ( ph -> -. Y e. U )

Assertion

Ref	Expression
lssvancl2	|- ( ph -> -. ( Y .+ X ) e. U )

Proof of Theorem lssvancl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvancl.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lssvancl.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. S )
3		lssvancl.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. U )
4		lssvancl.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
5		lssvancl.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
6	4, 5	lsselg 14123	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. V )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
8		lssvancl.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. V )
9		lssvancl.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
10	4, 9	lmodcom 14095	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
11	1, 7, 8, 10	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
12		lssvancl.n	. . 3 |- ( ph -> -. Y e. U )
13	4, 9, 5, 1, 2, 3, 8, 12	lssvancl1 14129	. 2 |- ( ph -> -. ( X .+ Y ) e. U )
14	11, 13	eqneltrrd 2302	1 |- ( ph -> -. ( Y .+ X ) e. U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   LModclmod 14049   LSubSpclss 14114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-sca 12925  df-vsca 12926  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-sbg 13337  df-cmn 13622  df-abl 13623  df-mgp 13683  df-ur 13722  df-ring 13760  df-lmod 14051  df-lssm 14115

This theorem is referenced by: (None)