Theorem lssvnegcl 14356

Description: Closure of negative vectors in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvnegcl.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssvnegcl.n	|- N = ( invg ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssvnegcl	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( N ` X ) e. U )

Proof of Theorem lssvnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> W e. LMod )
2		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
3		lssvnegcl.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
4	2, 3	lsselg 14341	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. ( Base ` W ) )
5		lssvnegcl.n	. . . 4 |- N = ( invg ` W )
6		eqid 2229	. . . 4 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
7		eqid 2229	. . . 4 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
8		eqid 2229	. . . 4 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
9		eqid 2229	. . . 4 |- ( invg ` (Scalar ` W ) ) = ( invg ` (Scalar ` W ) )
10	2, 5, 6, 7, 8, 9	lmodvneg1 14310	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. ( Base ` W ) ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( N ` X ) )
11	1, 4, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( N ` X ) )
12		simp2 1022	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> U e. S )
13	6	lmodring 14275	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> (Scalar ` W ) e. Ring )
14	13	3ad2ant1 1042	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> (Scalar ` W ) e. Ring )
15	14	ringgrpd 13984	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> (Scalar ` W ) e. Grp )
16		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
17	16, 8	ringidcl 13999	. . . . 5 |- ( (Scalar ` W ) e. Ring -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
18	14, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
19	16, 9	grpinvcl 13597	. . . 4 |- ( ( (Scalar ` W ) e. Grp /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
20	15, 18, 19	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
21		simp3 1023	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. U )
22	6, 7, 16, 3	lssvscl 14355	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. U ) ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) e. U )
23	1, 12, 20, 21, 22	syl22anc 1272	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) e. U )
24	11, 23	eqeltrrd 2307	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( N ` X ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13048  Scalarcsca 13129   .scvsca 13130   Grpcgrp 13549   invgcminusg 13550   1rcur 13938   Ringcrg 13975   LModclmod 14267   LSubSpclss 14332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-base 13054  df-sets 13055  df-plusg 13139  df-mulr 13140  df-sca 13142  df-vsca 13143  df-0g 13307  df-mgm 13405  df-sgrp 13451  df-mnd 13466  df-grp 13552  df-minusg 13553  df-sbg 13554  df-mgp 13900  df-ur 13939  df-ring 13977  df-lmod 14269  df-lssm 14333

This theorem is referenced by:  lsssubg  14357  lidlnegcl  14465