Theorem lssvnegcl 13685

Description: Closure of negative vectors in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvnegcl.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssvnegcl.n	|- N = ( invg ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssvnegcl	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( N ` X ) e. U )

Proof of Theorem lssvnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> W e. LMod )
2		eqid 2189	. . . 4 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
3		lssvnegcl.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
4	2, 3	lsselg 13670	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. ( Base ` W ) )
5		lssvnegcl.n	. . . 4 |- N = ( invg ` W )
6		eqid 2189	. . . 4 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
7		eqid 2189	. . . 4 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
8		eqid 2189	. . . 4 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
9		eqid 2189	. . . 4 |- ( invg ` (Scalar ` W ) ) = ( invg ` (Scalar ` W ) )
10	2, 5, 6, 7, 8, 9	lmodvneg1 13639	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. ( Base ` W ) ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( N ` X ) )
11	1, 4, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( N ` X ) )
12		simp2 1000	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> U e. S )
13	6	lmodring 13604	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> (Scalar ` W ) e. Ring )
14	13	3ad2ant1 1020	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> (Scalar ` W ) e. Ring )
15	14	ringgrpd 13352	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> (Scalar ` W ) e. Grp )
16		eqid 2189	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
17	16, 8	ringidcl 13367	. . . . 5 |- ( (Scalar ` W ) e. Ring -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
18	14, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
19	16, 9	grpinvcl 12985	. . . 4 |- ( ( (Scalar ` W ) e. Grp /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
20	15, 18, 19	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
21		simp3 1001	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. U )
22	6, 7, 16, 3	lssvscl 13684	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. U ) ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) e. U )
23	1, 12, 20, 21, 22	syl22anc 1250	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) e. U )
24	11, 23	eqeltrrd 2267	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( N ` X ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   Basecbs 12507  Scalarcsca 12585   .scvsca 12586   Grpcgrp 12938   invgcminusg 12939   1rcur 13306   Ringcrg 13343   LModclmod 13596   LSubSpclss 13661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-addcom 7936  ax-addass 7938  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltadd 7952

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-ltxr 8022  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-5 9006  df-6 9007  df-ndx 12510  df-slot 12511  df-base 12513  df-sets 12514  df-plusg 12595  df-mulr 12596  df-sca 12598  df-vsca 12599  df-0g 12756  df-mgm 12825  df-sgrp 12858  df-mnd 12871  df-grp 12941  df-minusg 12942  df-sbg 12943  df-mgp 13268  df-ur 13307  df-ring 13345  df-lmod 13598  df-lssm 13662

This theorem is referenced by:  lsssubg  13686  lidlnegcl  13794