Theorem lssvancl1 14383

Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. (Contributed by NM, 14-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvancl.v	|- V = ( Base ` W )
lssvancl.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssvancl.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssvancl.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssvancl.u	|- ( ph -> U e. S )
lssvancl.x	|- ( ph -> X e. U )
lssvancl.y	|- ( ph -> Y e. V )
lssvancl.n	|- ( ph -> -. Y e. U )

Assertion

Ref	Expression
lssvancl1	|- ( ph -> -. ( X .+ Y ) e. U )

Proof of Theorem lssvancl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvancl.n	. 2 |- ( ph -> -. Y e. U )
2		lssvancl.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LMod )
3		lmodabl 14350	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> W e. Abel )
5		lssvancl.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. S )
6		lssvancl.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. U )
7		lssvancl.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
8		lssvancl.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
9	7, 8	lsselg 14377	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. V )
10	2, 5, 6, 9	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ph -> X e. V )
11		lssvancl.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. V )
12		lssvancl.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` W )
13		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
14	7, 12, 13	ablpncan2 13904	. . . . 5 |- ( ( W e. Abel /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) = Y )
15	4, 10, 11, 14	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) = Y )
16	15	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) = Y )
17	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> W e. LMod )
18	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> U e. S )
19		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> ( X .+ Y ) e. U )
20	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> X e. U )
21	13, 8	lssvsubcl 14382	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( ( X .+ Y ) e. U /\ X e. U ) ) -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) e. U )
22	17, 18, 19, 20, 21	syl22anc 1274	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) e. U )
23	16, 22	eqeltrrd 2309	. 2 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> Y e. U )
24	1, 23	mtand 671	1 |- ( ph -> -. ( X .+ Y ) e. U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13083   +g cplusg 13161   -gcsg 13586   Abelcabl 13873   LModclmod 14303   LSubSpclss 14368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-ndx 13086  df-slot 13087  df-base 13089  df-sets 13090  df-plusg 13174  df-mulr 13175  df-sca 13177  df-vsca 13178  df-0g 13342  df-mgm 13440  df-sgrp 13486  df-mnd 13501  df-grp 13587  df-minusg 13588  df-sbg 13589  df-cmn 13874  df-abl 13875  df-mgp 13936  df-ur 13975  df-ring 14013  df-lmod 14305  df-lssm 14369

This theorem is referenced by:  lssvancl2  14384