Theorem lssvancl1 14487

Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. (Contributed by NM, 14-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvancl.v	|- V = ( Base ` W )
lssvancl.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssvancl.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssvancl.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssvancl.u	|- ( ph -> U e. S )
lssvancl.x	|- ( ph -> X e. U )
lssvancl.y	|- ( ph -> Y e. V )
lssvancl.n	|- ( ph -> -. Y e. U )

Assertion

Ref	Expression
lssvancl1	|- ( ph -> -. ( X .+ Y ) e. U )

Proof of Theorem lssvancl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvancl.n	. 2 |- ( ph -> -. Y e. U )
2		lssvancl.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LMod )
3		lmodabl 14454	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> W e. Abel )
5		lssvancl.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. S )
6		lssvancl.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. U )
7		lssvancl.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
8		lssvancl.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
9	7, 8	lsselg 14481	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. V )
10	2, 5, 6, 9	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ph -> X e. V )
11		lssvancl.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. V )
12		lssvancl.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` W )
13		eqid 2232	. . . . . 6 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
14	7, 12, 13	ablpncan2 14007	. . . . 5 |- ( ( W e. Abel /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) = Y )
15	4, 10, 11, 14	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) = Y )
16	15	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) = Y )
17	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> W e. LMod )
18	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> U e. S )
19		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> ( X .+ Y ) e. U )
20	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> X e. U )
21	13, 8	lssvsubcl 14486	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( ( X .+ Y ) e. U /\ X e. U ) ) -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) e. U )
22	17, 18, 19, 20, 21	syl22anc 1275	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) e. U )
23	16, 22	eqeltrrd 2310	. 2 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> Y e. U )
24	1, 23	mtand 671	1 |- ( ph -> -. ( X .+ Y ) e. U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5343  (class class class)co 6041   Basecbs 13186   +g cplusg 13264   -gcsg 13689   Abelcabl 13976   LModclmod 14407   LSubSpclss 14472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4218  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-addcom 8215  ax-addass 8217  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltadd 8231

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-id 4405  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-1st 6325  df-2nd 6326  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-ltxr 8301  df-inn 9226  df-2 9284  df-3 9285  df-4 9286  df-5 9287  df-6 9288  df-ndx 13189  df-slot 13190  df-base 13192  df-sets 13193  df-plusg 13277  df-mulr 13278  df-sca 13280  df-vsca 13281  df-0g 13445  df-mgm 13543  df-sgrp 13589  df-mnd 13604  df-grp 13690  df-minusg 13691  df-sbg 13692  df-cmn 13977  df-abl 13978  df-mgp 14039  df-ur 14078  df-ring 14116  df-lmod 14409  df-lssm 14473

This theorem is referenced by:  lssvancl2  14488