Theorem lssvancl1 14679

Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. (Contributed by NM, 14-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvancl.v	|- V = ( Base ` W )
lssvancl.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssvancl.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssvancl.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssvancl.u	|- ( ph -> U e. S )
lssvancl.x	|- ( ph -> X e. U )
lssvancl.y	|- ( ph -> Y e. V )
lssvancl.n	|- ( ph -> -. Y e. U )

Assertion

Ref	Expression
lssvancl1	|- ( ph -> -. ( X .+ Y ) e. U )

Proof of Theorem lssvancl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvancl.n	. 2 |- ( ph -> -. Y e. U )
2		lssvancl.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LMod )
3		lmodabl 14646	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> W e. Abel )
5		lssvancl.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. S )
6		lssvancl.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. U )
7		lssvancl.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
8		lssvancl.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
9	7, 8	lsselg 14673	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. V )
10	2, 5, 6, 9	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ph -> X e. V )
11		lssvancl.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. V )
12		lssvancl.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` W )
13		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
14	7, 12, 13	ablpncan2 14100	. . . . 5 |- ( ( W e. Abel /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) = Y )
15	4, 10, 11, 14	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) = Y )
16	15	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) = Y )
17	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> W e. LMod )
18	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> U e. S )
19		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> ( X .+ Y ) e. U )
20	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> X e. U )
21	13, 8	lssvsubcl 14678	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( ( X .+ Y ) e. U /\ X e. U ) ) -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) e. U )
22	17, 18, 19, 20, 21	syl22anc 1279	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) e. U )
23	16, 22	eqeltrrd 2316	. 2 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> Y e. U )
24	1, 23	mtand 675	1 |- ( ph -> -. ( X .+ Y ) e. U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   Basecbs 13333   +g cplusg 13411   -gcsg 13787   Abelcabl 14068   LModclmod 14599   LSubSpclss 14664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-ltxr 8358  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-4 9347  df-5 9348  df-6 9349  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-sets 13340  df-plusg 13424  df-mulr 13425  df-sca 13427  df-vsca 13428  df-0g 13592  df-mgm 13656  df-sgrp 13697  df-mnd 13710  df-grp 13788  df-minusg 13789  df-sbg 13790  df-cmn 14069  df-abl 14070  df-mgp 14198  df-ur 14241  df-ring 14279  df-lmod 14601  df-lssm 14665

This theorem is referenced by:  lssvancl2  14680