Theorem lssvancl1 14204

Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. (Contributed by NM, 14-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvancl.v	|- V = ( Base ` W )
lssvancl.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssvancl.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssvancl.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssvancl.u	|- ( ph -> U e. S )
lssvancl.x	|- ( ph -> X e. U )
lssvancl.y	|- ( ph -> Y e. V )
lssvancl.n	|- ( ph -> -. Y e. U )

Assertion

Ref	Expression
lssvancl1	|- ( ph -> -. ( X .+ Y ) e. U )

Proof of Theorem lssvancl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvancl.n	. 2 |- ( ph -> -. Y e. U )
2		lssvancl.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LMod )
3		lmodabl 14171	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> W e. Abel )
5		lssvancl.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. S )
6		lssvancl.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. U )
7		lssvancl.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
8		lssvancl.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
9	7, 8	lsselg 14198	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. V )
10	2, 5, 6, 9	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ph -> X e. V )
11		lssvancl.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. V )
12		lssvancl.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` W )
13		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
14	7, 12, 13	ablpncan2 13727	. . . . 5 |- ( ( W e. Abel /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) = Y )
15	4, 10, 11, 14	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) = Y )
16	15	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) = Y )
17	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> W e. LMod )
18	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> U e. S )
19		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> ( X .+ Y ) e. U )
20	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> X e. U )
21	13, 8	lssvsubcl 14203	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( ( X .+ Y ) e. U /\ X e. U ) ) -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) e. U )
22	17, 18, 19, 20, 21	syl22anc 1251	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) e. U )
23	16, 22	eqeltrrd 2284	. 2 |- ( ( ph /\ ( X .+ Y ) e. U ) -> Y e. U )
24	1, 23	mtand 667	1 |- ( ph -> -. ( X .+ Y ) e. U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   Basecbs 12907   +g cplusg 12984   -gcsg 13409   Abelcabl 13696   LModclmod 14124   LSubSpclss 14189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-sca 13000  df-vsca 13001  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-minusg 13411  df-sbg 13412  df-cmn 13697  df-abl 13698  df-mgp 13758  df-ur 13797  df-ring 13835  df-lmod 14126  df-lssm 14190

This theorem is referenced by:  lssvancl2  14205