Theorem lssvacl 14242

Description: Closure of vector addition in a subspace. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvacl.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssvacl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssvacl	|- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X .+ Y ) e. U )

Proof of Theorem lssvacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> W e. LMod )
2		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> U e. S )
3		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> X e. U )
4		eqid 2207	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
5		lssvacl.s	. . . . . 6 |- S = ( LSubSp ` W )
6	4, 5	lsselg 14238	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. ( Base ` W ) )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> X e. ( Base ` W ) )
8		eqid 2207	. . . . 5 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
9		eqid 2207	. . . . 5 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
10		eqid 2207	. . . . 5 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
11	4, 8, 9, 10	lmodvs1 14193	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. ( Base ` W ) ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) = X )
12	1, 7, 11	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) = X )
13	12	oveq1d 5982	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ Y ) = ( X .+ Y ) )
14		eqid 2207	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
15	8, 14, 10	lmod1cl 14192	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
16	15	ad2antrr 488	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
17		simprr 531	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> Y e. U )
18		lssvacl.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
19	8, 14, 18, 9, 5	lssclg 14241	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ Y ) e. U )
20	1, 2, 16, 3, 17, 19	syl113anc 1262	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ Y ) e. U )
21	13, 20	eqeltrrd 2285	1 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X .+ Y ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024  Scalarcsca 13027   .scvsca 13028   1rcur 13836   LModclmod 14164   LSubSpclss 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-mgp 13798  df-ur 13837  df-ring 13875  df-lmod 14166  df-lssm 14230

This theorem is referenced by:  lsssubg  14254  lspprvacl  14290  lidlacl  14361