Theorem lssvacl 14674

Description: Closure of vector addition in a subspace. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvacl.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssvacl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssvacl	|- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X .+ Y ) e. U )

Proof of Theorem lssvacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> W e. LMod )
2		simplr 533	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> U e. S )
3		simprl 535	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> X e. U )
4		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
5		lssvacl.s	. . . . . 6 |- S = ( LSubSp ` W )
6	4, 5	lsselg 14670	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. ( Base ` W ) )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> X e. ( Base ` W ) )
8		eqid 2238	. . . . 5 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
9		eqid 2238	. . . . 5 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
10		eqid 2238	. . . . 5 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
11	4, 8, 9, 10	lmodvs1 14625	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. ( Base ` W ) ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) = X )
12	1, 7, 11	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) = X )
13	12	oveq1d 6090	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ Y ) = ( X .+ Y ) )
14		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
15	8, 14, 10	lmod1cl 14624	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
16	15	ad2antrr 492	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
17		simprr 537	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> Y e. U )
18		lssvacl.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
19	8, 14, 18, 9, 5	lssclg 14673	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ Y ) e. U )
20	1, 2, 16, 3, 17, 19	syl113anc 1290	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ Y ) e. U )
21	13, 20	eqeltrrd 2316	1 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X .+ Y ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408  Scalarcsca 13411   .scvsca 13412   1rcur 14237   LModclmod 14596   LSubSpclss 14661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-lmod 14598  df-lssm 14662

This theorem is referenced by:  lsssubg  14686  lspprvacl  14722  lidlacl  14793