Theorem lssvacl 14329

Description: Closure of vector addition in a subspace. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvacl.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssvacl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssvacl	|- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X .+ Y ) e. U )

Proof of Theorem lssvacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> W e. LMod )
2		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> U e. S )
3		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> X e. U )
4		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
5		lssvacl.s	. . . . . 6 |- S = ( LSubSp ` W )
6	4, 5	lsselg 14325	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. ( Base ` W ) )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> X e. ( Base ` W ) )
8		eqid 2229	. . . . 5 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
9		eqid 2229	. . . . 5 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
10		eqid 2229	. . . . 5 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
11	4, 8, 9, 10	lmodvs1 14280	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. ( Base ` W ) ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) = X )
12	1, 7, 11	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) = X )
13	12	oveq1d 6016	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ Y ) = ( X .+ Y ) )
14		eqid 2229	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
15	8, 14, 10	lmod1cl 14279	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
16	15	ad2antrr 488	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
17		simprr 531	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> Y e. U )
18		lssvacl.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
19	8, 14, 18, 9, 5	lssclg 14328	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ Y ) e. U )
20	1, 2, 16, 3, 17, 19	syl113anc 1283	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) X ) .+ Y ) e. U )
21	13, 20	eqeltrrd 2307	1 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. U /\ Y e. U ) ) -> ( X .+ Y ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   +g cplusg 13110  Scalarcsca 13113   .scvsca 13114   1rcur 13922   LModclmod 14251   LSubSpclss 14316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-sca 13126  df-vsca 13127  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-mgp 13884  df-ur 13923  df-ring 13961  df-lmod 14253  df-lssm 14317

This theorem is referenced by:  lsssubg  14341  lspprvacl  14377  lidlacl  14448