Theorem lssvscl 14540

Description: Closure of scalar product in a subspace. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvscl.f	|- F = (Scalar ` W )
lssvscl.t	|- .x. = ( .s ` W )
lssvscl.b	|- B = ( Base ` F )
lssvscl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssvscl	|- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( X .x. Y ) e. U )

Proof of Theorem lssvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> W e. LMod )
2		simprl 531	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> X e. B )
3		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> U e. S )
4		simprr 533	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> Y e. U )
5		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
6		lssvscl.s	. . . . . 6 |- S = ( LSubSp ` W )
7	5, 6	lsselg 14526	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ Y e. U ) -> Y e. ( Base ` W ) )
8	1, 3, 4, 7	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> Y e. ( Base ` W ) )
9		lssvscl.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
10		lssvscl.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
11		lssvscl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` F )
12	5, 9, 10, 11	lmodvscl 14470	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. B /\ Y e. ( Base ` W ) ) -> ( X .x. Y ) e. ( Base ` W ) )
13	1, 2, 8, 12	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( X .x. Y ) e. ( Base ` W ) )
14		eqid 2234	. . . 4 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
15		eqid 2234	. . . 4 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
16	5, 14, 15	lmod0vrid 14484	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .x. Y ) e. ( Base ` W ) ) -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) = ( X .x. Y ) )
17	1, 13, 16	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) = ( X .x. Y ) )
18	15, 6	lss0cl 14534	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( 0g ` W ) e. U )
19	18	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( 0g ` W ) e. U )
20	9, 11, 14, 10, 6	lssclg 14529	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ ( 0g ` W ) e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) e. U )
21	1, 3, 2, 4, 19, 20	syl113anc 1286	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) e. U )
22	17, 21	eqeltrrd 2312	1 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( X .x. Y ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   Basecbs 13229   +g cplusg 13307  Scalarcsca 13310   .scvsca 13311   0gc0g 13486   LModclmod 14452   LSubSpclss 14517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-ltxr 8315  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-sets 13236  df-plusg 13320  df-mulr 13321  df-sca 13323  df-vsca 13324  df-0g 13488  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-grp 13733  df-minusg 13734  df-sbg 13735  df-mgp 14082  df-ur 14121  df-ring 14159  df-lmod 14454  df-lssm 14518

This theorem is referenced by:  lssvnegcl  14541  islss3  14544  islss4  14547  lspsneli  14580  lspsn  14581