Theorem lssvscl 14007

Description: Closure of scalar product in a subspace. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvscl.f	|- F = (Scalar ` W )
lssvscl.t	|- .x. = ( .s ` W )
lssvscl.b	|- B = ( Base ` F )
lssvscl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssvscl	|- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( X .x. Y ) e. U )

Proof of Theorem lssvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> W e. LMod )
2		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> X e. B )
3		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> U e. S )
4		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> Y e. U )
5		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
6		lssvscl.s	. . . . . 6 |- S = ( LSubSp ` W )
7	5, 6	lsselg 13993	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ Y e. U ) -> Y e. ( Base ` W ) )
8	1, 3, 4, 7	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> Y e. ( Base ` W ) )
9		lssvscl.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
10		lssvscl.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
11		lssvscl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` F )
12	5, 9, 10, 11	lmodvscl 13937	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. B /\ Y e. ( Base ` W ) ) -> ( X .x. Y ) e. ( Base ` W ) )
13	1, 2, 8, 12	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( X .x. Y ) e. ( Base ` W ) )
14		eqid 2196	. . . 4 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
15		eqid 2196	. . . 4 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
16	5, 14, 15	lmod0vrid 13951	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .x. Y ) e. ( Base ` W ) ) -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) = ( X .x. Y ) )
17	1, 13, 16	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) = ( X .x. Y ) )
18	15, 6	lss0cl 14001	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( 0g ` W ) e. U )
19	18	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( 0g ` W ) e. U )
20	9, 11, 14, 10, 6	lssclg 13996	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ ( 0g ` W ) e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) e. U )
21	1, 3, 2, 4, 19, 20	syl113anc 1261	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) e. U )
22	17, 21	eqeltrrd 2274	1 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( X .x. Y ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780  Scalarcsca 12783   .scvsca 12784   0gc0g 12958   LModclmod 13919   LSubSpclss 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-sbg 13207  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-ring 13630  df-lmod 13921  df-lssm 13985

This theorem is referenced by:  lssvnegcl  14008  islss3  14011  islss4  14014  lspsneli  14047  lspsn  14048