Theorem lssvscl 13559

Description: Closure of scalar product in a subspace. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvscl.f	|- F = (Scalar ` W )
lssvscl.t	|- .x. = ( .s ` W )
lssvscl.b	|- B = ( Base ` F )
lssvscl.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssvscl	|- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( X .x. Y ) e. U )

Proof of Theorem lssvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> W e. LMod )
2		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> X e. B )
3		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> U e. S )
4		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> Y e. U )
5		eqid 2187	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
6		lssvscl.s	. . . . . 6 |- S = ( LSubSp ` W )
7	5, 6	lsselg 13545	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ Y e. U ) -> Y e. ( Base ` W ) )
8	1, 3, 4, 7	syl3anc 1248	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> Y e. ( Base ` W ) )
9		lssvscl.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
10		lssvscl.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
11		lssvscl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` F )
12	5, 9, 10, 11	lmodvscl 13489	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. B /\ Y e. ( Base ` W ) ) -> ( X .x. Y ) e. ( Base ` W ) )
13	1, 2, 8, 12	syl3anc 1248	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( X .x. Y ) e. ( Base ` W ) )
14		eqid 2187	. . . 4 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
15		eqid 2187	. . . 4 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
16	5, 14, 15	lmod0vrid 13503	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .x. Y ) e. ( Base ` W ) ) -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) = ( X .x. Y ) )
17	1, 13, 16	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) = ( X .x. Y ) )
18	15, 6	lss0cl 13553	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( 0g ` W ) e. U )
19	18	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( 0g ` W ) e. U )
20	9, 11, 14, 10, 6	lssclg 13548	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ ( X e. B /\ Y e. U /\ ( 0g ` W ) e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) e. U )
21	1, 3, 2, 4, 19, 20	syl113anc 1260	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) e. U )
22	17, 21	eqeltrrd 2265	1 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( X e. B /\ Y e. U ) ) -> ( X .x. Y ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12475   +g cplusg 12550  Scalarcsca 12553   .scvsca 12554   0gc0g 12722   LModclmod 13471   LSubSpclss 13536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-grp 12901  df-minusg 12902  df-sbg 12903  df-mgp 13171  df-ur 13207  df-ring 13245  df-lmod 13473  df-lssm 13537

This theorem is referenced by:  lssvnegcl  13560  islss3  13563  islss4  13566  lspsneli  13599  lspsn  13600