Theorem lsselg 14381

Description: A subspace member is a vector. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsselg	⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lsselg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssss.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lssss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssssg 14380	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
4	3	3adant3 1043	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
5		simp3 1025	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
6	4, 5	sseldd 3228	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  ‘cfv 5326  Basecbs 13087  LSubSpclss 14372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-lssm 14373

This theorem is referenced by:  lssvacl  14385  lssvsubcl  14386  lssvancl1  14387  lssvancl2  14388  lss0cl  14389  lssvscl  14395  lssvnegcl  14396  lspsnel6  14428  lspsnel5a  14430  lssats2  14434