Theorem plusffng 13578

Description: The group addition operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
plusffn.1	|- B = ( Base ` G )
plusffn.2	|- .+^ = ( +f ` G )

Assertion

Ref	Expression
plusffng	|- ( G e. V -> .+^ Fn ( B X. B ) )

Proof of Theorem plusffng

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2816	. . . . 5 |- x e. _V
2		plusgslid 13325	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 13239	. . . . 5 |- ( G e. V -> ( +g ` G ) e. _V )
4		vex 2816	. . . . . 6 |- y e. _V
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. _V )
6		ovexg 6084	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V /\ y e. _V ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. _V )
7	1, 3, 5, 6	mp3an2ani 1381	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. _V )
8	7	ralrimivva 2624	. . 3 |- ( G e. V -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) y ) e. _V )
9		eqid 2232	. . . 4 |- ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) )
10	9	fnmpo 6398	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) y ) e. _V -> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) Fn ( B X. B ) )
11	8, 10	syl 14	. 2 |- ( G e. V -> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) Fn ( B X. B ) )
12		plusffn.1	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
13		eqid 2232	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
14		plusffn.2	. . . 4 |- .+^ = ( +f ` G )
15	12, 13, 14	plusffvalg 13575	. . 3 |- ( G e. V -> .+^ = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) )
16	15	fneq1d 5446	. 2 |- ( G e. V -> ( .+^ Fn ( B X. B ) <-> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) Fn ( B X. B ) ) )
17	11, 16	mpbird 167	1 |- ( G e. V -> .+^ Fn ( B X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   _Vcvv 2813   X. cxp 4747   Fn wfn 5347   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   e. cmpo 6052   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   +fcplusf 13566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-plusf 13568

This theorem is referenced by:  lmodfopnelem1  14472