Theorem plusffng 13447

Description: The group addition operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
plusffn.1	|- B = ( Base ` G )
plusffn.2	|- .+^ = ( +f ` G )

Assertion

Ref	Expression
plusffng	|- ( G e. V -> .+^ Fn ( B X. B ) )

Proof of Theorem plusffng

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2805	. . . . 5 |- x e. _V
2		plusgslid 13194	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 13108	. . . . 5 |- ( G e. V -> ( +g ` G ) e. _V )
4		vex 2805	. . . . . 6 |- y e. _V
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. _V )
6		ovexg 6051	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V /\ y e. _V ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. _V )
7	1, 3, 5, 6	mp3an2ani 1380	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. _V )
8	7	ralrimivva 2614	. . 3 |- ( G e. V -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) y ) e. _V )
9		eqid 2231	. . . 4 |- ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) )
10	9	fnmpo 6366	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) y ) e. _V -> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) Fn ( B X. B ) )
11	8, 10	syl 14	. 2 |- ( G e. V -> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) Fn ( B X. B ) )
12		plusffn.1	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
13		eqid 2231	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
14		plusffn.2	. . . 4 |- .+^ = ( +f ` G )
15	12, 13, 14	plusffvalg 13444	. . 3 |- ( G e. V -> .+^ = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) )
16	15	fneq1d 5420	. 2 |- ( G e. V -> ( .+^ Fn ( B X. B ) <-> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) Fn ( B X. B ) ) )
17	11, 16	mpbird 167	1 |- ( G e. V -> .+^ Fn ( B X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   X. cxp 4723   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   e. cmpo 6019   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   +fcplusf 13435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-plusf 13437

This theorem is referenced by:  lmodfopnelem1  14337