Theorem plusffng 13008

Description: The group addition operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
plusffn.1	|- B = ( Base ` G )
plusffn.2	|- .+^ = ( +f ` G )

Assertion

Ref	Expression
plusffng	|- ( G e. V -> .+^ Fn ( B X. B ) )

Proof of Theorem plusffng

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2766	. . . . 5 |- x e. _V
2		plusgslid 12790	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 12705	. . . . 5 |- ( G e. V -> ( +g ` G ) e. _V )
4		vex 2766	. . . . . 6 |- y e. _V
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. _V )
6		ovexg 5956	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V /\ y e. _V ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. _V )
7	1, 3, 5, 6	mp3an2ani 1355	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. _V )
8	7	ralrimivva 2579	. . 3 |- ( G e. V -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) y ) e. _V )
9		eqid 2196	. . . 4 |- ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) )
10	9	fnmpo 6260	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) y ) e. _V -> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) Fn ( B X. B ) )
11	8, 10	syl 14	. 2 |- ( G e. V -> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) Fn ( B X. B ) )
12		plusffn.1	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
13		eqid 2196	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
14		plusffn.2	. . . 4 |- .+^ = ( +f ` G )
15	12, 13, 14	plusffvalg 13005	. . 3 |- ( G e. V -> .+^ = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) )
16	15	fneq1d 5348	. 2 |- ( G e. V -> ( .+^ Fn ( B X. B ) <-> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) Fn ( B X. B ) ) )
17	11, 16	mpbird 167	1 |- ( G e. V -> .+^ Fn ( B X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   X. cxp 4661   Fn wfn 5253   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   +fcplusf 12996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-plusf 12998

This theorem is referenced by:  lmodfopnelem1  13880