Theorem plusffng 12619

Description: The group addition operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
plusffn.1	|- B = ( Base ` G )
plusffn.2	|- .+^ = ( +f ` G )

Assertion

Ref	Expression
plusffng	|- ( G e. V -> .+^ Fn ( B X. B ) )

Proof of Theorem plusffng

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2733	. . . . 5 |- x e. _V
2		plusgslid 12513	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 12443	. . . . 5 |- ( G e. V -> ( +g ` G ) e. _V )
4		vex 2733	. . . . . 6 |- y e. _V
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. _V )
6		ovexg 5887	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V /\ y e. _V ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. _V )
7	1, 3, 5, 6	mp3an2ani 1339	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. _V )
8	7	ralrimivva 2552	. . 3 |- ( G e. V -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) y ) e. _V )
9		eqid 2170	. . . 4 |- ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) )
10	9	fnmpo 6181	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) y ) e. _V -> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) Fn ( B X. B ) )
11	8, 10	syl 14	. 2 |- ( G e. V -> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) Fn ( B X. B ) )
12		plusffn.1	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
13		eqid 2170	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
14		plusffn.2	. . . 4 |- .+^ = ( +f ` G )
15	12, 13, 14	plusffvalg 12616	. . 3 |- ( G e. V -> .+^ = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) )
16	15	fneq1d 5288	. 2 |- ( G e. V -> ( .+^ Fn ( B X. B ) <-> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` G ) y ) ) Fn ( B X. B ) ) )
17	11, 16	mpbird 166	1 |- ( G e. V -> .+^ Fn ( B X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   X. cxp 4609   Fn wfn 5193   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   e. cmpo 5855   Basecbs 12416   +g cplusg 12480   +fcplusf 12607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-inn 8879  df-2 8937  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-plusg 12493  df-plusf 12609

This theorem is referenced by: (None)