Theorem mhmfmhm 13897

Description: The function fulfilling the conditions of mhmmnd 13896 is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmgrp.f	|- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
ghmgrp.x	|- X = ( Base ` G )
ghmgrp.y	|- Y = ( Base ` H )
ghmgrp.p	|- .+ = ( +g ` G )
ghmgrp.q	|- .+^ = ( +g ` H )
ghmgrp.1	|- ( ph -> F : X -onto-> Y )
mhmmnd.3	|- ( ph -> G e. Mnd )

Assertion

Ref	Expression
mhmfmhm	|- ( ph -> F e. ( G MndHom H ) )

Distinct variable groups:   x, F, y   x, G, y   x, .+ , y   x, H, y   x, X, y   x, Y, y   x, .+^ , y   ph, x, y

Proof of Theorem mhmfmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmmnd.3	. 2 |- ( ph -> G e. Mnd )
2		ghmgrp.f	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
3		ghmgrp.x	. . 3 |- X = ( Base ` G )
4		ghmgrp.y	. . 3 |- Y = ( Base ` H )
5		ghmgrp.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
6		ghmgrp.q	. . 3 |- .+^ = ( +g ` H )
7		ghmgrp.1	. . 3 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1	mhmmnd 13896	. 2 |- ( ph -> H e. Mnd )
9		fof 5610	. . . 4 |- ( F : X -onto-> Y -> F : X --> Y )
10	7, 9	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F : X --> Y )
11	2	3expb 1235	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
12	11	ralrimivva 2632	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
13		eqid 2238	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 13	mhmid 13895	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` H ) )
15	10, 12, 14	3jca 1208	. 2 |- ( ph -> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` H ) ) )
16		eqid 2238	. . 3 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
17	3, 4, 5, 6, 13, 16	ismhm 13745	. 2 |- ( F e. ( G MndHom H ) <-> ( ( G e. Mnd /\ H e. Mnd ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` H ) ) ) )
18	1, 8, 15, 17	syl21anbrc 1213	1 |- ( ph -> F e. ( G MndHom H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   -->wf 5368   -onto->wfo 5370   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   0gc0g 13587   Mndcmnd 13706   MndHom cmhm 13741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fo 5378  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-mhm 13743

This theorem is referenced by: (None)