Theorem mhmfmhm 12986

Description: The function fulfilling the conditions of mhmmnd 12985 is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmgrp.f	|- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
ghmgrp.x	|- X = ( Base ` G )
ghmgrp.y	|- Y = ( Base ` H )
ghmgrp.p	|- .+ = ( +g ` G )
ghmgrp.q	|- .+^ = ( +g ` H )
ghmgrp.1	|- ( ph -> F : X -onto-> Y )
mhmmnd.3	|- ( ph -> G e. Mnd )

Assertion

Ref	Expression
mhmfmhm	|- ( ph -> F e. ( G MndHom H ) )

Distinct variable groups:   x, F, y   x, G, y   x, .+ , y   x, H, y   x, X, y   x, Y, y   x, .+^ , y   ph, x, y

Proof of Theorem mhmfmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmmnd.3	. 2 |- ( ph -> G e. Mnd )
2		ghmgrp.f	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
3		ghmgrp.x	. . 3 |- X = ( Base ` G )
4		ghmgrp.y	. . 3 |- Y = ( Base ` H )
5		ghmgrp.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
6		ghmgrp.q	. . 3 |- .+^ = ( +g ` H )
7		ghmgrp.1	. . 3 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1	mhmmnd 12985	. 2 |- ( ph -> H e. Mnd )
9		fof 5440	. . . 4 |- ( F : X -onto-> Y -> F : X --> Y )
10	7, 9	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F : X --> Y )
11	2	3expb 1204	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
12	11	ralrimivva 2559	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
13		eqid 2177	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 13	mhmid 12984	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` H ) )
15	10, 12, 14	3jca 1177	. 2 |- ( ph -> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` H ) ) )
16		eqid 2177	. . 3 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
17	3, 4, 5, 6, 13, 16	ismhm 12858	. 2 |- ( F e. ( G MndHom H ) <-> ( ( G e. Mnd /\ H e. Mnd ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` H ) ) ) )
18	1, 8, 15, 17	syl21anbrc 1182	1 |- ( ph -> F e. ( G MndHom H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   -->wf 5214   -onto->wfo 5216   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   0gc0g 12710   Mndcmnd 12822   MndHom cmhm 12854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fo 5224  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-mhm 12856

This theorem is referenced by: (None)