ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mhmfmhm GIF version

Theorem mhmfmhm 13025
Description: The function fulfilling the conditions of mhmmnd 13024 is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmgrp.f ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
ghmgrp.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmgrp.y 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmgrp.p + = (+g𝐺)
ghmgrp.q = (+g𝐻)
ghmgrp.1 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
mhmmnd.3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
Assertion
Ref Expression
mhmfmhm (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem mhmfmhm
StepHypRef Expression
1 mhmmnd.3 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
2 ghmgrp.f . . 3 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
3 ghmgrp.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 ghmgrp.y . . 3 𝑌 = (Base‘𝐻)
5 ghmgrp.p . . 3 + = (+g𝐺)
6 ghmgrp.q . . 3 = (+g𝐻)
7 ghmgrp.1 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
82, 3, 4, 5, 6, 7, 1mhmmnd 13024 . 2 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
9 fof 5453 . . . 4 (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
107, 9syl 14 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
1123expb 1206 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
1211ralrimivva 2572 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
13 eqid 2189 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 13mhmid 13023 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(0g𝐺)) = (0g𝐻))
1510, 12, 143jca 1179 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g𝐺)) = (0g𝐻)))
16 eqid 2189 . . 3 (0g𝐻) = (0g𝐻)
173, 4, 5, 6, 13, 16ismhm 12879 . 2 (𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g𝐺)) = (0g𝐻))))
181, 8, 15, 17syl21anbrc 1184 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  wf 5227  ontowfo 5229  cfv 5231  (class class class)co 5891  Basecbs 12480  +gcplusg 12555  0gc0g 12727  Mndcmnd 12843   MndHom cmhm 12875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1re 7923  ax-addrcl 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fo 5237  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-map 6668  df-inn 8938  df-2 8996  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-plusg 12568  df-0g 12729  df-mgm 12798  df-sgrp 12831  df-mnd 12844  df-mhm 12877
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator