ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mhmfmhm GIF version

Theorem mhmfmhm 13009
Description: The function fulfilling the conditions of mhmmnd 13008 is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmgrp.f ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
ghmgrp.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmgrp.y 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmgrp.p + = (+g𝐺)
ghmgrp.q = (+g𝐻)
ghmgrp.1 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
mhmmnd.3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
Assertion
Ref Expression
mhmfmhm (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem mhmfmhm
StepHypRef Expression
1 mhmmnd.3 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
2 ghmgrp.f . . 3 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
3 ghmgrp.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 ghmgrp.y . . 3 𝑌 = (Base‘𝐻)
5 ghmgrp.p . . 3 + = (+g𝐺)
6 ghmgrp.q . . 3 = (+g𝐻)
7 ghmgrp.1 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
82, 3, 4, 5, 6, 7, 1mhmmnd 13008 . 2 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
9 fof 5450 . . . 4 (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
107, 9syl 14 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
1123expb 1205 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
1211ralrimivva 2569 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
13 eqid 2187 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 13mhmid 13007 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(0g𝐺)) = (0g𝐻))
1510, 12, 143jca 1178 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g𝐺)) = (0g𝐻)))
16 eqid 2187 . . 3 (0g𝐻) = (0g𝐻)
173, 4, 5, 6, 13, 16ismhm 12872 . 2 (𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g𝐺)) = (0g𝐻))))
181, 8, 15, 17syl21anbrc 1183 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 979   = wceq 1363  wcel 2158  wral 2465  wf 5224  ontowfo 5226  cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12475  +gcplusg 12550  0gc0g 12722  Mndcmnd 12836   MndHom cmhm 12868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fo 5234  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-map 6663  df-inn 8933  df-2 8991  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-mhm 12870
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator