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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xltadd1 | Unicode version |
Description: Extended real version of ltadd1 8058. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Apr-2023.) |
Ref | Expression |
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xltadd1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simplr 500 |
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2 | simpr 109 |
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3 | simpll3 990 |
. . . 4
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4 | ltadd1 8058 |
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5 | simp1 949 |
. . . . . . 7
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6 | simp3 951 |
. . . . . . 7
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7 | 5, 6 | rexaddd 9478 |
. . . . . 6
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8 | simp2 950 |
. . . . . . 7
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9 | 8, 6 | rexaddd 9478 |
. . . . . 6
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10 | 7, 9 | breq12d 3888 |
. . . . 5
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11 | 4, 10 | bitr4d 190 |
. . . 4
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12 | 1, 2, 3, 11 | syl3anc 1184 |
. . 3
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13 | ltpnf 9408 |
. . . . . 6
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14 | 13 | ad2antlr 476 |
. . . . 5
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15 | breq2 3879 |
. . . . . 6
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16 | 15 | adantl 273 |
. . . . 5
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17 | 14, 16 | mpbird 166 |
. . . 4
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18 | simplr 500 |
. . . . . . 7
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19 | simpll3 990 |
. . . . . . 7
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20 | rexadd 9476 |
. . . . . . . 8
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21 | readdcl 7618 |
. . . . . . . 8
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22 | 20, 21 | eqeltrd 2176 |
. . . . . . 7
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23 | 18, 19, 22 | syl2anc 406 |
. . . . . 6
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24 | ltpnf 9408 |
. . . . . 6
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25 | 23, 24 | syl 14 |
. . . . 5
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26 | oveq1 5713 |
. . . . . . 7
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27 | 26 | adantl 273 |
. . . . . 6
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28 | rexr 7683 |
. . . . . . . 8
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29 | renemnf 7686 |
. . . . . . . 8
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30 | xaddpnf2 9471 |
. . . . . . . 8
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31 | 28, 29, 30 | syl2anc 406 |
. . . . . . 7
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32 | 19, 31 | syl 14 |
. . . . . 6
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33 | 27, 32 | eqtrd 2132 |
. . . . 5
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34 | 25, 33 | breqtrrd 3901 |
. . . 4
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35 | 17, 34 | 2thd 174 |
. . 3
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36 | mnfle 9419 |
. . . . . . . 8
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37 | 36 | 3ad2ant1 970 |
. . . . . . 7
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38 | 37 | ad2antrr 475 |
. . . . . 6
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39 | mnfxr 7694 |
. . . . . . 7
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40 | simpll1 988 |
. . . . . . 7
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41 | xrlenlt 7701 |
. . . . . . 7
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42 | 39, 40, 41 | sylancr 408 |
. . . . . 6
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43 | 38, 42 | mpbid 146 |
. . . . 5
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44 | breq2 3879 |
. . . . . 6
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45 | 44 | adantl 273 |
. . . . 5
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46 | 43, 45 | mtbird 639 |
. . . 4
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47 | 28 | 3ad2ant3 972 |
. . . . . . . . 9
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48 | 47 | ad2antrr 475 |
. . . . . . . 8
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49 | xaddcl 9484 |
. . . . . . . 8
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50 | 40, 48, 49 | syl2anc 406 |
. . . . . . 7
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51 | mnfle 9419 |
. . . . . . 7
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52 | 50, 51 | syl 14 |
. . . . . 6
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53 | xrlenlt 7701 |
. . . . . . 7
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54 | 39, 50, 53 | sylancr 408 |
. . . . . 6
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55 | 52, 54 | mpbid 146 |
. . . . 5
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56 | simpr 109 |
. . . . . . . 8
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57 | 56 | oveq1d 5721 |
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58 | renepnf 7685 |
. . . . . . . . . 10
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59 | 58 | 3ad2ant3 972 |
. . . . . . . . 9
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60 | 59 | ad2antrr 475 |
. . . . . . . 8
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61 | xaddmnf2 9473 |
. . . . . . . 8
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62 | 48, 60, 61 | syl2anc 406 |
. . . . . . 7
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63 | 57, 62 | eqtrd 2132 |
. . . . . 6
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64 | 63 | breq2d 3887 |
. . . . 5
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65 | 55, 64 | mtbird 639 |
. . . 4
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66 | 46, 65 | 2falsed 659 |
. . 3
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67 | elxr 9404 |
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68 | 67 | biimpi 119 |
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71 | 12, 35, 66, 70 | mpjao3dan 1253 |
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72 | simpl2 953 |
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73 | pnfge 9416 |
. . . . . 6
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74 | 72, 73 | syl 14 |
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75 | pnfxr 7690 |
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76 | 75 | a1i 9 |
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77 | xrlenlt 7701 |
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78 | 72, 76, 77 | syl2anc 406 |
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79 | 74, 78 | mpbid 146 |
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80 | simpr 109 |
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81 | 80 | breq1d 3885 |
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82 | 79, 81 | mtbird 639 |
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83 | 47 | adantr 272 |
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84 | xaddcl 9484 |
. . . . . . . 8
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85 | 72, 83, 84 | syl2anc 406 |
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86 | pnfge 9416 |
. . . . . . 7
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88 | 29 | 3ad2ant3 972 |
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89 | 88 | adantr 272 |
. . . . . . 7
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90 | 83, 89, 30 | syl2anc 406 |
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91 | 87, 90 | breqtrrd 3901 |
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92 | xaddcl 9484 |
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93 | 75, 83, 92 | sylancr 408 |
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94 | xrlenlt 7701 |
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95 | 85, 93, 94 | syl2anc 406 |
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96 | 91, 95 | mpbid 146 |
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97 | 80 | oveq1d 5721 |
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98 | 97 | breq1d 3885 |
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99 | 96, 98 | mtbird 639 |
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100 | 82, 99 | 2falsed 659 |
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101 | simplr 500 |
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102 | mnflt 9410 |
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103 | 102 | adantl 273 |
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104 | 101, 103 | eqbrtrd 3895 |
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105 | 101 | oveq1d 5721 |
. . . . . 6
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106 | simpll3 990 |
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107 | 106, 28 | syl 14 |
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108 | 106, 58 | syl 14 |
. . . . . . 7
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109 | 107, 108, 61 | syl2anc 406 |
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110 | 105, 109 | eqtrd 2132 |
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111 | simpr 109 |
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112 | rexadd 9476 |
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113 | readdcl 7618 |
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114 | 112, 113 | eqeltrd 2176 |
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115 | 111, 106, 114 | syl2anc 406 |
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116 | mnflt 9410 |
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117 | 115, 116 | syl 14 |
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118 | 110, 117 | eqbrtrd 3895 |
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119 | 104, 118 | 2thd 174 |
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120 | simplr 500 |
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121 | simpr 109 |
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122 | 120, 121 | breq12d 3888 |
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123 | oveq1 5713 |
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124 | 47, 59, 61 | syl2anc 406 |
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125 | 123, 124 | sylan9eqr 2154 |
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126 | 125 | adantr 272 |
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127 | 26 | adantl 273 |
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128 | 47, 88, 30 | syl2anc 406 |
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129 | 128 | ad2antrr 475 |
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130 | 127, 129 | eqtrd 2132 |
. . . . 5
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131 | 126, 130 | breq12d 3888 |
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132 | 122, 131 | bitr4d 190 |
. . 3
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133 | simplr 500 |
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134 | simpr 109 |
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135 | 133, 134 | breq12d 3888 |
. . . 4
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136 | 124 | ad2antrr 475 |
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137 | 123 | eqeq1d 2108 |
. . . . . . 7
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138 | 137 | ad2antlr 476 |
. . . . . 6
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139 | 136, 138 | mpbird 166 |
. . . . 5
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140 | 134 | oveq1d 5721 |
. . . . . 6
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141 | 140, 136 | eqtrd 2132 |
. . . . 5
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142 | 139, 141 | breq12d 3888 |
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143 | 135, 142 | bitr4d 190 |
. . 3
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144 | 69 | adantr 272 |
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145 | 119, 132, 143, 144 | mpjao3dan 1253 |
. 2
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146 | elxr 9404 |
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147 | 146 | biimpi 119 |
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148 | 147 | 3ad2ant1 970 |
. 2
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149 | 71, 100, 145, 148 | mpjao3dan 1253 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-sep 3986 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 ax-1cn 7588 ax-1re 7589 ax-icn 7590 ax-addcl 7591 ax-addrcl 7592 ax-mulcl 7593 ax-addcom 7595 ax-addass 7597 ax-i2m1 7600 ax-0id 7603 ax-rnegex 7604 ax-pre-ltadd 7611 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 787 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-nel 2363 df-ral 2380 df-rex 2381 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-if 3422 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-id 4153 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-fv 5067 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-ltxr 7677 df-le 7678 df-xadd 9401 |
This theorem is referenced by: xltadd2 9501 xlt2add 9504 xrmaxaddlem 10868 |
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