ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mnfle GIF version

Theorem mnfle 9585
Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
mnfle (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)

Proof of Theorem mnfle
StepHypRef Expression
1 nltmnf 9581 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
2 mnfxr 7829 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
3 xrlenlt 7836 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
42, 3mpan 420 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
51, 4mpbird 166 1 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 104  wcel 1480   class class class wbr 3929  -∞cmnf 7805  *cxr 7806   < clt 7807  cle 7808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813
This theorem is referenced by:  xrre2  9611  xleadd1a  9663  xltadd1  9666  xlt2add  9670  xsubge0  9671  xlesubadd  9673  xleaddadd  9677  elioc2  9726  iccmax  9739  xrmaxifle  11022  xrmaxltsup  11034  xrmaxadd  11037  tgioo  12725
  Copyright terms: Public domain W3C validator