ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mpoxopovel Unicode version

Theorem mpoxopovel 6236
Description: Element of the value of an operation given by a maps-to rule, where the first argument is a pair and the base set of the second argument is the first component of the first argument. (Contributed by Alexander van der Vekens and Mario Carneiro, 10-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
mpoxopoveq.f  |-  F  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  ( 1st `  x )  |->  { n  e.  ( 1st `  x )  |  ph } )
Assertion
Ref Expression
mpoxopovel  |-  ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y )  ->  ( N  e.  (
<. V ,  W >. F K )  <->  ( K  e.  V  /\  N  e.  V  /\  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph ) ) )
Distinct variable groups:    n, K, x, y    n, V, x, y    n, W, x, y    n, X, x, y    n, Y, x, y    x, N, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, n)    F( x, y, n)    N( n)

Proof of Theorem mpoxopovel
StepHypRef Expression
1 mpoxopoveq.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  ( 1st `  x )  |->  { n  e.  ( 1st `  x )  |  ph } )
21mpoxopn0yelv 6234 . . 3  |-  ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y )  ->  ( N  e.  (
<. V ,  W >. F K )  ->  K  e.  V ) )
32pm4.71rd 394 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y )  ->  ( N  e.  (
<. V ,  W >. F K )  <->  ( K  e.  V  /\  N  e.  ( <. V ,  W >. F K ) ) ) )
41mpoxopoveq 6235 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y
)  /\  K  e.  V )  ->  ( <. V ,  W >. F K )  =  {
n  e.  V  |  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. ph }
)
54eleq2d 2247 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y
)  /\  K  e.  V )  ->  ( N  e.  ( <. V ,  W >. F K )  <->  N  e.  { n  e.  V  |  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. ph } ) )
6 nfcv 2319 . . . . . . 7  |-  F/_ n V
76elrabsf 3001 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { n  e.  V  |  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. ph }  <->  ( N  e.  V  /\  [. N  /  n ]. [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. ph ) )
8 sbccom 3038 . . . . . . . 8  |-  ( [. N  /  n ]. [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. ph  <->  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. N  /  n ]. [. K  /  y ]. ph )
9 sbccom 3038 . . . . . . . . 9  |-  ( [. N  /  n ]. [. K  /  y ]. ph  <->  [. K  / 
y ]. [. N  /  n ]. ph )
109sbcbii 3022 . . . . . . . 8  |-  ( [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. N  /  n ]. [. K  /  y ]. ph  <->  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph )
118, 10bitri 184 . . . . . . 7  |-  ( [. N  /  n ]. [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. ph  <->  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph )
1211anbi2i 457 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  V  /\  [. N  /  n ]. [.
<. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. ph )  <->  ( N  e.  V  /\  [.
<. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph )
)
137, 12bitri 184 . . . . 5  |-  ( N  e.  { n  e.  V  |  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. ph }  <->  ( N  e.  V  /\  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph ) )
145, 13bitrdi 196 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y
)  /\  K  e.  V )  ->  ( N  e.  ( <. V ,  W >. F K )  <->  ( N  e.  V  /\  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph ) ) )
1514pm5.32da 452 . . 3  |-  ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y )  ->  ( ( K  e.  V  /\  N  e.  ( <. V ,  W >. F K ) )  <-> 
( K  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph )
) ) )
16 3anass 982 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  N  e.  V  /\  [.
<. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph )  <->  ( K  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph )
) )
1715, 16bitr4di 198 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y )  ->  ( ( K  e.  V  /\  N  e.  ( <. V ,  W >. F K ) )  <-> 
( K  e.  V  /\  N  e.  V  /\  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph )
) )
183, 17bitrd 188 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y )  ->  ( N  e.  (
<. V ,  W >. F K )  <->  ( K  e.  V  /\  N  e.  V  /\  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   {crab 2459   _Vcvv 2737   [.wsbc 2962   <.cop 3594   ` cfv 5212  (class class class)co 5869    e. cmpo 5871   1stc1st 6133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator