Theorem mpoxopovel 6236

Description: Element of the value of an operation given by a maps-to rule, where the first argument is a pair and the base set of the second argument is the first component of the first argument. (Contributed by Alexander van der Vekens and Mario Carneiro, 10-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpoxopoveq.f	|- F = ( x e. _V , y e. ( 1st ` x ) |-> { n e. ( 1st ` x ) | ph } )

Assertion

Ref	Expression
mpoxopovel	|- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )

Distinct variable groups:   n, K, x, y   n, V, x, y   n, W, x, y   n, X, x, y   n, Y, x, y   x, N, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, n)   F( x, y, n)   N( n)

Proof of Theorem mpoxopovel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoxopoveq.f	. . . 4 |- F = ( x e. _V , y e. ( 1st ` x ) |-> { n e. ( 1st ` x ) | ph } )
2	1	mpoxopn0yelv 6234	. . 3 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) -> K e. V ) )
3	2	pm4.71rd 394	. 2 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( K e. V /\ N e. ( <. V , W >. F K ) ) ) )
4	1	mpoxopoveq 6235	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. X /\ W e. Y ) /\ K e. V ) -> ( <. V , W >. F K ) = { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } )
5	4	eleq2d 2247	. . . . 5 |- ( ( ( V e. X /\ W e. Y ) /\ K e. V ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> N e. { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } ) )
6		nfcv 2319	. . . . . . 7 |- F/_ n V
7	6	elrabsf 3001	. . . . . 6 |- ( N e. { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } <-> ( N e. V /\ [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph ) )
8		sbccom 3038	. . . . . . . 8 |- ( [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph <-> [. <. V , W >. / x ]. [. N / n ]. [. K / y ]. ph )
9		sbccom 3038	. . . . . . . . 9 |- ( [. N / n ]. [. K / y ]. ph <-> [. K / y ]. [. N / n ]. ph )
10	9	sbcbii 3022	. . . . . . . 8 |- ( [. <. V , W >. / x ]. [. N / n ]. [. K / y ]. ph <-> [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph )
11	8, 10	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph <-> [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph )
12	11	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( N e. V /\ [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph ) <-> ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) )
13	7, 12	bitri 184	. . . . 5 |- ( N e. { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } <-> ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) )
14	5, 13	bitrdi 196	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ W e. Y ) /\ K e. V ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )
15	14	pm5.32da 452	. . 3 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( ( K e. V /\ N e. ( <. V , W >. F K ) ) <-> ( K e. V /\ ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) ) )
16		3anass 982	. . 3 |- ( ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) <-> ( K e. V /\ ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )
17	15, 16	bitr4di 198	. 2 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( ( K e. V /\ N e. ( <. V , W >. F K ) ) <-> ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )
18	3, 17	bitrd 188	1 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   {crab 2459   _Vcvv 2737   [.wsbc 2962   <.cop 3594   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   e. cmpo 5871   1stc1st 6133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136

This theorem is referenced by: (None)