Theorem mpoxopovel 6485

Description: Element of the value of an operation given by a maps-to rule, where the first argument is a pair and the base set of the second argument is the first component of the first argument. (Contributed by Alexander van der Vekens and Mario Carneiro, 10-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpoxopoveq.f	|- F = ( x e. _V , y e. ( 1st ` x ) |-> { n e. ( 1st ` x ) | ph } )

Assertion

Ref	Expression
mpoxopovel	|- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )

Distinct variable groups:   n, K, x, y   n, V, x, y   n, W, x, y   n, X, x, y   n, Y, x, y   x, N, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, n)   F( x, y, n)   N( n)

Proof of Theorem mpoxopovel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoxopoveq.f	. . . 4 |- F = ( x e. _V , y e. ( 1st ` x ) |-> { n e. ( 1st ` x ) | ph } )
2	1	mpoxopn0yelv 6483	. . 3 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) -> K e. V ) )
3	2	pm4.71rd 394	. 2 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( K e. V /\ N e. ( <. V , W >. F K ) ) ) )
4	1	mpoxopoveq 6484	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. X /\ W e. Y ) /\ K e. V ) -> ( <. V , W >. F K ) = { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } )
5	4	eleq2d 2304	. . . . 5 |- ( ( ( V e. X /\ W e. Y ) /\ K e. V ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> N e. { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } ) )
6		nfcv 2386	. . . . . . 7 |- F/_ n V
7	6	elrabsf 3084	. . . . . 6 |- ( N e. { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } <-> ( N e. V /\ [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph ) )
8		sbccom 3121	. . . . . . . 8 |- ( [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph <-> [. <. V , W >. / x ]. [. N / n ]. [. K / y ]. ph )
9		sbccom 3121	. . . . . . . . 9 |- ( [. N / n ]. [. K / y ]. ph <-> [. K / y ]. [. N / n ]. ph )
10	9	sbcbii 3105	. . . . . . . 8 |- ( [. <. V , W >. / x ]. [. N / n ]. [. K / y ]. ph <-> [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph )
11	8, 10	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph <-> [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph )
12	11	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( N e. V /\ [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph ) <-> ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) )
13	7, 12	bitri 184	. . . . 5 |- ( N e. { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } <-> ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) )
14	5, 13	bitrdi 196	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ W e. Y ) /\ K e. V ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )
15	14	pm5.32da 452	. . 3 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( ( K e. V /\ N e. ( <. V , W >. F K ) ) <-> ( K e. V /\ ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) ) )
16		3anass 1009	. . 3 |- ( ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) <-> ( K e. V /\ ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )
17	15, 16	bitr4di 198	. 2 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( ( K e. V /\ N e. ( <. V , W >. F K ) ) <-> ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )
18	3, 17	bitrd 188	1 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   {crab 2526   _Vcvv 2815   [.wsbc 3045   <.cop 3697   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   e. cmpo 6060   1stc1st 6345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348

This theorem is referenced by: (None)