Theorem mpoxopovel 6138

Description: Element of the value of an operation given by a maps-to rule, where the first argument is a pair and the base set of the second argument is the first component of the first argument. (Contributed by Alexander van der Vekens and Mario Carneiro, 10-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpoxopoveq.f	|- F = ( x e. _V , y e. ( 1st ` x ) |-> { n e. ( 1st ` x ) | ph } )

Assertion

Ref	Expression
mpoxopovel	|- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )

Distinct variable groups:   n, K, x, y   n, V, x, y   n, W, x, y   n, X, x, y   n, Y, x, y   x, N, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, n)   F( x, y, n)   N( n)

Proof of Theorem mpoxopovel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoxopoveq.f	. . . 4 |- F = ( x e. _V , y e. ( 1st ` x ) |-> { n e. ( 1st ` x ) | ph } )
2	1	mpoxopn0yelv 6136	. . 3 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) -> K e. V ) )
3	2	pm4.71rd 391	. 2 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( K e. V /\ N e. ( <. V , W >. F K ) ) ) )
4	1	mpoxopoveq 6137	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. X /\ W e. Y ) /\ K e. V ) -> ( <. V , W >. F K ) = { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } )
5	4	eleq2d 2209	. . . . 5 |- ( ( ( V e. X /\ W e. Y ) /\ K e. V ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> N e. { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } ) )
6		nfcv 2281	. . . . . . 7 |- F/_ n V
7	6	elrabsf 2947	. . . . . 6 |- ( N e. { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } <-> ( N e. V /\ [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph ) )
8		sbccom 2984	. . . . . . . 8 |- ( [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph <-> [. <. V , W >. / x ]. [. N / n ]. [. K / y ]. ph )
9		sbccom 2984	. . . . . . . . 9 |- ( [. N / n ]. [. K / y ]. ph <-> [. K / y ]. [. N / n ]. ph )
10	9	sbcbii 2968	. . . . . . . 8 |- ( [. <. V , W >. / x ]. [. N / n ]. [. K / y ]. ph <-> [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph )
11	8, 10	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph <-> [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph )
12	11	anbi2i 452	. . . . . 6 |- ( ( N e. V /\ [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph ) <-> ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) )
13	7, 12	bitri 183	. . . . 5 |- ( N e. { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } <-> ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) )
14	5, 13	syl6bb 195	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ W e. Y ) /\ K e. V ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )
15	14	pm5.32da 447	. . 3 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( ( K e. V /\ N e. ( <. V , W >. F K ) ) <-> ( K e. V /\ ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) ) )
16		3anass 966	. . 3 |- ( ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) <-> ( K e. V /\ ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )
17	15, 16	syl6bbr 197	. 2 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( ( K e. V /\ N e. ( <. V , W >. F K ) ) <-> ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )
18	3, 17	bitrd 187	1 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   {crab 2420   _Vcvv 2686   [.wsbc 2909   <.cop 3530   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776   1stc1st 6036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039

This theorem is referenced by: (None)