Theorem mpoxopovel 6387

Description: Element of the value of an operation given by a maps-to rule, where the first argument is a pair and the base set of the second argument is the first component of the first argument. (Contributed by Alexander van der Vekens and Mario Carneiro, 10-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpoxopoveq.f	|- F = ( x e. _V , y e. ( 1st ` x ) |-> { n e. ( 1st ` x ) | ph } )

Assertion

Ref	Expression
mpoxopovel	|- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )

Distinct variable groups:   n, K, x, y   n, V, x, y   n, W, x, y   n, X, x, y   n, Y, x, y   x, N, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, n)   F( x, y, n)   N( n)

Proof of Theorem mpoxopovel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpoxopoveq.f	. . . 4 |- F = ( x e. _V , y e. ( 1st ` x ) |-> { n e. ( 1st ` x ) | ph } )
2	1	mpoxopn0yelv 6385	. . 3 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) -> K e. V ) )
3	2	pm4.71rd 394	. 2 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( K e. V /\ N e. ( <. V , W >. F K ) ) ) )
4	1	mpoxopoveq 6386	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. X /\ W e. Y ) /\ K e. V ) -> ( <. V , W >. F K ) = { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } )
5	4	eleq2d 2299	. . . . 5 |- ( ( ( V e. X /\ W e. Y ) /\ K e. V ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> N e. { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } ) )
6		nfcv 2372	. . . . . . 7 |- F/_ n V
7	6	elrabsf 3067	. . . . . 6 |- ( N e. { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } <-> ( N e. V /\ [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph ) )
8		sbccom 3104	. . . . . . . 8 |- ( [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph <-> [. <. V , W >. / x ]. [. N / n ]. [. K / y ]. ph )
9		sbccom 3104	. . . . . . . . 9 |- ( [. N / n ]. [. K / y ]. ph <-> [. K / y ]. [. N / n ]. ph )
10	9	sbcbii 3088	. . . . . . . 8 |- ( [. <. V , W >. / x ]. [. N / n ]. [. K / y ]. ph <-> [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph )
11	8, 10	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph <-> [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph )
12	11	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( N e. V /\ [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph ) <-> ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) )
13	7, 12	bitri 184	. . . . 5 |- ( N e. { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } <-> ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) )
14	5, 13	bitrdi 196	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ W e. Y ) /\ K e. V ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )
15	14	pm5.32da 452	. . 3 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( ( K e. V /\ N e. ( <. V , W >. F K ) ) <-> ( K e. V /\ ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) ) )
16		3anass 1006	. . 3 |- ( ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) <-> ( K e. V /\ ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )
17	15, 16	bitr4di 198	. 2 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( ( K e. V /\ N e. ( <. V , W >. F K ) ) <-> ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )
18	3, 17	bitrd 188	1 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   _Vcvv 2799   [.wsbc 3028   <.cop 3669   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   e. cmpo 6003   1stc1st 6284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287

This theorem is referenced by: (None)