ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul2lt0pn Unicode version

Theorem mul2lt0pn 9714
Description: The product of multiplicands of different signs is negative. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
mul2lt0.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
mul2lt0.an  |-  ( ph  ->  A  <  0 )
mul2lt0.bp  |-  ( ph  ->  0  <  B )
Assertion
Ref Expression
mul2lt0pn  |-  ( ph  ->  ( B  x.  A
)  <  0 )

Proof of Theorem mul2lt0pn
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
21recnd 7941 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 mul2lt0.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
43recnd 7941 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
52, 4mulcomd 7934 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
6 mul2lt0.an . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  0 )
7 mul2lt0.bp . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  B )
81, 3, 6, 7mul2lt0np 9713 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  <  0 )
95, 8eqbrtrrd 4011 1  |-  ( ph  ->  ( B  x.  A
)  <  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851   RRcr 7766   0cc0 7767    x. cmul 7772    < clt 7947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-ltxr 7952  df-sub 8085  df-neg 8086  df-rp 9604
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator