Theorem mul2lt0np 10164

Description: The product of multiplicands of different signs is negative. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	|- ( ph -> A e. RR )
mul2lt0.2	|- ( ph -> B e. RR )
mul2lt0.an	|- ( ph -> A < 0 )
mul2lt0.bp	|- ( ph -> 0 < B )

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0np	|- ( ph -> ( A x. B ) < 0 )

Proof of Theorem mul2lt0np

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		0red 8327	. . 3 |- ( ph -> 0 e. RR )
3		mul2lt0.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
4		mul2lt0.bp	. . . 4 |- ( ph -> 0 < B )
5	3, 4	elrpd 10094	. . 3 |- ( ph -> B e. RR+ )
6		mul2lt0.an	. . 3 |- ( ph -> A < 0 )
7	1, 2, 5, 6	ltmul1dd 10153	. 2 |- ( ph -> ( A x. B ) < ( 0 x. B ) )
8	3	recnd 8354	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
9	8	mul02d 8719	. 2 |- ( ph -> ( 0 x. B ) = 0 )
10	7, 9	breqtrd 4156	1 |- ( ph -> ( A x. B ) < 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   x. cmul 8184   < clt 8360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-sub 8499  df-neg 8500  df-rp 10055

This theorem is used by:  mul2lt0pn  10165