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Theorem sq01 11643

Description: If a complex number equals its square, it must be 0 or 1. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

**Assertion**
Ref	Expression
sq01	$\/$

**Proof of Theorem sq01**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 $/\$
2		recl 11601	. . . . . . . . . . . . . 14
3	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
4	3	recnd 8348	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
5	4, 4	muls1d 8739	. . . . . . . . . . 11 $/\$
6	4, 4	mulcld 8340	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
7	4, 6	negsubdi2d 8647	. . . . . . . . . . 11 $/\$
8		imcl 11602	. . . . . . . . . . . . . . 15
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10	9	recnd 8348	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
11	10	sqcld 11092	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
12	4	sqcld 11092	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
13	11	negcld 8618	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
14		replim 11607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15	14	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
17		ax-icn 8268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
19	18, 10	mulcld 8340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
20		binom2 11071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
21	4, 19, 20	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
22	16, 1, 21	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
23	18, 10	sqmuld 11106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
24		i2 11060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
25	24	oveq1i 6089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
26	23, 25	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
27	11	mulm1d 8731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
28	26, 27	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
29	28	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
30	22, 29	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
31		2cnd 9360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
32	4, 19	mulcld 8340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
33	31, 32	mulcld 8340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
34	12, 33, 13	add32d 8488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
35	30, 34	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
36	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
37	4, 18, 10	mul12d 8472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
38	37	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
39	4, 10	mulcld 8340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
40	31, 18, 39	mul12d 8472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
41	38, 40	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
42	41	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
43	35, 36, 42	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
44	3	resqcld 11120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
45	9	resqcld 11120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
46	45	renegcld 8701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
47	44, 46	readdcld 8349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
48		2re 9357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
50	3, 9	remulcld 8350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
51	49, 50	remulcld 8350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
52		cru 8924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	3, 9, 47, 51, 52	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
54	43, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
55	54	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
56	55	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
57	12, 13, 56	mvlladdd 8685	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
58	4	sqvald 11091	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
59	58	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
60	57, 59	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
61	11, 60	negcon1ad 8626	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	5, 7, 61	3eqtr2rd 2278	. . . . . . . . . 10 $/\$
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
64	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
65		peano2rem 8587	. . . . . . . . . . 11
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
67		1cnd 8336	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
68	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ #
69	68, 64	remulcld 8350	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ #
70	69	recnd 8348	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
71	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
72		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # #
73	10	mullidd 8338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74	54	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
75	73, 74	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
76	31, 4, 10	mulassd 8343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
77	75, 76	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
78	77	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
79	67, 70, 71, 72, 78	mulcanap2ad 8986	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
80	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
81		2cnd 9360	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
82		2ap0 9380	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
83	82	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # #
84	67, 80, 81, 83	divmulap2d 9148	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
85	79, 84	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
86	85	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
87		halflt1 9505	. . . . . . . . . . . . 13
88		halfre 9501	. . . . . . . . . . . . . . 15
89	88	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
90		1red 8335	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
91	89, 90	sublt0d 8892	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
92	87, 91	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
94	86, 93	eqbrtrrd 4152	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
95		halfgt0 9503	. . . . . . . . . . 11
96	95, 85	breqtrid 4165	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
97	66, 64, 94, 96	mul2lt0pn 10148	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
98	63, 97	eqbrtrd 4150	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
99		0red 8321	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
100	9	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
101	100	resqcld 11120	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
102	100	sqge0d 11121	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
103	99, 101, 102	lensymd 8442	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
104	98, 103	pm2.65da 671	. . . . . . 7 $/\$ #
105		0cnd 8313	. . . . . . . 8 $/\$
106		apti 8944	. . . . . . . 8 $/\$ #
107	10, 105, 106	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ #
108	104, 107	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$
109		reim0b 11610	. . . . . . 7
110	109	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
111	108, 110	mpbird 167	. . . . 5 $/\$
112		resq01 11078	. . . . 5 $\/$
113	111, 112	syl 14	. . . 4 $/\$ $\/$
114	1, 113	mpbid 147	. . 3 $/\$ $\/$
115	114	ex 115	. 2 $\/$
116		sq0 11050	. . . 4
117		oveq1 6086	. . . 4
118		id 19	. . . 4
119	116, 117, 118	3eqtr4a 2297	. . 3
120		sq1 11053	. . . 4
121		oveq1 6086	. . . 4
122		id 19	. . . 4
123	120, 121, 122	3eqtr4a 2297	. . 3
124	119, 123	jaoi 728	. 2 $\/$
125	115, 124	impbid1 142	1 $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 720

wceq 1402

wcel 2209 class class class wbr 4128

cfv 5375 (class class class)co 6079

cc 8171

cr 8172

cc0 8173

c1 8174

ci 8175

caddc 8176

cmul 8178

clt 8354

cmin 8491

cneg 8492 # cap 8903

cdiv 8996

c2 9338

cexp 10958

cre 11588

cim 11589

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4244 ax-sep 4247 ax-nul 4257 ax-pow 4309 ax-pr 4344 ax-un 4576 ax-setind 4682 ax-iinf 4733 ax-cnex 8264 ax-resscn 8265 ax-1cn 8266 ax-1re 8267 ax-icn 8268 ax-addcl 8269 ax-addrcl 8270 ax-mulcl 8271 ax-mulrcl 8272 ax-addcom 8273 ax-mulcom 8274 ax-addass 8275 ax-mulass 8276 ax-distr 8277 ax-i2m1 8278 ax-0lt1 8279 ax-1rid 8280 ax-0id 8281 ax-rnegex 8282 ax-precex 8283 ax-cnre 8284 ax-pre-ltirr 8285 ax-pre-ltwlin 8286 ax-pre-lttrn 8287 ax-pre-apti 8288 ax-pre-ltadd 8289 ax-pre-mulgt0 8290 ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3714 df-pr 3715 df-op 3717 df-uni 3934 df-int 3969 df-iun 4012 df-br 4129 df-opab 4191 df-mpt 4192 df-tr 4228 df-id 4436 df-po 4439 df-iso 4440 df-iord 4509 df-on 4511 df-ilim 4512 df-suc 4514 df-iom 4736 df-xp 4778 df-rel 4779 df-cnv 4780 df-co 4781 df-dm 4782 df-rn 4783 df-res 4784 df-ima 4785 df-iota 5335 df-fun 5377 df-fn 5378 df-f 5379 df-f1 5380 df-fo 5381 df-f1o 5382 df-fv 5383 df-riota 6032 df-ov 6082 df-oprab 6083 df-mpo 6084 df-1st 6368 df-2nd 6369 df-recs 6570 df-frec 6656 df-pnf 8356 df-mnf 8357 df-xr 8358 df-ltxr 8359 df-le 8360 df-sub 8493 df-neg 8494 df-reap 8897 df-ap 8904 df-div 8997 df-inn 9288 df-2 9346 df-n0 9547 df-z 9628 df-uz 9905 df-rp 10038 df-seqfrec 10868 df-exp 10959 df-cj 11590 df-re 11591 df-im 11592

This theorem is referenced by: (None)

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