sq01 - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > sq01		Unicode version

Theorem sq01 11608

Description: If a complex number equals its square, it must be 0 or 1. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

**Assertion**
Ref	Expression
sq01	$\/$

**Proof of Theorem sq01**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 $/\$
2		recl 11566	. . . . . . . . . . . . . 14
3	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
4	3	recnd 8318	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
5	4, 4	muls1d 8709	. . . . . . . . . . 11 $/\$
6	4, 4	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
7	4, 6	negsubdi2d 8617	. . . . . . . . . . 11 $/\$
8		imcl 11567	. . . . . . . . . . . . . . 15
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10	9	recnd 8318	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
11	10	sqcld 11061	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
12	4	sqcld 11061	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
13	11	negcld 8588	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
14		replim 11572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15	14	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
17		ax-icn 8238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
19	18, 10	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
20		binom2 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
21	4, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
22	16, 1, 21	3eqtr3d 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
23	18, 10	sqmuld 11075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
24		i2 11029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
25	24	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
26	23, 25	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
27	11	mulm1d 8701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
28	26, 27	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
29	28	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
30	22, 29	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
31		2cnd 9330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
32	4, 19	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
33	31, 32	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
34	12, 33, 13	add32d 8458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
35	30, 34	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
36	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
37	4, 18, 10	mul12d 8442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
38	37	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
39	4, 10	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
40	31, 18, 39	mul12d 8442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
41	38, 40	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
42	41	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
43	35, 36, 42	3eqtr3d 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
44	3	resqcld 11089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
45	9	resqcld 11089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
46	45	renegcld 8671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
47	44, 46	readdcld 8319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
48		2re 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
50	3, 9	remulcld 8320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
51	49, 50	remulcld 8320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
52		cru 8894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	3, 9, 47, 51, 52	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
54	43, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
55	54	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
56	55	eqcomd 2240	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
57	12, 13, 56	mvlladdd 8655	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
58	4	sqvald 11060	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
59	58	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
60	57, 59	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
61	11, 60	negcon1ad 8596	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	5, 7, 61	3eqtr2rd 2274	. . . . . . . . . 10 $/\$
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
64	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
65		peano2rem 8557	. . . . . . . . . . 11
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
67		1cnd 8306	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
68	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ #
69	68, 64	remulcld 8320	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ #
70	69	recnd 8318	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
71	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
72		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # #
73	10	mullidd 8308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74	54	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
75	73, 74	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
76	31, 4, 10	mulassd 8313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
77	75, 76	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
78	77	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
79	67, 70, 71, 72, 78	mulcanap2ad 8956	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
80	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
81		2cnd 9330	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
82		2ap0 9350	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
83	82	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # #
84	67, 80, 81, 83	divmulap2d 9118	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
85	79, 84	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
86	85	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
87		halflt1 9475	. . . . . . . . . . . . 13
88		halfre 9471	. . . . . . . . . . . . . . 15
89	88	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
90		1red 8305	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
91	89, 90	sublt0d 8862	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
92	87, 91	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
94	86, 93	eqbrtrrd 4138	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
95		halfgt0 9473	. . . . . . . . . . 11
96	95, 85	breqtrid 4151	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
97	66, 64, 94, 96	mul2lt0pn 10118	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
98	63, 97	eqbrtrd 4136	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
99		0red 8291	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
100	9	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
101	100	resqcld 11089	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
102	100	sqge0d 11090	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
103	99, 101, 102	lensymd 8412	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
104	98, 103	pm2.65da 667	. . . . . . 7 $/\$ #
105		0cnd 8283	. . . . . . . 8 $/\$
106		apti 8914	. . . . . . . 8 $/\$ #
107	10, 105, 106	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ #
108	104, 107	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$
109		reim0b 11575	. . . . . . 7
110	109	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
111	108, 110	mpbird 167	. . . . 5 $/\$
112		resq01 11047	. . . . 5 $\/$
113	111, 112	syl 14	. . . 4 $/\$ $\/$
114	1, 113	mpbid 147	. . 3 $/\$ $\/$
115	114	ex 115	. 2 $\/$
116		sq0 11019	. . . 4
117		oveq1 6065	. . . 4
118		id 19	. . . 4
119	116, 117, 118	3eqtr4a 2293	. . 3
120		sq1 11022	. . . 4
121		oveq1 6065	. . . 4
122		id 19	. . . 4
123	120, 121, 122	3eqtr4a 2293	. . 3
124	119, 123	jaoi 724	. 2 $\/$
125	115, 124	impbid1 142	1 $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716

wceq 1398

wcel 2205 class class class wbr 4114

cfv 5357 (class class class)co 6058

cc 8141

cr 8142

cc0 8143

c1 8144

ci 8145

caddc 8146

cmul 8148

clt 8324

cmin 8461

cneg 8462 # cap 8873

cdiv 8966

c2 9308

cexp 10927

cre 11553

cim 11554

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4230 ax-sep 4233 ax-nul 4241 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-iinf 4715 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-mulrcl 8242 ax-addcom 8243 ax-mulcom 8244 ax-addass 8245 ax-mulass 8246 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-1rid 8250 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-precex 8253 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-apti 8258 ax-pre-ltadd 8259 ax-pre-mulgt0 8260 ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-if 3625 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-tr 4214 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-iord 4492 df-on 4494 df-ilim 4495 df-suc 4497 df-iom 4718 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-f1 5362 df-fo 5363 df-f1o 5364 df-fv 5365 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-recs 6549 df-frec 6635 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8463 df-neg 8464 df-reap 8867 df-ap 8874 df-div 8967 df-inn 9258 df-2 9316 df-n0 9517 df-z 9598 df-uz 9875 df-rp 10008 df-seqfrec 10837 df-exp 10928 df-cj 11555 df-re 11556 df-im 11557

This theorem is referenced by: (None)

W3C validator