Theorem sq01 11662

Description: If a complex number equals its square, it must be 0 or 1. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sq01	|- ( A e. CC -> ( ( A ^ 2 ) = A <-> ( A = 0 \/ A = 1 ) ) )

Proof of Theorem sq01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( A ^ 2 ) = A )
2		recl 11620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
3	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( Re ` A ) e. RR )
4	3	recnd 8354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( Re ` A ) e. CC )
5	4, 4	muls1d 8745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( Re ` A ) x. ( ( Re ` A ) - 1 ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) - ( Re ` A ) ) )
6	4, 4	mulcld 8346	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) e. CC )
7	4, 6	negsubdi2d 8653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> -u ( ( Re ` A ) - ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) - ( Re ` A ) ) )
8		imcl 11621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( Im ` A ) e. RR )
10	9	recnd 8354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( Im ` A ) e. CC )
11	10	sqcld 11111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC )
12	4	sqcld 11111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. CC )
13	11	negcld 8624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. CC )
14		replim 11626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
15	14	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ^ 2 ) )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( A ^ 2 ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ^ 2 ) )
17		ax-icn 8274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- _i e. CC
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> _i e. CC )
19	18, 10	mulcld 8346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
20		binom2 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) ^ 2 ) ) )
21	4, 19, 20	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) ^ 2 ) ) )
22	16, 1, 21	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> A = ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) ^ 2 ) ) )
23	18, 10	sqmuld 11125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( _i x. ( Im ` A ) ) ^ 2 ) = ( ( _i ^ 2 ) x. ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )
24		i2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
25	24	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( _i ^ 2 ) x. ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) = ( -u 1 x. ( ( Im ` A ) ^ 2 ) )
26	23, 25	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( _i x. ( Im ` A ) ) ^ 2 ) = ( -u 1 x. ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )
27	11	mulm1d 8737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( -u 1 x. ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) = -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) )
28	26, 27	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( _i x. ( Im ` A ) ) ^ 2 ) = -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) )
29	28	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) + -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )
30	22, 29	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> A = ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) + -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )
31		2cnd 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> 2 e. CC )
32	4, 19	mulcld 8346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
33	31, 32	mulcld 8346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) e. CC )
34	12, 33, 13	add32d 8494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) + -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
35	30, 34	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> A = ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
36	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
37	4, 18, 10	mul12d 8478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) )
38	37	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) ) )
39	4, 10	mulcld 8346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) e. CC )
40	31, 18, 39	mul12d 8478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( 2 x. ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( _i x. ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) ) )
41	38, 40	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( _i x. ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) ) )
42	41	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
43	35, 36, 42	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
44	3	resqcld 11139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) e. RR )
45	9	resqcld 11139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. RR )
46	45	renegcld 8707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. RR )
47	44, 46	readdcld 8355	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR )
48		2re 9375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> 2 e. RR )
50	3, 9	remulcld 8356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) e. RR )
51	49, 50	remulcld 8356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) e. RR )
52		cru 8931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( Im ` A ) e. RR ) /\ ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) ) ) <-> ( ( Re ` A ) = ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) /\ ( Im ` A ) = ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
53	3, 9, 47, 51, 52	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) ) ) <-> ( ( Re ` A ) = ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) /\ ( Im ` A ) = ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
54	43, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( Re ` A ) = ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) /\ ( Im ` A ) = ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) ) )
55	54	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( Re ` A ) = ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )
56	55	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) = ( Re ` A ) )
57	12, 13, 56	mvlladdd 8691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) = ( ( Re ` A ) - ( ( Re ` A ) ^ 2 ) ) )
58	4	sqvald 11110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) = ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) )
59	58	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( Re ` A ) - ( ( Re ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( Re ` A ) - ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) ) )
60	57, 59	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> -u ( ( Im ` A ) ^ 2 ) = ( ( Re ` A ) - ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) ) )
61	11, 60	negcon1ad 8632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> -u ( ( Re ` A ) - ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) ) = ( ( Im ` A ) ^ 2 ) )
62	5, 7, 61	3eqtr2rd 2278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) = ( ( Re ` A ) x. ( ( Re ` A ) - 1 ) ) )
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) = ( ( Re ` A ) x. ( ( Re ` A ) - 1 ) ) )
64	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( Re ` A ) e. RR )
65		peano2rem 8593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Re ` A ) e. RR -> ( ( Re ` A ) - 1 ) e. RR )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( ( Re ` A ) - 1 ) e. RR )
67		1cnd 8342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> 1 e. CC )
68	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> 2 e. RR )
69	68, 64	remulcld 8356	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( 2 x. ( Re ` A ) ) e. RR )
70	69	recnd 8354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( 2 x. ( Re ` A ) ) e. CC )
71	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( Im ` A ) e. CC )
72		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( Im ` A ) # 0 )
73	10	mullidd 8344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( 1 x. ( Im ` A ) ) = ( Im ` A ) )
74	54	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( Im ` A ) = ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) )
75	73, 74	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( 1 x. ( Im ` A ) ) = ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) )
76	31, 4, 10	mulassd 8349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( 2 x. ( Re ` A ) ) x. ( Im ` A ) ) = ( 2 x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) )
77	75, 76	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( 1 x. ( Im ` A ) ) = ( ( 2 x. ( Re ` A ) ) x. ( Im ` A ) ) )
78	77	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( 1 x. ( Im ` A ) ) = ( ( 2 x. ( Re ` A ) ) x. ( Im ` A ) ) )
79	67, 70, 71, 72, 78	mulcanap2ad 8993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> 1 = ( 2 x. ( Re ` A ) ) )
80	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( Re ` A ) e. CC )
81		2cnd 9378	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> 2 e. CC )
82		2ap0 9398	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 # 0
83	82	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> 2 # 0 )
84	67, 80, 81, 83	divmulap2d 9155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) = ( Re ` A ) <-> 1 = ( 2 x. ( Re ` A ) ) ) )
85	79, 84	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( 1 / 2 ) = ( Re ` A ) )
86	85	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) - 1 ) = ( ( Re ` A ) - 1 ) )
87		halflt1 9524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) < 1
88		halfre 9520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 2 ) e. RR
89	88	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
90		1red 8341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> 1 e. RR )
91	89, 90	sublt0d 8899	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( ( 1 / 2 ) - 1 ) < 0 <-> ( 1 / 2 ) < 1 ) )
92	87, 91	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( 1 / 2 ) - 1 ) < 0 )
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) - 1 ) < 0 )
94	86, 93	eqbrtrrd 4154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( ( Re ` A ) - 1 ) < 0 )
95		halfgt0 9522	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < ( 1 / 2 )
96	95, 85	breqtrid 4167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> 0 < ( Re ` A ) )
97	66, 64, 94, 96	mul2lt0pn 10167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( ( Re ` A ) x. ( ( Re ` A ) - 1 ) ) < 0 )
98	63, 97	eqbrtrd 4152	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) < 0 )
99		0red 8327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> 0 e. RR )
100	9	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( Im ` A ) e. RR )
101	100	resqcld 11139	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) e. RR )
102	100	sqge0d 11140	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> 0 <_ ( ( Im ` A ) ^ 2 ) )
103	99, 101, 102	lensymd 8448	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) /\ ( Im ` A ) # 0 ) -> -. ( ( Im ` A ) ^ 2 ) < 0 )
104	98, 103	pm2.65da 671	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> -. ( Im ` A ) # 0 )
105		0cnd 8319	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> 0 e. CC )
106		apti 8951	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( ( Im ` A ) = 0 <-> -. ( Im ` A ) # 0 ) )
107	10, 105, 106	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( Im ` A ) = 0 <-> -. ( Im ` A ) # 0 ) )
108	104, 107	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( Im ` A ) = 0 )
109		reim0b 11629	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
110	109	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
111	108, 110	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> A e. RR )
112		resq01 11097	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( A ^ 2 ) = A <-> ( A = 0 \/ A = 1 ) ) )
113	111, 112	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( ( A ^ 2 ) = A <-> ( A = 0 \/ A = 1 ) ) )
114	1, 113	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( A ^ 2 ) = A ) -> ( A = 0 \/ A = 1 ) )
115	114	ex 115	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( A ^ 2 ) = A -> ( A = 0 \/ A = 1 ) ) )
116		sq0 11069	. . . 4 |- ( 0 ^ 2 ) = 0
117		oveq1 6092	. . . 4 |- ( A = 0 -> ( A ^ 2 ) = ( 0 ^ 2 ) )
118		id 19	. . . 4 |- ( A = 0 -> A = 0 )
119	116, 117, 118	3eqtr4a 2297	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A ^ 2 ) = A )
120		sq1 11072	. . . 4 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
121		oveq1 6092	. . . 4 |- ( A = 1 -> ( A ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
122		id 19	. . . 4 |- ( A = 1 -> A = 1 )
123	120, 121, 122	3eqtr4a 2297	. . 3 |- ( A = 1 -> ( A ^ 2 ) = A )
124	119, 123	jaoi 728	. 2 |- ( ( A = 0 \/ A = 1 ) -> ( A ^ 2 ) = A )
125	115, 124	impbid1 142	1 |- ( A e. CC -> ( ( A ^ 2 ) = A <-> ( A = 0 \/ A = 1 ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   _ici 8181   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   - cmin 8497   -ucneg 8498   # cap 8910   / cdiv 9003   2c2 9356   ^cexp 10977   Recre 11607   Imcim 11608

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-rp 10057  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611

This theorem is used by: (None)