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Theorem sq01 11683

Description: If a complex number equals its square, it must be 0 or 1. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

**Assertion**
Ref	Expression
sq01	$\/$

**Proof of Theorem sq01**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 $/\$
2		recl 11641	. . . . . . . . . . . . . 14
3	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
4	3	recnd 8361	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
5	4, 4	muls1d 8753	. . . . . . . . . . 11 $/\$
6	4, 4	mulcld 8353	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
7	4, 6	negsubdi2d 8661	. . . . . . . . . . 11 $/\$
8		imcl 11642	. . . . . . . . . . . . . . 15
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10	9	recnd 8361	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
11	10	sqcld 11131	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
12	4	sqcld 11131	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
13	11	negcld 8632	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
14		replim 11647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15	14	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
17		ax-icn 8281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
19	18, 10	mulcld 8353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
20		binom2 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
21	4, 19, 20	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
22	16, 1, 21	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
23	18, 10	sqmuld 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
24		i2 11099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
25	24	oveq1i 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
26	23, 25	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
27	11	mulm1d 8745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
28	26, 27	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
29	28	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
30	22, 29	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
31		2cnd 9387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
32	4, 19	mulcld 8353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
33	31, 32	mulcld 8353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
34	12, 33, 13	add32d 8502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
35	30, 34	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
36	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
37	4, 18, 10	mul12d 8486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
38	37	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
39	4, 10	mulcld 8353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
40	31, 18, 39	mul12d 8486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
41	38, 40	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
42	41	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
43	35, 36, 42	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
44	3	resqcld 11159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
45	9	resqcld 11159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
46	45	renegcld 8715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
47	44, 46	readdcld 8362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
48		2re 9384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
50	3, 9	remulcld 8363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
51	49, 50	remulcld 8363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
52		cru 8939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	3, 9, 47, 51, 52	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
54	43, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
55	54	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
56	55	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
57	12, 13, 56	mvlladdd 8699	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
58	4	sqvald 11130	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
59	58	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
60	57, 59	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
61	11, 60	negcon1ad 8640	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62	5, 7, 61	3eqtr2rd 2278	. . . . . . . . . 10 $/\$
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
64	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
65		peano2rem 8601	. . . . . . . . . . 11
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
67		1cnd 8349	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
68	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ #
69	68, 64	remulcld 8363	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ #
70	69	recnd 8361	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
71	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
72		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # #
73	10	mullidd 8351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
74	54	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
75	73, 74	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
76	31, 4, 10	mulassd 8356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
77	75, 76	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
78	77	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
79	67, 70, 71, 72, 78	mulcanap2ad 9001	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
80	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
81		2cnd 9387	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
82		2ap0 9407	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
83	82	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # #
84	67, 80, 81, 83	divmulap2d 9163	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ #
85	79, 84	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ #
86	85	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
87		halflt1 9534	. . . . . . . . . . . . 13
88		halfre 9530	. . . . . . . . . . . . . . 15
89	88	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
90		1red 8348	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
91	89, 90	sublt0d 8907	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
92	87, 91	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ #
94	86, 93	eqbrtrrd 4155	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
95		halfgt0 9532	. . . . . . . . . . 11
96	95, 85	breqtrid 4168	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
97	66, 64, 94, 96	mul2lt0pn 10183	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
98	63, 97	eqbrtrd 4153	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
99		0red 8334	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
100	9	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
101	100	resqcld 11159	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
102	100	sqge0d 11160	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
103	99, 101, 102	lensymd 8456	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ #
104	98, 103	pm2.65da 671	. . . . . . 7 $/\$ #
105		0cnd 8326	. . . . . . . 8 $/\$
106		apti 8959	. . . . . . . 8 $/\$ #
107	10, 105, 106	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ #
108	104, 107	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$
109		reim0b 11650	. . . . . . 7
110	109	adantr 276	. . . . . 6 $/\$
111	108, 110	mpbird 167	. . . . 5 $/\$
112		resq01 11117	. . . . 5 $\/$
113	111, 112	syl 14	. . . 4 $/\$ $\/$
114	1, 113	mpbid 147	. . 3 $/\$ $\/$
115	114	ex 115	. 2 $\/$
116		sq0 11089	. . . 4
117		oveq1 6095	. . . 4
118		id 19	. . . 4
119	116, 117, 118	3eqtr4a 2297	. . 3
120		sq1 11092	. . . 4
121		oveq1 6095	. . . 4
122		id 19	. . . 4
123	120, 121, 122	3eqtr4a 2297	. . 3
124	119, 123	jaoi 728	. 2 $\/$
125	115, 124	impbid1 142	1 $\/$

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 720

wceq 1402

wcel 2209 class class class wbr 4131

cfv 5380 (class class class)co 6088

cc 8184

cr 8185

cc0 8186

c1 8187

ci 8188

caddc 8189

cmul 8191

clt 8367

cmin 8505

cneg 8506 # cap 8918

cdiv 9011

c2 9365

cexp 10997

cre 11628

cim 11629

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4248 ax-sep 4251 ax-nul 4261 ax-pow 4313 ax-pr 4348 ax-un 4580 ax-setind 4686 ax-iinf 4737 ax-cnex 8277 ax-resscn 8278 ax-1cn 8279 ax-1re 8280 ax-icn 8281 ax-addcl 8282 ax-addrcl 8283 ax-mulcl 8284 ax-mulrcl 8285 ax-addcom 8286 ax-mulcom 8287 ax-addass 8288 ax-mulass 8289 ax-distr 8290 ax-i2m1 8291 ax-0lt1 8292 ax-1rid 8293 ax-0id 8294 ax-rnegex 8295 ax-precex 8296 ax-cnre 8297 ax-pre-ltirr 8298 ax-pre-ltwlin 8299 ax-pre-lttrn 8300 ax-pre-apti 8301 ax-pre-ltadd 8302 ax-pre-mulgt0 8303 ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4132 df-opab 4194 df-mpt 4195 df-tr 4232 df-id 4440 df-po 4443 df-iso 4444 df-iord 4513 df-on 4515 df-ilim 4516 df-suc 4518 df-iom 4740 df-xp 4782 df-rel 4783 df-cnv 4784 df-co 4785 df-dm 4786 df-rn 4787 df-res 4788 df-ima 4789 df-iota 5340 df-fun 5382 df-fn 5383 df-f 5384 df-f1 5385 df-fo 5386 df-f1o 5387 df-fv 5388 df-riota 6041 df-ov 6091 df-oprab 6092 df-mpo 6093 df-1st 6378 df-2nd 6379 df-recs 6580 df-frec 6666 df-pnf 8369 df-mnf 8370 df-xr 8371 df-ltxr 8372 df-le 8373 df-sub 8507 df-neg 8508 df-reap 8912 df-ap 8919 df-div 9012 df-inn 9315 df-2 9373 df-n0 9576 df-z 9657 df-uz 9939 df-rp 10073 df-seqfrec 10907 df-exp 10998 df-cj 11630 df-re 11631 df-im 11632

This theorem is used by: (None)

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