Theorem nn0nlt0 9321

Description: A nonnegative integer is not less than zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nlt0	|- ( A e. NN0 -> -. A < 0 )

Proof of Theorem nn0nlt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9320	. 2 |- ( A e. NN0 -> 0 <_ A )
2		0re 8072	. . 3 |- 0 e. RR
3		nn0re 9304	. . 3 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
4		lenlt 8148	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> -. A < 0 ) )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. 2 |- ( A e. NN0 -> ( 0 <_ A <-> -. A < 0 ) )
6	1, 5	mpbid 147	1 |- ( A e. NN0 -> -. A < 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   RRcr 7924   0cc0 7925   < clt 8107   <_ cle 8108   NN0cn0 9295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-iota 5232  df-fv 5279  df-ov 5947  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-inn 9037  df-n0 9296

This theorem is referenced by:  xnn0nnen  10582  expnegap0  10692  hashfiv01gt1  10927  bezoutlemmain  12319  lgsneg1  15502