Theorem nn0nlt0 9589

Description: A nonnegative integer is not less than zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nlt0	|- ( A e. NN0 -> -. A < 0 )

Proof of Theorem nn0nlt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9588	. 2 |- ( A e. NN0 -> 0 <_ A )
2		0re 8326	. . 3 |- 0 e. RR
3		nn0re 9572	. . 3 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
4		lenlt 8401	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> -. A < 0 ) )
5	2, 3, 4	sylancr 418	. 2 |- ( A e. NN0 -> ( 0 <_ A <-> -. A < 0 ) )
6	1, 5	mpbid 147	1 |- ( A e. NN0 -> -. A < 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   0cc0 8179   < clt 8360   <_ cle 8361   NN0cn0 9563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-inn 9305  df-n0 9564

This theorem is used by:  xnn0nnen  10874  expnegap0  10984  hashfiv01gt1  11221  bezoutlemmain  12775  lgsneg1  16144  wlkv0  16610