Theorem nn0nlt0 9219

Description: A nonnegative integer is not less than zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nlt0	|- ( A e. NN0 -> -. A < 0 )

Proof of Theorem nn0nlt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9218	. 2 |- ( A e. NN0 -> 0 <_ A )
2		0re 7974	. . 3 |- 0 e. RR
3		nn0re 9202	. . 3 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
4		lenlt 8050	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> -. A < 0 ) )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. 2 |- ( A e. NN0 -> ( 0 <_ A <-> -. A < 0 ) )
6	1, 5	mpbid 147	1 |- ( A e. NN0 -> -. A < 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2159   class class class wbr 4017   RRcr 7827   0cc0 7828   < clt 8009   <_ cle 8010   NN0cn0 9193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-ltadd 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-rab 2476  df-v 2753  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-xp 4646  df-cnv 4648  df-iota 5192  df-fv 5238  df-ov 5893  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-inn 8937  df-n0 9194

This theorem is referenced by:  expnegap0  10545  hashfiv01gt1  10779  bezoutlemmain  12016  lgsneg1  14809