Theorem nn0nlt0 9418

Description: A nonnegative integer is not less than zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nlt0	|- ( A e. NN0 -> -. A < 0 )

Proof of Theorem nn0nlt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9417	. 2 |- ( A e. NN0 -> 0 <_ A )
2		0re 8169	. . 3 |- 0 e. RR
3		nn0re 9401	. . 3 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
4		lenlt 8245	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> -. A < 0 ) )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. 2 |- ( A e. NN0 -> ( 0 <_ A <-> -. A < 0 ) )
6	1, 5	mpbid 147	1 |- ( A e. NN0 -> -. A < 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   RRcr 8021   0cc0 8022   < clt 8204   <_ cle 8205   NN0cn0 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-inn 9134  df-n0 9393

This theorem is referenced by:  xnn0nnen  10689  expnegap0  10799  hashfiv01gt1  11034  bezoutlemmain  12559  lgsneg1  15744  wlkv0  16166