Theorem nn0nlt0 9522

Description: A nonnegative integer is not less than zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nlt0	|- ( A e. NN0 -> -. A < 0 )

Proof of Theorem nn0nlt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9521	. 2 |- ( A e. NN0 -> 0 <_ A )
2		0re 8274	. . 3 |- 0 e. RR
3		nn0re 9505	. . 3 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
4		lenlt 8349	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> -. A < 0 ) )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. 2 |- ( A e. NN0 -> ( 0 <_ A <-> -. A < 0 ) )
6	1, 5	mpbid 147	1 |- ( A e. NN0 -> -. A < 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   RRcr 8126   0cc0 8127   < clt 8308   <_ cle 8309   NN0cn0 9496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-inn 9238  df-n0 9497

This theorem is referenced by:  xnn0nnen  10799  expnegap0  10909  hashfiv01gt1  11145  bezoutlemmain  12694  lgsneg1  15898  wlkv0  16364