Theorem lgsneg1 14779

Description: The Legendre symbol for nonnegative first parameter is unchanged by negation of the second. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsneg1	|- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( A /L -u N ) = ( A /L N ) )

Proof of Theorem lgsneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg0 8217	. . . 4 |- -u 0 = 0
2		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> N = 0 )
3	2	negeqd 8166	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> -u N = -u 0 )
4	1, 3, 2	3eqtr4a 2246	. . 3 |- ( ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> -u N = N )
5	4	oveq2d 5904	. 2 |- ( ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( A /L -u N ) = ( A /L N ) )
6		nn0z 9287	. . . . 5 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
7		lgsneg 14778	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L -u N ) = ( if ( A < 0 , -u 1 , 1 ) x. ( A /L N ) ) )
8	6, 7	syl3an1 1281	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L -u N ) = ( if ( A < 0 , -u 1 , 1 ) x. ( A /L N ) ) )
9		nn0nlt0 9216	. . . . . . 7 |- ( A e. NN0 -> -. A < 0 )
10	9	3ad2ant1 1019	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> -. A < 0 )
11	10	iffalsed 3556	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> if ( A < 0 , -u 1 , 1 ) = 1 )
12	11	oveq1d 5903	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( if ( A < 0 , -u 1 , 1 ) x. ( A /L N ) ) = ( 1 x. ( A /L N ) ) )
13	6	3ad2ant1 1019	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> A e. ZZ )
14		simp2 999	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> N e. ZZ )
15		lgscl 14768	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. ZZ )
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L N ) e. ZZ )
17	16	zcnd 9390	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L N ) e. CC )
18	17	mulid2d 7990	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( 1 x. ( A /L N ) ) = ( A /L N ) )
19	8, 12, 18	3eqtrd 2224	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L -u N ) = ( A /L N ) )
20	19	3expa 1204	. 2 |- ( ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> ( A /L -u N ) = ( A /L N ) )
21		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
22		0zd 9279	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
23		zdceq 9342	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
24	21, 22, 23	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
25		dcne 2368	. . 3 |- (DECID N = 0 <-> ( N = 0 \/ N =/= 0 ) )
26	24, 25	sylib 122	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 \/ N =/= 0 ) )
27	5, 20, 26	mpjaodan 799	1 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( A /L -u N ) = ( A /L N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   =/= wne 2357   ifcif 3546   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   0cc0 7825   1c1 7826   x. cmul 7830   < clt 8006   -ucneg 8143   NN0cn0 9190   ZZcz 9267   /Lclgs 14751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-xor 1386  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-2o 6432  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-fl 10284  df-mod 10337  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-proddc 11573  df-dvds 11809  df-gcd 11958  df-prm 12122  df-phi 12225  df-pc 12299  df-lgs 14752

This theorem is referenced by: (None)