Theorem lgsneg1 15617

Description: The Legendre symbol for nonnegative first parameter is unchanged by negation of the second. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsneg1	|- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( A /L -u N ) = ( A /L N ) )

Proof of Theorem lgsneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg0 8353	. . . 4 |- -u 0 = 0
2		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> N = 0 )
3	2	negeqd 8302	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> -u N = -u 0 )
4	1, 3, 2	3eqtr4a 2266	. . 3 |- ( ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> -u N = N )
5	4	oveq2d 5983	. 2 |- ( ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( A /L -u N ) = ( A /L N ) )
6		nn0z 9427	. . . . 5 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
7		lgsneg 15616	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L -u N ) = ( if ( A < 0 , -u 1 , 1 ) x. ( A /L N ) ) )
8	6, 7	syl3an1 1283	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L -u N ) = ( if ( A < 0 , -u 1 , 1 ) x. ( A /L N ) ) )
9		nn0nlt0 9356	. . . . . . 7 |- ( A e. NN0 -> -. A < 0 )
10	9	3ad2ant1 1021	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> -. A < 0 )
11	10	iffalsed 3589	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> if ( A < 0 , -u 1 , 1 ) = 1 )
12	11	oveq1d 5982	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( if ( A < 0 , -u 1 , 1 ) x. ( A /L N ) ) = ( 1 x. ( A /L N ) ) )
13	6	3ad2ant1 1021	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> A e. ZZ )
14		simp2 1001	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> N e. ZZ )
15		lgscl 15606	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. ZZ )
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L N ) e. ZZ )
17	16	zcnd 9531	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L N ) e. CC )
18	17	mulid2d 8126	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( 1 x. ( A /L N ) ) = ( A /L N ) )
19	8, 12, 18	3eqtrd 2244	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L -u N ) = ( A /L N ) )
20	19	3expa 1206	. 2 |- ( ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> ( A /L -u N ) = ( A /L N ) )
21		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
22		0zd 9419	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
23		zdceq 9483	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
24	21, 22, 23	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
25		dcne 2389	. . 3 |- (DECID N = 0 <-> ( N = 0 \/ N =/= 0 ) )
26	24, 25	sylib 122	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 \/ N =/= 0 ) )
27	5, 20, 26	mpjaodan 800	1 |- ( ( A e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( A /L -u N ) = ( A /L N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   ifcif 3579   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   0cc0 7960   1c1 7961   x. cmul 7965   < clt 8142   -ucneg 8279   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   /Lclgs 15589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-2o 6526  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-fl 10450  df-mod 10505  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-proddc 11977  df-dvds 12214  df-gcd 12390  df-prm 12545  df-phi 12648  df-pc 12723  df-lgs 15590

This theorem is referenced by: (None)