Theorem hashfiv01gt1 10782

Description: The size of a finite set is either 0 or 1 or greater than 1. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashfiv01gt1	|- ( M e. Fin -> ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 \/ 1 < (♯ ` M ) ) )

Proof of Theorem hashfiv01gt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( M e. Fin /\ (♯ ` M ) < 0 ) -> (♯ ` M ) < 0 )
2		hashcl 10781	. . . . 5 |- ( M e. Fin -> (♯ ` M ) e. NN0 )
3		nn0nlt0 9222	. . . . 5 |- ( (♯ ` M ) e. NN0 -> -. (♯ ` M ) < 0 )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( M e. Fin -> -. (♯ ` M ) < 0 )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. Fin /\ (♯ ` M ) < 0 ) -> -. (♯ ` M ) < 0 )
6	1, 5	pm2.21dd 621	. 2 |- ( ( M e. Fin /\ (♯ ` M ) < 0 ) -> ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
7		orc 713	. . . 4 |- ( ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 ) -> ( ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 ) \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
8		fz01or 10131	. . . 4 |- ( (♯ ` M ) e. ( 0 ... 1 ) <-> ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 ) )
9		df-3or 981	. . . 4 |- ( ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 \/ 1 < (♯ ` M ) ) <-> ( ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 ) \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
10	7, 8, 9	3imtr4i 201	. . 3 |- ( (♯ ` M ) e. ( 0 ... 1 ) -> ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
11	10	adantl 277	. 2 |- ( ( M e. Fin /\ (♯ ` M ) e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
12		3mix3 1170	. . 3 |- ( 1 < (♯ ` M ) -> ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
13	12	adantl 277	. 2 |- ( ( M e. Fin /\ 1 < (♯ ` M ) ) -> ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
14	2	nn0zd 9393	. . 3 |- ( M e. Fin -> (♯ ` M ) e. ZZ )
15		0zd 9285	. . 3 |- ( M e. Fin -> 0 e. ZZ )
16		1zzd 9300	. . 3 |- ( M e. Fin -> 1 e. ZZ )
17		fztri3or 10059	. . 3 |- ( ( (♯ ` M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( (♯ ` M ) < 0 \/ (♯ ` M ) e. ( 0 ... 1 ) \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1249	. 2 |- ( M e. Fin -> ( (♯ ` M ) < 0 \/ (♯ ` M ) e. ( 0 ... 1 ) \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
19	6, 11, 13, 18	mpjao3dan 1318	1 |- ( M e. Fin -> ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 \/ 1 < (♯ ` M ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   Fincfn 6759   0cc0 7831   1c1 7832   < clt 8012   NN0cn0 9196   ZZcz 9273   ...cfz 10028  ♯chash 10775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-addcom 7931  ax-addass 7933  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-recs 6325  df-frec 6411  df-er 6554  df-en 6760  df-dom 6761  df-fin 6762  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-inn 8940  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-fz 10029  df-ihash 10776

This theorem is referenced by: (None)