ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashfiv01gt1 Unicode version

Theorem hashfiv01gt1 10496
Description: The size of a finite set is either 0 or 1 or greater than 1. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashfiv01gt1  |-  ( M  e.  Fin  ->  (
( `  M )  =  0  \/  ( `  M
)  =  1  \/  1  <  ( `  M
) ) )

Proof of Theorem hashfiv01gt1
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . 3  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  ( `  M )  <  0 )  ->  ( `  M )  <  0
)
2 hashcl 10495 . . . . 5  |-  ( M  e.  Fin  ->  ( `  M )  e.  NN0 )
3 nn0nlt0 8971 . . . . 5  |-  ( ( `  M )  e.  NN0  ->  -.  ( `  M
)  <  0 )
42, 3syl 14 . . . 4  |-  ( M  e.  Fin  ->  -.  ( `  M )  <  0 )
54adantr 274 . . 3  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  ( `  M )  <  0 )  ->  -.  ( `  M )  <  0 )
61, 5pm2.21dd 594 . 2  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  ( `  M )  <  0 )  ->  (
( `  M )  =  0  \/  ( `  M
)  =  1  \/  1  <  ( `  M
) ) )
7 orc 686 . . . 4  |-  ( ( ( `  M )  =  0  \/  ( `  M )  =  1 )  ->  ( (
( `  M )  =  0  \/  ( `  M
)  =  1 )  \/  1  <  ( `  M ) ) )
8 fz01or 9859 . . . 4  |-  ( ( `  M )  e.  ( 0 ... 1 )  <-> 
( ( `  M
)  =  0  \/  ( `  M )  =  1 ) )
9 df-3or 948 . . . 4  |-  ( ( ( `  M )  =  0  \/  ( `  M )  =  1  \/  1  <  ( `  M ) )  <->  ( (
( `  M )  =  0  \/  ( `  M
)  =  1 )  \/  1  <  ( `  M ) ) )
107, 8, 93imtr4i 200 . . 3  |-  ( ( `  M )  e.  ( 0 ... 1 )  ->  ( ( `  M
)  =  0  \/  ( `  M )  =  1  \/  1  <  ( `  M )
) )
1110adantl 275 . 2  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  ( `  M )  e.  ( 0 ... 1
) )  ->  (
( `  M )  =  0  \/  ( `  M
)  =  1  \/  1  <  ( `  M
) ) )
12 3mix3 1137 . . 3  |-  ( 1  <  ( `  M )  ->  ( ( `  M
)  =  0  \/  ( `  M )  =  1  \/  1  <  ( `  M )
) )
1312adantl 275 . 2  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  1  <  ( `  M )
)  ->  ( ( `  M )  =  0  \/  ( `  M
)  =  1  \/  1  <  ( `  M
) ) )
142nn0zd 9139 . . 3  |-  ( M  e.  Fin  ->  ( `  M )  e.  ZZ )
15 0zd 9034 . . 3  |-  ( M  e.  Fin  ->  0  e.  ZZ )
16 1zzd 9049 . . 3  |-  ( M  e.  Fin  ->  1  e.  ZZ )
17 fztri3or 9787 . . 3  |-  ( ( ( `  M )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( `  M )  <  0  \/  ( `  M
)  e.  ( 0 ... 1 )  \/  1  <  ( `  M
) ) )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1201 . 2  |-  ( M  e.  Fin  ->  (
( `  M )  <  0  \/  ( `  M
)  e.  ( 0 ... 1 )  \/  1  <  ( `  M
) ) )
196, 11, 13, 18mpjao3dan 1270 1  |-  ( M  e.  Fin  ->  (
( `  M )  =  0  \/  ( `  M
)  =  1  \/  1  <  ( `  M
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682    \/ w3o 946    = wceq 1316    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   Fincfn 6602   0cc0 7588   1c1 7589    < clt 7768   NN0cn0 8945   ZZcz 9022   ...cfz 9758  ♯chash 10489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-recs 6170  df-frec 6256  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759  df-ihash 10490
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator