Theorem hashfiv01gt1 11199

Description: The size of a finite set is either 0 or 1 or greater than 1. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashfiv01gt1	|- ( M e. Fin -> ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 \/ 1 < (♯ ` M ) ) )

Proof of Theorem hashfiv01gt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( M e. Fin /\ (♯ ` M ) < 0 ) -> (♯ ` M ) < 0 )
2		hashcl 11198	. . . . 5 |- ( M e. Fin -> (♯ ` M ) e. NN0 )
3		nn0nlt0 9568	. . . . 5 |- ( (♯ ` M ) e. NN0 -> -. (♯ ` M ) < 0 )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( M e. Fin -> -. (♯ ` M ) < 0 )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. Fin /\ (♯ ` M ) < 0 ) -> -. (♯ ` M ) < 0 )
6	1, 5	pm2.21dd 629	. 2 |- ( ( M e. Fin /\ (♯ ` M ) < 0 ) -> ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
7		orc 724	. . . 4 |- ( ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 ) -> ( ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 ) \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
8		fz01or 10496	. . . 4 |- ( (♯ ` M ) e. ( 0 ... 1 ) <-> ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 ) )
9		df-3or 1010	. . . 4 |- ( ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 \/ 1 < (♯ ` M ) ) <-> ( ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 ) \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
10	7, 8, 9	3imtr4i 201	. . 3 |- ( (♯ ` M ) e. ( 0 ... 1 ) -> ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
11	10	adantl 277	. 2 |- ( ( M e. Fin /\ (♯ ` M ) e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
12		3mix3 1199	. . 3 |- ( 1 < (♯ ` M ) -> ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
13	12	adantl 277	. 2 |- ( ( M e. Fin /\ 1 < (♯ ` M ) ) -> ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
14	2	nn0zd 9745	. . 3 |- ( M e. Fin -> (♯ ` M ) e. ZZ )
15		0zd 9635	. . 3 |- ( M e. Fin -> 0 e. ZZ )
16		1zzd 9650	. . 3 |- ( M e. Fin -> 1 e. ZZ )
17		fztri3or 10422	. . 3 |- ( ( (♯ ` M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( (♯ ` M ) < 0 \/ (♯ ` M ) e. ( 0 ... 1 ) \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1278	. 2 |- ( M e. Fin -> ( (♯ ` M ) < 0 \/ (♯ ` M ) e. ( 0 ... 1 ) \/ 1 < (♯ ` M ) ) )
19	6, 11, 13, 18	mpjao3dan 1348	1 |- ( M e. Fin -> ( (♯ ` M ) = 0 \/ (♯ ` M ) = 1 \/ 1 < (♯ ` M ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   0cc0 8169   1c1 8170   < clt 8350   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ...cfz 10390  ♯chash 11192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-recs 6566  df-frec 6652  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-ihash 11193

This theorem is referenced by: (None)