Theorem nn0nlt0 9334

Description: A nonnegative integer is not less than zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nlt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐴 < 0)

Proof of Theorem nn0nlt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9333	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
2		0re 8085	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		nn0re 9317	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		lenlt 8161	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
5	2, 3, 4	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
6	1, 5	mpbid 147	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐴 < 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4048  ℝcr 7937  0cc0 7938   < clt 8120   ≤ cle 8121  ℕ₀cn0 9308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-xp 4686  df-cnv 4688  df-iota 5238  df-fv 5285  df-ov 5957  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-inn 9050  df-n0 9309

This theorem is referenced by:  xnn0nnen  10595  expnegap0  10705  hashfiv01gt1  10940  bezoutlemmain  12369  lgsneg1  15552