ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0nlt0 GIF version

Theorem nn0nlt0 9178
Description: A nonnegative integer is not less than zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
nn0nlt0 (𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐴 < 0)

Proof of Theorem nn0nlt0
StepHypRef Expression
1 nn0ge0 9177 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
2 0re 7935 . . 3 0 ∈ ℝ
3 nn0re 9161 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
4 lenlt 8010 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
52, 3, 4sylancr 414 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
61, 5mpbid 147 1 (𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐴 < 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 105  wcel 2148   class class class wbr 4000  cr 7788  0cc0 7789   < clt 7969  cle 7970  0cn0 9152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4628  df-cnv 4630  df-iota 5173  df-fv 5219  df-ov 5871  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-inn 8896  df-n0 9153
This theorem is referenced by:  expnegap0  10501  hashfiv01gt1  10733  bezoutlemmain  11969  lgsneg1  14059
  Copyright terms: Public domain W3C validator