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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > expnegap0 | Unicode version |
Description: Value of a complex number raised to a negative integer power. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jun-2020.) |
Ref | Expression |
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expnegap0 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elnn0 9213 |
. . 3
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2 | nnne0 8982 |
. . . . . . . . . 10
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3 | 2 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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4 | nncn 8962 |
. . . . . . . . . . . 12
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5 | 4 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
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6 | 5 | negeq0d 8295 |
. . . . . . . . . 10
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7 | 6 | necon3abid 2399 |
. . . . . . . . 9
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8 | 3, 7 | mpbid 147 |
. . . . . . . 8
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9 | 8 | iffalsed 3559 |
. . . . . . 7
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10 | nnnn0 9218 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | 10 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
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12 | nn0nlt0 9237 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 11, 12 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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14 | 11 | nn0red 9265 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 14 | lt0neg1d 8507 |
. . . . . . . . 9
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16 | 13, 15 | mtbid 673 |
. . . . . . . 8
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17 | 16 | iffalsed 3559 |
. . . . . . 7
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18 | 5 | negnegd 8294 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | fveq2d 5541 |
. . . . . . . 8
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20 | 19 | oveq2d 5916 |
. . . . . . 7
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21 | 9, 17, 20 | 3eqtrd 2226 |
. . . . . 6
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22 | 21 | adantlr 477 |
. . . . 5
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23 | simp1 999 |
. . . . . . 7
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24 | simp3 1001 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | nnzd 9409 |
. . . . . . . 8
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26 | 25 | znegcld 9412 |
. . . . . . 7
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27 | simp2 1000 |
. . . . . . . 8
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28 | 27 | orcd 734 |
. . . . . . 7
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29 | exp3val 10562 |
. . . . . . 7
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30 | 23, 26, 28, 29 | syl3anc 1249 |
. . . . . 6
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31 | 30 | 3expa 1205 |
. . . . 5
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32 | expnnval 10563 |
. . . . . . 7
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33 | 32 | oveq2d 5916 |
. . . . . 6
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34 | 33 | adantlr 477 |
. . . . 5
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35 | 22, 31, 34 | 3eqtr4d 2232 |
. . . 4
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36 | 1div1e1 8696 |
. . . . . . 7
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37 | 36 | eqcomi 2193 |
. . . . . 6
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38 | negeq 8185 |
. . . . . . . . 9
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39 | neg0 8238 |
. . . . . . . . 9
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40 | 38, 39 | eqtrdi 2238 |
. . . . . . . 8
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41 | 40 | oveq2d 5916 |
. . . . . . 7
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42 | exp0 10564 |
. . . . . . 7
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43 | 41, 42 | sylan9eqr 2244 |
. . . . . 6
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44 | oveq2 5908 |
. . . . . . . 8
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45 | 44, 42 | sylan9eqr 2244 |
. . . . . . 7
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46 | 45 | oveq2d 5916 |
. . . . . 6
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47 | 37, 43, 46 | 3eqtr4a 2248 |
. . . . 5
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48 | 47 | adantlr 477 |
. . . 4
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49 | 35, 48 | jaodan 798 |
. . 3
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50 | 1, 49 | sylan2b 287 |
. 2
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51 | 50 | 3impa 1196 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4136 ax-sep 4139 ax-nul 4147 ax-pow 4195 ax-pr 4230 ax-un 4454 ax-setind 4557 ax-iinf 4608 ax-cnex 7937 ax-resscn 7938 ax-1cn 7939 ax-1re 7940 ax-icn 7941 ax-addcl 7942 ax-addrcl 7943 ax-mulcl 7944 ax-mulrcl 7945 ax-addcom 7946 ax-mulcom 7947 ax-addass 7948 ax-mulass 7949 ax-distr 7950 ax-i2m1 7951 ax-0lt1 7952 ax-1rid 7953 ax-0id 7954 ax-rnegex 7955 ax-precex 7956 ax-cnre 7957 ax-pre-ltirr 7958 ax-pre-ltwlin 7959 ax-pre-lttrn 7960 ax-pre-apti 7961 ax-pre-ltadd 7962 ax-pre-mulgt0 7963 ax-pre-mulext 7964 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3595 df-sn 3616 df-pr 3617 df-op 3619 df-uni 3828 df-int 3863 df-iun 3906 df-br 4022 df-opab 4083 df-mpt 4084 df-tr 4120 df-id 4314 df-po 4317 df-iso 4318 df-iord 4387 df-on 4389 df-ilim 4390 df-suc 4392 df-iom 4611 df-xp 4653 df-rel 4654 df-cnv 4655 df-co 4656 df-dm 4657 df-rn 4658 df-res 4659 df-ima 4660 df-iota 5199 df-fun 5240 df-fn 5241 df-f 5242 df-f1 5243 df-fo 5244 df-f1o 5245 df-fv 5246 df-riota 5855 df-ov 5903 df-oprab 5904 df-mpo 5905 df-1st 6169 df-2nd 6170 df-recs 6334 df-frec 6420 df-pnf 8029 df-mnf 8030 df-xr 8031 df-ltxr 8032 df-le 8033 df-sub 8165 df-neg 8166 df-reap 8567 df-ap 8574 df-div 8665 df-inn 8955 df-n0 9212 df-z 9289 df-uz 9564 df-seqfrec 10485 df-exp 10560 |
This theorem is referenced by: expineg2 10569 expn1ap0 10570 expnegzap 10594 efexp 11731 pcexp 12352 ex-exp 14965 |
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