ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nninfwlporlem Unicode version

Theorem nninfwlporlem 7171
Description: Lemma for nninfwlpor 7172. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfwlporlem.x  |-  ( ph  ->  X : om --> 2o )
nninfwlporlem.y  |-  ( ph  ->  Y : om --> 2o )
nninfwlporlem.d  |-  D  =  ( i  e.  om  |->  if ( ( X `  i )  =  ( Y `  i ) ,  1o ,  (/) ) )
nninfwlporlem.w  |-  ( ph  ->  om  e. WOmni )
Assertion
Ref Expression
nninfwlporlem  |-  ( ph  -> DECID  X  =  Y )
Distinct variable groups:    D, i    ph, i    i, X    i, Y

Proof of Theorem nninfwlporlem
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 5515 . . . . . . 7  |-  ( f  =  D  ->  (
f `  x )  =  ( D `  x ) )
21eqeq1d 2186 . . . . . 6  |-  ( f  =  D  ->  (
( f `  x
)  =  1o  <->  ( D `  x )  =  1o ) )
32ralbidv 2477 . . . . 5  |-  ( f  =  D  ->  ( A. x  e.  om  ( f `  x
)  =  1o  <->  A. x  e.  om  ( D `  x )  =  1o ) )
43dcbid 838 . . . 4  |-  ( f  =  D  ->  (DECID  A. x  e.  om  (
f `  x )  =  1o  <-> DECID  A. x  e.  om  ( D `  x )  =  1o ) )
5 nninfwlporlem.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  om  e. WOmni )
6 omex 4593 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
7 iswomnimap 7164 . . . . . 6  |-  ( om  e.  _V  ->  ( om  e. WOmni 
<-> 
A. f  e.  ( 2o  ^m  om )DECID  A. x  e.  om  (
f `  x )  =  1o ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( om  e. WOmni 
<-> 
A. f  e.  ( 2o  ^m  om )DECID  A. x  e.  om  (
f `  x )  =  1o )
95, 8sylib 122 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( 2o  ^m  om )DECID  A. x  e.  om  (
f `  x )  =  1o )
10 1lt2o 6443 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  2o
1110a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
12 0lt2o 6442 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  2o
1312a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  (/)  e.  2o )
14 2ssom 6525 . . . . . . . . 9  |-  2o  C_  om
15 nninfwlporlem.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X : om --> 2o )
1615ffvelcdmda 5652 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  ( X `  i )  e.  2o )
1714, 16sselid 3154 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  ( X `  i )  e.  om )
18 nninfwlporlem.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y : om --> 2o )
1918ffvelcdmda 5652 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  ( Y `  i )  e.  2o )
2014, 19sselid 3154 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  ( Y `  i )  e.  om )
21 nndceq 6500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X `  i
)  e.  om  /\  ( Y `  i )  e.  om )  -> DECID  ( X `  i )  =  ( Y `  i ) )
2217, 20, 21syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  -> DECID  ( X `  i
)  =  ( Y `
 i ) )
2311, 13, 22ifcldcd 3571 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  if (
( X `  i
)  =  ( Y `
 i ) ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
24 nninfwlporlem.d . . . . . 6  |-  D  =  ( i  e.  om  |->  if ( ( X `  i )  =  ( Y `  i ) ,  1o ,  (/) ) )
2523, 24fmptd 5671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D : om --> 2o )
26 2onn 6522 . . . . . . 7  |-  2o  e.  om
2726elexi 2750 . . . . . 6  |-  2o  e.  _V
2827, 6elmap 6677 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( 2o  ^m  om )  <->  D : om --> 2o )
2925, 28sylibr 134 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( 2o 
^m  om ) )
304, 9, 29rspcdva 2847 . . 3  |-  ( ph  -> DECID  A. x  e.  om  ( D `  x )  =  1o )
3125ffnd 5367 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  Fn  om )
32 eqidd 2178 . . . . 5  |-  ( x  =  i  ->  1o  =  1o )
33 1onn 6521 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
3433a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  om )  ->  1o  e.  om )
3533a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  om )  ->  1o  e.  om )
3631, 32, 34, 35fnmptfvd 5621 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  =  ( i  e.  om  |->  1o )  <->  A. x  e.  om  ( D `  x )  =  1o ) )
3736dcbid 838 . . 3  |-  ( ph  ->  (DECID  D  =  ( i  e.  om  |->  1o )  <-> DECID  A. x  e.  om  ( D `  x )  =  1o ) )
3830, 37mpbird 167 . 2  |-  ( ph  -> DECID  D  =  ( i  e. 
om  |->  1o ) )
3915, 18, 24nninfwlporlemd 7170 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <-> 
D  =  ( i  e.  om  |->  1o ) ) )
4039dcbid 838 . 2  |-  ( ph  ->  (DECID  X  =  Y  <-> DECID  D  =  (
i  e.  om  |->  1o ) ) )
4138, 40mpbird 167 1  |-  ( ph  -> DECID  X  =  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2738   (/)c0 3423   ifcif 3535    |-> cmpt 4065   omcom 4590   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   1oc1o 6410   2oc2o 6411    ^m cmap 6648  WOmnicwomni 7161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1o 6417  df-2o 6418  df-map 6650  df-womni 7162
This theorem is referenced by:  nninfwlpor  7172
  Copyright terms: Public domain W3C validator