Theorem nninfwlporlem 7477

Description: Lemma for nninfwlpor 7478. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlporlem.x	|- ( ph -> X : om --> 2o )
nninfwlporlem.y	|- ( ph -> Y : om --> 2o )
nninfwlporlem.d	|- D = ( i e. om |-> if ( ( X ` i ) = ( Y ` i ) , 1o , (/) ) )
nninfwlporlem.w	|- ( ph -> om e. WOmni )

Assertion

Ref	Expression
nninfwlporlem	|- ( ph -> DECID X = Y )

Distinct variable groups:   D, i   ph, i   i, X   i, Y

Proof of Theorem nninfwlporlem

Dummy variables f x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 5674	. . . . . . 7 |- ( f = D -> ( f ` x ) = ( D ` x ) )
2	1	eqeq1d 2243	. . . . . 6 |- ( f = D -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( D ` x ) = 1o ) )
3	2	ralbidv 2544	. . . . 5 |- ( f = D -> ( A. x e. om ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. om ( D ` x ) = 1o ) )
4	3	dcbid 846	. . . 4 |- ( f = D -> (DECID A. x e. om ( f ` x ) = 1o <-> DECID A. x e. om ( D ` x ) = 1o ) )
5		nninfwlporlem.w	. . . . 5 |- ( ph -> om e. WOmni )
6		omex 4720	. . . . . 6 |- om e. _V
7		iswomnimap 7470	. . . . . 6 |- ( om e. _V -> ( om e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. x e. om ( f ` x ) = 1o ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( om e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. x e. om ( f ` x ) = 1o )
9	5, 8	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. x e. om ( f ` x ) = 1o )
10		1lt2o 6688	. . . . . . . 8 |- 1o e. 2o
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
12		0lt2o 6687	. . . . . . . 8 |- (/) e. 2o
13	12	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
14		2ssom 6770	. . . . . . . . 9 |- 2o C_ om
15		nninfwlporlem.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X : om --> 2o )
16	15	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> ( X ` i ) e. 2o )
17	14, 16	sselid 3240	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> ( X ` i ) e. om )
18		nninfwlporlem.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y : om --> 2o )
19	18	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> ( Y ` i ) e. 2o )
20	14, 19	sselid 3240	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> ( Y ` i ) e. om )
21		nndceq 6745	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X ` i ) e. om /\ ( Y ` i ) e. om ) -> DECID ( X ` i ) = ( Y ` i ) )
22	17, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> DECID ( X ` i ) = ( Y ` i ) )
23	11, 13, 22	ifcldcd 3664	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> if ( ( X ` i ) = ( Y ` i ) , 1o , (/) ) e. 2o )
24		nninfwlporlem.d	. . . . . 6 |- D = ( i e. om |-> if ( ( X ` i ) = ( Y ` i ) , 1o , (/) ) )
25	23, 24	fmptd 5836	. . . . 5 |- ( ph -> D : om --> 2o )
26		2onn 6767	. . . . . . 7 |- 2o e. om
27	26	elexi 2828	. . . . . 6 |- 2o e. _V
28	27, 6	elmap 6924	. . . . 5 |- ( D e. ( 2o ^m om ) <-> D : om --> 2o )
29	25, 28	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( 2o ^m om ) )
30	4, 9, 29	rspcdva 2928	. . 3 |- ( ph -> DECID A. x e. om ( D ` x ) = 1o )
31	25	ffnd 5514	. . . . 5 |- ( ph -> D Fn om )
32		eqidd 2235	. . . . 5 |- ( x = i -> 1o = 1o )
33		1onn 6766	. . . . . 6 |- 1o e. om
34	33	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> 1o e. om )
35	33	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> 1o e. om )
36	31, 32, 34, 35	fnmptfvd 5787	. . . 4 |- ( ph -> ( D = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. x e. om ( D ` x ) = 1o ) )
37	36	dcbid 846	. . 3 |- ( ph -> (DECID D = ( i e. om |-> 1o ) <-> DECID A. x e. om ( D ` x ) = 1o ) )
38	30, 37	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> DECID D = ( i e. om |-> 1o ) )
39	15, 18, 24	nninfwlporlemd 7476	. . 3 |- ( ph -> ( X = Y <-> D = ( i e. om |-> 1o ) ) )
40	39	dcbid 846	. 2 |- ( ph -> (DECID X = Y <-> DECID D = ( i e. om |-> 1o ) ) )
41	38, 40	mpbird 167	1 |- ( ph -> DECID X = Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   (/)c0 3512   ifcif 3624   |-> cmpt 4176   omcom 4717   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   1oc1o 6653   2oc2o 6654   ^m cmap 6895  WOmnicwomni 7467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1o 6660  df-2o 6661  df-map 6897  df-womni 7468

This theorem is referenced by:  nninfwlpor  7478