Theorem nninfwlporlem 7506

Description: Lemma for nninfwlpor 7507. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlporlem.x	|- ( ph -> X : om --> 2o )
nninfwlporlem.y	|- ( ph -> Y : om --> 2o )
nninfwlporlem.d	|- D = ( i e. om |-> if ( ( X ` i ) = ( Y ` i ) , 1o , (/) ) )
nninfwlporlem.w	|- ( ph -> om e. WOmni )

Assertion

Ref	Expression
nninfwlporlem	|- ( ph -> DECID X = Y )

Distinct variable groups:   D, i   ph, i   i, X   i, Y

Proof of Theorem nninfwlporlem

Dummy variables f x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 5692	. . . . . . 7 |- ( f = D -> ( f ` x ) = ( D ` x ) )
2	1	eqeq1d 2247	. . . . . 6 |- ( f = D -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( D ` x ) = 1o ) )
3	2	ralbidv 2550	. . . . 5 |- ( f = D -> ( A. x e. om ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. om ( D ` x ) = 1o ) )
4	3	dcbid 850	. . . 4 |- ( f = D -> (DECID A. x e. om ( f ` x ) = 1o <-> DECID A. x e. om ( D ` x ) = 1o ) )
5		nninfwlporlem.w	. . . . 5 |- ( ph -> om e. WOmni )
6		omex 4738	. . . . . 6 |- om e. _V
7		iswomnimap 7499	. . . . . 6 |- ( om e. _V -> ( om e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. x e. om ( f ` x ) = 1o ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( om e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. x e. om ( f ` x ) = 1o )
9	5, 8	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. x e. om ( f ` x ) = 1o )
10		1lt2o 6708	. . . . . . . 8 |- 1o e. 2o
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
12		0lt2o 6707	. . . . . . . 8 |- (/) e. 2o
13	12	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
14		2ssom 6790	. . . . . . . . 9 |- 2o C_ om
15		nninfwlporlem.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X : om --> 2o )
16	15	ffvelcdmda 5837	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> ( X ` i ) e. 2o )
17	14, 16	sselid 3246	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> ( X ` i ) e. om )
18		nninfwlporlem.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y : om --> 2o )
19	18	ffvelcdmda 5837	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> ( Y ` i ) e. 2o )
20	14, 19	sselid 3246	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> ( Y ` i ) e. om )
21		nndceq 6765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X ` i ) e. om /\ ( Y ` i ) e. om ) -> DECID ( X ` i ) = ( Y ` i ) )
22	17, 20, 21	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> DECID ( X ` i ) = ( Y ` i ) )
23	11, 13, 22	ifcldcd 3678	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> if ( ( X ` i ) = ( Y ` i ) , 1o , (/) ) e. 2o )
24		nninfwlporlem.d	. . . . . 6 |- D = ( i e. om |-> if ( ( X ` i ) = ( Y ` i ) , 1o , (/) ) )
25	23, 24	fmptd 5856	. . . . 5 |- ( ph -> D : om --> 2o )
26		2onn 6787	. . . . . . 7 |- 2o e. om
27	26	elexi 2834	. . . . . 6 |- 2o e. _V
28	27, 6	elmap 6951	. . . . 5 |- ( D e. ( 2o ^m om ) <-> D : om --> 2o )
29	25, 28	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( 2o ^m om ) )
30	4, 9, 29	rspcdva 2934	. . 3 |- ( ph -> DECID A. x e. om ( D ` x ) = 1o )
31	25	ffnd 5532	. . . . 5 |- ( ph -> D Fn om )
32		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( x = i -> 1o = 1o )
33		1onn 6786	. . . . . 6 |- 1o e. om
34	33	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> 1o e. om )
35	33	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> 1o e. om )
36	31, 32, 34, 35	fnmptfvd 5807	. . . 4 |- ( ph -> ( D = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. x e. om ( D ` x ) = 1o ) )
37	36	dcbid 850	. . 3 |- ( ph -> (DECID D = ( i e. om |-> 1o ) <-> DECID A. x e. om ( D ` x ) = 1o ) )
38	30, 37	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> DECID D = ( i e. om |-> 1o ) )
39	15, 18, 24	nninfwlporlemd 7505	. . 3 |- ( ph -> ( X = Y <-> D = ( i e. om |-> 1o ) ) )
40	39	dcbid 850	. 2 |- ( ph -> (DECID X = Y <-> DECID D = ( i e. om |-> 1o ) ) )
41	38, 40	mpbird 167	1 |- ( ph -> DECID X = Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   ifcif 3638   |-> cmpt 4190   omcom 4735   -->wf 5371   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   1oc1o 6673   2oc2o 6674   ^m cmap 6915  WOmnicwomni 7496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1o 6680  df-2o 6681  df-map 6917  df-womni 7497

This theorem is referenced by:  nninfwlpor  7507