Theorem nninfwlporlem 7149

Description: Lemma for nninfwlpor 7150. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlporlem.x	|- ( ph -> X : om --> 2o )
nninfwlporlem.y	|- ( ph -> Y : om --> 2o )
nninfwlporlem.d	|- D = ( i e. om |-> if ( ( X ` i ) = ( Y ` i ) , 1o , (/) ) )
nninfwlporlem.w	|- ( ph -> om e. WOmni )

Assertion

Ref	Expression
nninfwlporlem	|- ( ph -> DECID X = Y )

Distinct variable groups:   D, i   ph, i   i, X   i, Y

Proof of Theorem nninfwlporlem

Dummy variables f x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 5495	. . . . . . 7 |- ( f = D -> ( f ` x ) = ( D ` x ) )
2	1	eqeq1d 2179	. . . . . 6 |- ( f = D -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( D ` x ) = 1o ) )
3	2	ralbidv 2470	. . . . 5 |- ( f = D -> ( A. x e. om ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. om ( D ` x ) = 1o ) )
4	3	dcbid 833	. . . 4 |- ( f = D -> (DECID A. x e. om ( f ` x ) = 1o <-> DECID A. x e. om ( D ` x ) = 1o ) )
5		nninfwlporlem.w	. . . . 5 |- ( ph -> om e. WOmni )
6		omex 4577	. . . . . 6 |- om e. _V
7		iswomnimap 7142	. . . . . 6 |- ( om e. _V -> ( om e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. x e. om ( f ` x ) = 1o ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( om e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. x e. om ( f ` x ) = 1o )
9	5, 8	sylib 121	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. x e. om ( f ` x ) = 1o )
10		1lt2o 6421	. . . . . . . 8 |- 1o e. 2o
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
12		0lt2o 6420	. . . . . . . 8 |- (/) e. 2o
13	12	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
14		2ssom 6503	. . . . . . . . 9 |- 2o C_ om
15		nninfwlporlem.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X : om --> 2o )
16	15	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> ( X ` i ) e. 2o )
17	14, 16	sselid 3145	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> ( X ` i ) e. om )
18		nninfwlporlem.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y : om --> 2o )
19	18	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> ( Y ` i ) e. 2o )
20	14, 19	sselid 3145	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> ( Y ` i ) e. om )
21		nndceq 6478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X ` i ) e. om /\ ( Y ` i ) e. om ) -> DECID ( X ` i ) = ( Y ` i ) )
22	17, 20, 21	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> DECID ( X ` i ) = ( Y ` i ) )
23	11, 13, 22	ifcldcd 3561	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> if ( ( X ` i ) = ( Y ` i ) , 1o , (/) ) e. 2o )
24		nninfwlporlem.d	. . . . . 6 |- D = ( i e. om |-> if ( ( X ` i ) = ( Y ` i ) , 1o , (/) ) )
25	23, 24	fmptd 5650	. . . . 5 |- ( ph -> D : om --> 2o )
26		2onn 6500	. . . . . . 7 |- 2o e. om
27	26	elexi 2742	. . . . . 6 |- 2o e. _V
28	27, 6	elmap 6655	. . . . 5 |- ( D e. ( 2o ^m om ) <-> D : om --> 2o )
29	25, 28	sylibr 133	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( 2o ^m om ) )
30	4, 9, 29	rspcdva 2839	. . 3 |- ( ph -> DECID A. x e. om ( D ` x ) = 1o )
31	25	ffnd 5348	. . . . 5 |- ( ph -> D Fn om )
32		eqidd 2171	. . . . 5 |- ( x = i -> 1o = 1o )
33		1onn 6499	. . . . . 6 |- 1o e. om
34	33	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> 1o e. om )
35	33	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> 1o e. om )
36	31, 32, 34, 35	fnmptfvd 5600	. . . 4 |- ( ph -> ( D = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. x e. om ( D ` x ) = 1o ) )
37	36	dcbid 833	. . 3 |- ( ph -> (DECID D = ( i e. om |-> 1o ) <-> DECID A. x e. om ( D ` x ) = 1o ) )
38	30, 37	mpbird 166	. 2 |- ( ph -> DECID D = ( i e. om |-> 1o ) )
39	15, 18, 24	nninfwlporlemd 7148	. . 3 |- ( ph -> ( X = Y <-> D = ( i e. om |-> 1o ) ) )
40	39	dcbid 833	. 2 |- ( ph -> (DECID X = Y <-> DECID D = ( i e. om |-> 1o ) ) )
41	38, 40	mpbird 166	1 |- ( ph -> DECID X = Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   ifcif 3526   |-> cmpt 4050   omcom 4574   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   2oc2o 6389   ^m cmap 6626  WOmnicwomni 7139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628  df-womni 7140

This theorem is referenced by:  nninfwlpor  7150