Theorem nninfwlporlem 7239

Description: Lemma for nninfwlpor 7240. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlporlem.x	|- ( ph -> X : om --> 2o )
nninfwlporlem.y	|- ( ph -> Y : om --> 2o )
nninfwlporlem.d	|- D = ( i e. om |-> if ( ( X ` i ) = ( Y ` i ) , 1o , (/) ) )
nninfwlporlem.w	|- ( ph -> om e. WOmni )

Assertion

Ref	Expression
nninfwlporlem	|- ( ph -> DECID X = Y )

Distinct variable groups:   D, i   ph, i   i, X   i, Y

Proof of Theorem nninfwlporlem

Dummy variables f x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 5557	. . . . . . 7 |- ( f = D -> ( f ` x ) = ( D ` x ) )
2	1	eqeq1d 2205	. . . . . 6 |- ( f = D -> ( ( f ` x ) = 1o <-> ( D ` x ) = 1o ) )
3	2	ralbidv 2497	. . . . 5 |- ( f = D -> ( A. x e. om ( f ` x ) = 1o <-> A. x e. om ( D ` x ) = 1o ) )
4	3	dcbid 839	. . . 4 |- ( f = D -> (DECID A. x e. om ( f ` x ) = 1o <-> DECID A. x e. om ( D ` x ) = 1o ) )
5		nninfwlporlem.w	. . . . 5 |- ( ph -> om e. WOmni )
6		omex 4629	. . . . . 6 |- om e. _V
7		iswomnimap 7232	. . . . . 6 |- ( om e. _V -> ( om e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. x e. om ( f ` x ) = 1o ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( om e. WOmni <-> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. x e. om ( f ` x ) = 1o )
9	5, 8	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. ( 2o ^m om )DECID A. x e. om ( f ` x ) = 1o )
10		1lt2o 6500	. . . . . . . 8 |- 1o e. 2o
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> 1o e. 2o )
12		0lt2o 6499	. . . . . . . 8 |- (/) e. 2o
13	12	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> (/) e. 2o )
14		2ssom 6582	. . . . . . . . 9 |- 2o C_ om
15		nninfwlporlem.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X : om --> 2o )
16	15	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> ( X ` i ) e. 2o )
17	14, 16	sselid 3181	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> ( X ` i ) e. om )
18		nninfwlporlem.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y : om --> 2o )
19	18	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> ( Y ` i ) e. 2o )
20	14, 19	sselid 3181	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> ( Y ` i ) e. om )
21		nndceq 6557	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X ` i ) e. om /\ ( Y ` i ) e. om ) -> DECID ( X ` i ) = ( Y ` i ) )
22	17, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> DECID ( X ` i ) = ( Y ` i ) )
23	11, 13, 22	ifcldcd 3597	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> if ( ( X ` i ) = ( Y ` i ) , 1o , (/) ) e. 2o )
24		nninfwlporlem.d	. . . . . 6 |- D = ( i e. om |-> if ( ( X ` i ) = ( Y ` i ) , 1o , (/) ) )
25	23, 24	fmptd 5716	. . . . 5 |- ( ph -> D : om --> 2o )
26		2onn 6579	. . . . . . 7 |- 2o e. om
27	26	elexi 2775	. . . . . 6 |- 2o e. _V
28	27, 6	elmap 6736	. . . . 5 |- ( D e. ( 2o ^m om ) <-> D : om --> 2o )
29	25, 28	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( 2o ^m om ) )
30	4, 9, 29	rspcdva 2873	. . 3 |- ( ph -> DECID A. x e. om ( D ` x ) = 1o )
31	25	ffnd 5408	. . . . 5 |- ( ph -> D Fn om )
32		eqidd 2197	. . . . 5 |- ( x = i -> 1o = 1o )
33		1onn 6578	. . . . . 6 |- 1o e. om
34	33	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. om ) -> 1o e. om )
35	33	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. om ) -> 1o e. om )
36	31, 32, 34, 35	fnmptfvd 5666	. . . 4 |- ( ph -> ( D = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. x e. om ( D ` x ) = 1o ) )
37	36	dcbid 839	. . 3 |- ( ph -> (DECID D = ( i e. om |-> 1o ) <-> DECID A. x e. om ( D ` x ) = 1o ) )
38	30, 37	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> DECID D = ( i e. om |-> 1o ) )
39	15, 18, 24	nninfwlporlemd 7238	. . 3 |- ( ph -> ( X = Y <-> D = ( i e. om |-> 1o ) ) )
40	39	dcbid 839	. 2 |- ( ph -> (DECID X = Y <-> DECID D = ( i e. om |-> 1o ) ) )
41	38, 40	mpbird 167	1 |- ( ph -> DECID X = Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   (/)c0 3450   ifcif 3561   |-> cmpt 4094   omcom 4626   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   1oc1o 6467   2oc2o 6468   ^m cmap 6707  WOmnicwomni 7229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1o 6474  df-2o 6475  df-map 6709  df-womni 7230

This theorem is referenced by:  nninfwlpor  7240