Theorem nngt1ne1 8913

Description: A positive integer is greater than one iff it is not equal to one. (Contributed by NM, 7-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nngt1ne1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 1))

Proof of Theorem nngt1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7919	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ltne 8004	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 1)
3	1, 2	mpan 422	. 2 ⊢ (1 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 1)
4		df-ne 2341	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 1 ↔ ¬ 𝐴 = 1)
5		nn1gt1 8912	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ 1 < 𝐴))
6	5	ord 719	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (¬ 𝐴 = 1 → 1 < 𝐴))
7	4, 6	syl5bi 151	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ≠ 1 → 1 < 𝐴))
8	3, 7	impbid2 142	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   class class class wbr 3989  ℝcr 7773  1c1 7775   < clt 7954  ℕcn 8878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-inn 8879

This theorem is referenced by:  prime  9311  eluz2b3  9563  ncoprmgcdne1b  12043  ncoprmgcdgt1b  12044