Theorem nngt1ne1 8847

Description: A positive integer is greater than one iff it is not equal to one. (Contributed by NM, 7-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nngt1ne1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 1))

Proof of Theorem nngt1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7856	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ltne 7941	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 1)
3	1, 2	mpan 421	. 2 ⊢ (1 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 1)
4		df-ne 2325	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 1 ↔ ¬ 𝐴 = 1)
5		nn1gt1 8846	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ 1 < 𝐴))
6	5	ord 714	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (¬ 𝐴 = 1 → 1 < 𝐴))
7	4, 6	syl5bi 151	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ≠ 1 → 1 < 𝐴))
8	3, 7	impbid2 142	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   ≠ wne 2324   class class class wbr 3961  ℝcr 7710  1c1 7712   < clt 7891  ℕcn 8812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-ltadd 7827

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rab 2441  df-v 2711  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-br 3962  df-opab 4022  df-xp 4585  df-cnv 4587  df-iota 5128  df-fv 5171  df-ov 5817  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-inn 8813

This theorem is referenced by:  prime  9242  eluz2b3  9493  ncoprmgcdne1b  11937  ncoprmgcdgt1b  11938