ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nngt1ne1 GIF version

Theorem nngt1ne1 8712
Description: A positive integer is greater than one iff it is not equal to one. (Contributed by NM, 7-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
nngt1ne1 (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 𝐴𝐴 ≠ 1))

Proof of Theorem nngt1ne1
StepHypRef Expression
1 1re 7729 . . 3 1 ∈ ℝ
2 ltne 7813 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 1)
31, 2mpan 418 . 2 (1 < 𝐴𝐴 ≠ 1)
4 df-ne 2284 . . 3 (𝐴 ≠ 1 ↔ ¬ 𝐴 = 1)
5 nn1gt1 8711 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ 1 < 𝐴))
65ord 696 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (¬ 𝐴 = 1 → 1 < 𝐴))
74, 6syl5bi 151 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ≠ 1 → 1 < 𝐴))
83, 7impbid2 142 1 (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 𝐴𝐴 ≠ 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463  wne 2283   class class class wbr 3897  cr 7583  1c1 7585   < clt 7764  cn 8677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-cnv 4515  df-iota 5056  df-fv 5099  df-ov 5743  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-inn 8678
This theorem is referenced by:  prime  9101  eluz2b3  9347  ncoprmgcdne1b  11666  ncoprmgcdgt1b  11667
  Copyright terms: Public domain W3C validator