Theorem nngt1ne1 9042

Description: A positive integer is greater than one iff it is not equal to one. (Contributed by NM, 7-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nngt1ne1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 1))

Proof of Theorem nngt1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8042	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ltne 8128	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 1)
3	1, 2	mpan 424	. 2 ⊢ (1 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 1)
4		df-ne 2368	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 1 ↔ ¬ 𝐴 = 1)
5		nn1gt1 9041	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ 1 < 𝐴))
6	5	ord 725	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (¬ 𝐴 = 1 → 1 < 𝐴))
7	4, 6	biimtrid 152	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ≠ 1 → 1 < 𝐴))
8	3, 7	impbid2 143	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   class class class wbr 4034  ℝcr 7895  1c1 7897   < clt 8078  ℕcn 9007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-inn 9008

This theorem is referenced by:  prime  9442  eluz2b3  9695  ncoprmgcdne1b  12282  ncoprmgcdgt1b  12283