ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nngt1ne1 GIF version

Theorem nngt1ne1 8953
Description: A positive integer is greater than one iff it is not equal to one. (Contributed by NM, 7-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
nngt1ne1 (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 𝐴𝐴 ≠ 1))

Proof of Theorem nngt1ne1
StepHypRef Expression
1 1re 7955 . . 3 1 ∈ ℝ
2 ltne 8041 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 1)
31, 2mpan 424 . 2 (1 < 𝐴𝐴 ≠ 1)
4 df-ne 2348 . . 3 (𝐴 ≠ 1 ↔ ¬ 𝐴 = 1)
5 nn1gt1 8952 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ 1 < 𝐴))
65ord 724 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (¬ 𝐴 = 1 → 1 < 𝐴))
74, 6biimtrid 152 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ≠ 1 → 1 < 𝐴))
83, 7impbid2 143 1 (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 𝐴𝐴 ≠ 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347   class class class wbr 4003  cr 7809  1c1 7811   < clt 7991  cn 8918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-cnv 4634  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-inn 8919
This theorem is referenced by:  prime  9351  eluz2b3  9603  ncoprmgcdne1b  12088  ncoprmgcdgt1b  12089
  Copyright terms: Public domain W3C validator