Theorem nngt1ne1 8956

Description: A positive integer is greater than one iff it is not equal to one. (Contributed by NM, 7-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nngt1ne1	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 1))

Proof of Theorem nngt1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7958	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ltne 8044	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 1)
3	1, 2	mpan 424	. 2 ⊢ (1 < 𝐴 → 𝐴 ≠ 1)
4		df-ne 2348	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 1 ↔ ¬ 𝐴 = 1)
5		nn1gt1 8955	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ 1 < 𝐴))
6	5	ord 724	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (¬ 𝐴 = 1 → 1 < 𝐴))
7	4, 6	biimtrid 152	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ≠ 1 → 1 < 𝐴))
8	3, 7	impbid2 143	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   class class class wbr 4005  ℝcr 7812  1c1 7814   < clt 7994  ℕcn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-inn 8922

This theorem is referenced by:  prime  9354  eluz2b3  9606  ncoprmgcdne1b  12091  ncoprmgcdgt1b  12092