ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nngt1ne1 GIF version

Theorem nngt1ne1 8428
Description: A positive integer is greater than one iff it is not equal to one. (Contributed by NM, 7-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
nngt1ne1 (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 𝐴𝐴 ≠ 1))

Proof of Theorem nngt1ne1
StepHypRef Expression
1 1re 7466 . . 3 1 ∈ ℝ
2 ltne 7549 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 1)
31, 2mpan 415 . 2 (1 < 𝐴𝐴 ≠ 1)
4 df-ne 2256 . . 3 (𝐴 ≠ 1 ↔ ¬ 𝐴 = 1)
5 nn1gt1 8427 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ 1 < 𝐴))
65ord 678 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (¬ 𝐴 = 1 → 1 < 𝐴))
74, 6syl5bi 150 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ≠ 1 → 1 < 𝐴))
83, 7impbid2 141 1 (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 𝐴𝐴 ≠ 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  wne 2255   class class class wbr 3837  cr 7328  1c1 7330   < clt 7501  cn 8394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-cnv 4436  df-iota 4967  df-fv 5010  df-ov 5637  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-inn 8395
This theorem is referenced by:  prime  8815  eluz2b3  9060  ncoprmgcdne1b  11164  ncoprmgcdgt1b  11165
  Copyright terms: Public domain W3C validator