Theorem nninfinfwlpolem 7253

Description: Lemma for nninfinfwlpo 7255. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	|- ( ph -> F : om --> 2o )
nninfwlpoimlemg.g	|- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
nninfinfwlpoimlem.eq	|- ( ph -> A. x e. ℕ∞ DECID x = ( i e. om |-> 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfinfwlpolem	|- ( ph -> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o )

Distinct variable groups:   i, F, n, x   n, G, x   ph, i, n, x

Allowed substitution hint:   G( i)

Proof of Theorem nninfinfwlpolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2203	. . . 4 |- ( x = G -> ( x = ( i e. om |-> 1o ) <-> G = ( i e. om |-> 1o ) ) )
2	1	dcbid 839	. . 3 |- ( x = G -> (DECID x = ( i e. om |-> 1o ) <-> DECID G = ( i e. om |-> 1o ) ) )
3		nninfinfwlpoimlem.eq	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ℕ∞ DECID x = ( i e. om |-> 1o ) )
4		nninfwlpoimlemg.f	. . . 4 |- ( ph -> F : om --> 2o )
5		nninfwlpoimlemg.g	. . . 4 |- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
6	4, 5	nninfwlpoimlemg 7250	. . 3 |- ( ph -> G e. ℕ∞ )
7	2, 3, 6	rspcdva 2873	. 2 |- ( ph -> DECID G = ( i e. om |-> 1o ) )
8	4, 5	nninfwlpoimlemginf 7251	. . 3 |- ( ph -> ( G = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )
9	8	dcbid 839	. 2 |- ( ph -> (DECID G = ( i e. om |-> 1o ) <-> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )
10	7, 9	mpbid 147	1 |- ( ph -> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 835   = wceq 1364   A.wral 2475   E.wrex 2476   (/)c0 3451   ifcif 3562   |-> cmpt 4095   suc csuc 4401   omcom 4627   -->wf 5255   ` cfv 5259   1oc1o 6476   2oc2o 6477  ℕ_∞xnninf 7194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1o 6483  df-2o 6484  df-er 6601  df-map 6718  df-en 6809  df-fin 6811  df-nninf 7195

This theorem is referenced by:  nninfinfwlpo  7255