Theorem nninfinfwlpolem 7524

Description: Lemma for nninfinfwlpo 7526. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	|- ( ph -> F : om --> 2o )
nninfwlpoimlemg.g	|- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
nninfinfwlpoimlem.eq	|- ( ph -> A. x e. ℕ∞ DECID x = ( i e. om |-> 1o ) )

Assertion

Ref	Expression
nninfinfwlpolem	|- ( ph -> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o )

Distinct variable groups:   i, F, n, x   n, G, x   ph, i, n, x

Allowed substitution hint:   G( i)

Proof of Theorem nninfinfwlpolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2245	. . . 4 |- ( x = G -> ( x = ( i e. om |-> 1o ) <-> G = ( i e. om |-> 1o ) ) )
2	1	dcbid 850	. . 3 |- ( x = G -> (DECID x = ( i e. om |-> 1o ) <-> DECID G = ( i e. om |-> 1o ) ) )
3		nninfinfwlpoimlem.eq	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ℕ∞ DECID x = ( i e. om |-> 1o ) )
4		nninfwlpoimlemg.f	. . . 4 |- ( ph -> F : om --> 2o )
5		nninfwlpoimlemg.g	. . . 4 |- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
6	4, 5	nninfwlpoimlemg 7521	. . 3 |- ( ph -> G e. ℕ∞ )
7	2, 3, 6	rspcdva 2934	. 2 |- ( ph -> DECID G = ( i e. om |-> 1o ) )
8	4, 5	nninfwlpoimlemginf 7522	. . 3 |- ( ph -> ( G = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )
9	8	dcbid 850	. 2 |- ( ph -> (DECID G = ( i e. om |-> 1o ) <-> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )
10	7, 9	mpbid 147	1 |- ( ph -> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4  DECID wdc 846   = wceq 1402   A.wral 2528   E.wrex 2529   (/)c0 3520   ifcif 3638   |-> cmpt 4193   suc csuc 4512   omcom 4739   -->wf 5376   ` cfv 5380   1oc1o 6684   2oc2o 6685  ℕ_∞xnninf 7465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-fin 7029  df-nninf 7466

This theorem is used by:  nninfinfwlpo  7526