Theorem nninfwlpoimlemdc 7517

Description: Lemma for nninfwlpoim 7519. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	|- ( ph -> F : om --> 2o )
nninfwlpoimlemg.g	|- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
nninfwlpoilemdc.eq	|- ( ph -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemdc	|- ( ph -> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o )

Distinct variable groups:   ph, n, x, i   n, G, x, i   y, G, x, i   n, F, x, i

Allowed substitution hints:   ph( y)   F( y)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2248	. . . 4 |- ( y = ( i e. om |-> 1o ) -> ( G = y <-> G = ( i e. om |-> 1o ) ) )
2	1	dcbid 850	. . 3 |- ( y = ( i e. om |-> 1o ) -> (DECID G = y <-> DECID G = ( i e. om |-> 1o ) ) )
3		eqeq1 2245	. . . . . 6 |- ( x = G -> ( x = y <-> G = y ) )
4	3	dcbid 850	. . . . 5 |- ( x = G -> (DECID x = y <-> DECID G = y ) )
5	4	ralbidv 2550	. . . 4 |- ( x = G -> ( A. y e. ℕ∞ DECID x = y <-> A. y e. ℕ∞ DECID G = y ) )
6		nninfwlpoilemdc.eq	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )
7		nninfwlpoimlemg.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : om --> 2o )
8		nninfwlpoimlemg.g	. . . . 5 |- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
9	7, 8	nninfwlpoimlemg 7515	. . . 4 |- ( ph -> G e. ℕ∞ )
10	5, 6, 9	rspcdva 2934	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ℕ∞ DECID G = y )
11		infnninf 7464	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ )
13	2, 10, 12	rspcdva 2934	. 2 |- ( ph -> DECID G = ( i e. om |-> 1o ) )
14	7, 8	nninfwlpoimlemginf 7516	. . 3 |- ( ph -> ( G = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )
15	14	dcbid 850	. 2 |- ( ph -> (DECID G = ( i e. om |-> 1o ) <-> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )
16	13, 15	mpbid 147	1 |- ( ph -> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   (/)c0 3520   ifcif 3638   |-> cmpt 4192   suc csuc 4510   omcom 4737   -->wf 5373   ` cfv 5377   1oc1o 6680   2oc2o 6681  ℕ_∞xnninf 7459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-fin 7025  df-nninf 7460

This theorem is used by:  nninfwlpoim  7519