Theorem nninfwlpoimlemdc 7340

Description: Lemma for nninfwlpoim 7342. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	|- ( ph -> F : om --> 2o )
nninfwlpoimlemg.g	|- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
nninfwlpoilemdc.eq	|- ( ph -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemdc	|- ( ph -> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o )

Distinct variable groups:   ph, n, x, i   n, G, x, i   y, G, x, i   n, F, x, i

Allowed substitution hints:   ph( y)   F( y)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2239	. . . 4 |- ( y = ( i e. om |-> 1o ) -> ( G = y <-> G = ( i e. om |-> 1o ) ) )
2	1	dcbid 843	. . 3 |- ( y = ( i e. om |-> 1o ) -> (DECID G = y <-> DECID G = ( i e. om |-> 1o ) ) )
3		eqeq1 2236	. . . . . 6 |- ( x = G -> ( x = y <-> G = y ) )
4	3	dcbid 843	. . . . 5 |- ( x = G -> (DECID x = y <-> DECID G = y ) )
5	4	ralbidv 2530	. . . 4 |- ( x = G -> ( A. y e. ℕ∞ DECID x = y <-> A. y e. ℕ∞ DECID G = y ) )
6		nninfwlpoilemdc.eq	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )
7		nninfwlpoimlemg.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : om --> 2o )
8		nninfwlpoimlemg.g	. . . . 5 |- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
9	7, 8	nninfwlpoimlemg 7338	. . . 4 |- ( ph -> G e. ℕ∞ )
10	5, 6, 9	rspcdva 2912	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ℕ∞ DECID G = y )
11		infnninf 7287	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ )
13	2, 10, 12	rspcdva 2912	. 2 |- ( ph -> DECID G = ( i e. om |-> 1o ) )
14	7, 8	nninfwlpoimlemginf 7339	. . 3 |- ( ph -> ( G = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )
15	14	dcbid 843	. 2 |- ( ph -> (DECID G = ( i e. om |-> 1o ) <-> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )
16	13, 15	mpbid 147	1 |- ( ph -> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   (/)c0 3491   ifcif 3602   |-> cmpt 4144   suc csuc 4455   omcom 4681   -->wf 5313   ` cfv 5317   1oc1o 6553   2oc2o 6554  ℕ_∞xnninf 7282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1o 6560  df-2o 6561  df-er 6678  df-map 6795  df-en 6886  df-fin 6888  df-nninf 7283

This theorem is referenced by:  nninfwlpoim  7342