Theorem nninfwlpoimlemdc 7436

Description: Lemma for nninfwlpoim 7438. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	|- ( ph -> F : om --> 2o )
nninfwlpoimlemg.g	|- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
nninfwlpoilemdc.eq	|- ( ph -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemdc	|- ( ph -> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o )

Distinct variable groups:   ph, n, x, i   n, G, x, i   y, G, x, i   n, F, x, i

Allowed substitution hints:   ph( y)   F( y)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2241	. . . 4 |- ( y = ( i e. om |-> 1o ) -> ( G = y <-> G = ( i e. om |-> 1o ) ) )
2	1	dcbid 846	. . 3 |- ( y = ( i e. om |-> 1o ) -> (DECID G = y <-> DECID G = ( i e. om |-> 1o ) ) )
3		eqeq1 2238	. . . . . 6 |- ( x = G -> ( x = y <-> G = y ) )
4	3	dcbid 846	. . . . 5 |- ( x = G -> (DECID x = y <-> DECID G = y ) )
5	4	ralbidv 2533	. . . 4 |- ( x = G -> ( A. y e. ℕ∞ DECID x = y <-> A. y e. ℕ∞ DECID G = y ) )
6		nninfwlpoilemdc.eq	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )
7		nninfwlpoimlemg.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : om --> 2o )
8		nninfwlpoimlemg.g	. . . . 5 |- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
9	7, 8	nninfwlpoimlemg 7434	. . . 4 |- ( ph -> G e. ℕ∞ )
10	5, 6, 9	rspcdva 2916	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ℕ∞ DECID G = y )
11		infnninf 7383	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ )
13	2, 10, 12	rspcdva 2916	. 2 |- ( ph -> DECID G = ( i e. om |-> 1o ) )
14	7, 8	nninfwlpoimlemginf 7435	. . 3 |- ( ph -> ( G = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )
15	14	dcbid 846	. 2 |- ( ph -> (DECID G = ( i e. om |-> 1o ) <-> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )
16	13, 15	mpbid 147	1 |- ( ph -> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   (/)c0 3496   ifcif 3607   |-> cmpt 4155   suc csuc 4468   omcom 4694   -->wf 5329   ` cfv 5333   1oc1o 6618   2oc2o 6619  ℕ_∞xnninf 7378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-fin 6955  df-nninf 7379

This theorem is referenced by:  nninfwlpoim  7438