Theorem nninfwlpoimlemdc 7278

Description: Lemma for nninfwlpoim 7280. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	|- ( ph -> F : om --> 2o )
nninfwlpoimlemg.g	|- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
nninfwlpoilemdc.eq	|- ( ph -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemdc	|- ( ph -> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o )

Distinct variable groups:   ph, n, x, i   n, G, x, i   y, G, x, i   n, F, x, i

Allowed substitution hints:   ph( y)   F( y)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2214	. . . 4 |- ( y = ( i e. om |-> 1o ) -> ( G = y <-> G = ( i e. om |-> 1o ) ) )
2	1	dcbid 839	. . 3 |- ( y = ( i e. om |-> 1o ) -> (DECID G = y <-> DECID G = ( i e. om |-> 1o ) ) )
3		eqeq1 2211	. . . . . 6 |- ( x = G -> ( x = y <-> G = y ) )
4	3	dcbid 839	. . . . 5 |- ( x = G -> (DECID x = y <-> DECID G = y ) )
5	4	ralbidv 2505	. . . 4 |- ( x = G -> ( A. y e. ℕ∞ DECID x = y <-> A. y e. ℕ∞ DECID G = y ) )
6		nninfwlpoilemdc.eq	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )
7		nninfwlpoimlemg.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : om --> 2o )
8		nninfwlpoimlemg.g	. . . . 5 |- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
9	7, 8	nninfwlpoimlemg 7276	. . . 4 |- ( ph -> G e. ℕ∞ )
10	5, 6, 9	rspcdva 2881	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ℕ∞ DECID G = y )
11		infnninf 7225	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ )
13	2, 10, 12	rspcdva 2881	. 2 |- ( ph -> DECID G = ( i e. om |-> 1o ) )
14	7, 8	nninfwlpoimlemginf 7277	. . 3 |- ( ph -> ( G = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )
15	14	dcbid 839	. 2 |- ( ph -> (DECID G = ( i e. om |-> 1o ) <-> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )
16	13, 15	mpbid 147	1 |- ( ph -> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 835   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   (/)c0 3459   ifcif 3570   |-> cmpt 4104   suc csuc 4411   omcom 4637   -->wf 5266   ` cfv 5270   1oc1o 6494   2oc2o 6495  ℕ_∞xnninf 7220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1o 6501  df-2o 6502  df-er 6619  df-map 6736  df-en 6827  df-fin 6829  df-nninf 7221

This theorem is referenced by:  nninfwlpoim  7280