Theorem nninfwlpoimlemdc 7243

Description: Lemma for nninfwlpoim 7244. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	|- ( ph -> F : om --> 2o )
nninfwlpoimlemg.g	|- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
nninfwlpoilemdc.eq	|- ( ph -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemdc	|- ( ph -> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o )

Distinct variable groups:   ph, n, x, i   n, G, x, i   y, G, x, i   n, F, x, i

Allowed substitution hints:   ph( y)   F( y)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2206	. . . 4 |- ( y = ( i e. om |-> 1o ) -> ( G = y <-> G = ( i e. om |-> 1o ) ) )
2	1	dcbid 839	. . 3 |- ( y = ( i e. om |-> 1o ) -> (DECID G = y <-> DECID G = ( i e. om |-> 1o ) ) )
3		eqeq1 2203	. . . . . 6 |- ( x = G -> ( x = y <-> G = y ) )
4	3	dcbid 839	. . . . 5 |- ( x = G -> (DECID x = y <-> DECID G = y ) )
5	4	ralbidv 2497	. . . 4 |- ( x = G -> ( A. y e. ℕ∞ DECID x = y <-> A. y e. ℕ∞ DECID G = y ) )
6		nninfwlpoilemdc.eq	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )
7		nninfwlpoimlemg.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : om --> 2o )
8		nninfwlpoimlemg.g	. . . . 5 |- G = ( i e. om |-> if ( E. x e. suc i ( F ` x ) = (/) , (/) , 1o ) )
9	7, 8	nninfwlpoimlemg 7241	. . . 4 |- ( ph -> G e. ℕ∞ )
10	5, 6, 9	rspcdva 2873	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ℕ∞ DECID G = y )
11		infnninf 7190	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞ )
13	2, 10, 12	rspcdva 2873	. 2 |- ( ph -> DECID G = ( i e. om |-> 1o ) )
14	7, 8	nninfwlpoimlemginf 7242	. . 3 |- ( ph -> ( G = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )
15	14	dcbid 839	. 2 |- ( ph -> (DECID G = ( i e. om |-> 1o ) <-> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o ) )
16	13, 15	mpbid 147	1 |- ( ph -> DECID A. n e. om ( F ` n ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   (/)c0 3450   ifcif 3561   |-> cmpt 4094   suc csuc 4400   omcom 4626   -->wf 5254   ` cfv 5258   1oc1o 6467   2oc2o 6468  ℕ_∞xnninf 7185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-map 6709  df-en 6800  df-fin 6802  df-nninf 7186

This theorem is referenced by:  nninfwlpoim  7244