Theorem nninfinfwlpolem 7469

Description: Lemma for nninfinfwlpo 7471. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
nninfinfwlpoimlem.eq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))

Assertion

Ref	Expression
nninfinfwlpolem	⊢ (𝜑 → DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   𝜑,𝑖,𝑛,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem nninfinfwlpolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2239	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
2	1	dcbid 846	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (DECID 𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
3		nninfinfwlpoimlem.eq	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
4		nninfwlpoimlemg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
5		nninfwlpoimlemg.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
6	4, 5	nninfwlpoimlemg 7466	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ∞)
7	2, 3, 6	rspcdva 2926	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
8	4, 5	nninfwlpoimlemginf 7467	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))
9	8	dcbid 846	. 2 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))
10	7, 9	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 842   = wceq 1398  ∀wral 2520  ∃wrex 2521  ∅c0 3508  ifcif 3620   ↦ cmpt 4171  suc csuc 4486  ωcom 4712  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352  1_oc1o 6640  2_oc2o 6641  ℕ_∞xnninf 7410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-map 6884  df-en 6976  df-fin 6978  df-nninf 7411

This theorem is referenced by:  nninfinfwlpo  7471