Theorem nninfinfwlpolem 7420

Description: Lemma for nninfinfwlpo 7422. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
nninfinfwlpoimlem.eq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))

Assertion

Ref	Expression
nninfinfwlpolem	⊢ (𝜑 → DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   𝜑,𝑖,𝑛,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem nninfinfwlpolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2238	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
2	1	dcbid 846	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (DECID 𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
3		nninfinfwlpoimlem.eq	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
4		nninfwlpoimlemg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
5		nninfwlpoimlemg.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
6	4, 5	nninfwlpoimlemg 7417	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ∞)
7	2, 3, 6	rspcdva 2916	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
8	4, 5	nninfwlpoimlemginf 7418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))
9	8	dcbid 846	. 2 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))
10	7, 9	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 842   = wceq 1398  ∀wral 2511  ∃wrex 2512  ∅c0 3496  ifcif 3607   ↦ cmpt 4155  suc csuc 4468  ωcom 4694  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  1_oc1o 6618  2_oc2o 6619  ℕ_∞xnninf 7361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-fin 6955  df-nninf 7362

This theorem is referenced by:  nninfinfwlpo  7422