Theorem nninfinfwlpolem 7519

Description: Lemma for nninfinfwlpo 7521. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
nninfinfwlpoimlem.eq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))

Assertion

Ref	Expression
nninfinfwlpolem	⊢ (𝜑 → DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   𝜑,𝑖,𝑛,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem nninfinfwlpolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2245	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
2	1	dcbid 850	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (DECID 𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
3		nninfinfwlpoimlem.eq	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
4		nninfwlpoimlemg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
5		nninfwlpoimlemg.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
6	4, 5	nninfwlpoimlemg 7516	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ∞)
7	2, 3, 6	rspcdva 2934	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
8	4, 5	nninfwlpoimlemginf 7517	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))
9	8	dcbid 850	. 2 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))
10	7, 9	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  DECID wdc 846   = wceq 1402  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  ∅c0 3520  ifcif 3638   ↦ cmpt 4192  suc csuc 4510  ωcom 4737  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  1_oc1o 6680  2_oc2o 6681  ℕ_∞xnninf 7460

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-fin 7025  df-nninf 7461

This theorem is used by:  nninfinfwlpo  7521