Theorem nninfinfwlpolem 7482

Description: Lemma for nninfinfwlpo 7484. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
nninfinfwlpoimlem.eq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))

Assertion

Ref	Expression
nninfinfwlpolem	⊢ (𝜑 → DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   𝜑,𝑖,𝑛,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem nninfinfwlpolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2241	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
2	1	dcbid 846	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (DECID 𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
3		nninfinfwlpoimlem.eq	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
4		nninfwlpoimlemg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
5		nninfwlpoimlemg.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
6	4, 5	nninfwlpoimlemg 7479	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ∞)
7	2, 3, 6	rspcdva 2928	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
8	4, 5	nninfwlpoimlemginf 7480	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))
9	8	dcbid 846	. 2 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))
10	7, 9	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 842   = wceq 1398  ∀wral 2522  ∃wrex 2523  ∅c0 3512  ifcif 3624   ↦ cmpt 4176  suc csuc 4491  ωcom 4717  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  1_oc1o 6653  2_oc2o 6654  ℕ_∞xnninf 7423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-fin 6991  df-nninf 7424

This theorem is referenced by:  nninfinfwlpo  7484