Theorem nninfinfwlpolem 7508

Description: Lemma for nninfinfwlpo 7510. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
nninfinfwlpoimlem.eq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))

Assertion

Ref	Expression
nninfinfwlpolem	⊢ (𝜑 → DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   𝜑,𝑖,𝑛,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem nninfinfwlpolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2245	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
2	1	dcbid 850	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (DECID 𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
3		nninfinfwlpoimlem.eq	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
4		nninfwlpoimlemg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
5		nninfwlpoimlemg.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
6	4, 5	nninfwlpoimlemg 7505	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ∞)
7	2, 3, 6	rspcdva 2934	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
8	4, 5	nninfwlpoimlemginf 7506	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))
9	8	dcbid 850	. 2 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))
10	7, 9	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 846   = wceq 1402  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  ∅c0 3520  ifcif 3635   ↦ cmpt 4187  suc csuc 4505  ωcom 4732  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  1_oc1o 6670  2_oc2o 6671  ℕ_∞xnninf 7449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-map 6914  df-en 7013  df-fin 7015  df-nninf 7450

This theorem is referenced by:  nninfinfwlpo  7510