Theorem nninfwlpoimlemdc 7153

Description: Lemma for nninfwlpoim 7154. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
nninfwlpoilemdc.eq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemdc	⊢ (𝜑 → DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛,𝑥,𝑖   𝑛,𝐺,𝑥,𝑖   𝑦,𝐺,𝑥,𝑖   𝑛,𝐹,𝑥,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2180	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) → (𝐺 = 𝑦 ↔ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
2	1	dcbid 833	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) → (DECID 𝐺 = 𝑦 ↔ DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
3		eqeq1 2177	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝐺 = 𝑦))
4	3	dcbid 833	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ DECID 𝐺 = 𝑦))
5	4	ralbidv 2470	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝐺 = 𝑦))
6		nninfwlpoilemdc.eq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦)
7		nninfwlpoimlemg.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
8		nninfwlpoimlemg.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
9	7, 8	nninfwlpoimlemg 7151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ∞)
10	5, 6, 9	rspcdva 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝐺 = 𝑦)
11		infnninf 7100	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞)
13	2, 10, 12	rspcdva 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
14	7, 8	nninfwlpoimlemginf 7152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))
15	14	dcbid 833	. 2 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))
16	13, 15	mpbid 146	1 ⊢ (𝜑 → DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 829   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  ∅c0 3414  ifcif 3526   ↦ cmpt 4050  suc csuc 4350  ωcom 4574  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  1_oc1o 6388  2_oc2o 6389  ℕ_∞xnninf 7096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-map 6628  df-en 6719  df-fin 6721  df-nninf 7097

This theorem is referenced by:  nninfwlpoim  7154