Theorem nninfwlpoimlemdc 7523

Description: Lemma for nninfwlpoim 7525. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
nninfwlpoilemdc.eq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemdc	⊢ (𝜑 → DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛,𝑥,𝑖   𝑛,𝐺,𝑥,𝑖   𝑦,𝐺,𝑥,𝑖   𝑛,𝐹,𝑥,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2248	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) → (𝐺 = 𝑦 ↔ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
2	1	dcbid 850	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) → (DECID 𝐺 = 𝑦 ↔ DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
3		eqeq1 2245	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝐺 = 𝑦))
4	3	dcbid 850	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ DECID 𝐺 = 𝑦))
5	4	ralbidv 2550	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝐺 = 𝑦))
6		nninfwlpoilemdc.eq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦)
7		nninfwlpoimlemg.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
8		nninfwlpoimlemg.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
9	7, 8	nninfwlpoimlemg 7521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ∞)
10	5, 6, 9	rspcdva 2934	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝐺 = 𝑦)
11		infnninf 7470	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞)
13	2, 10, 12	rspcdva 2934	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
14	7, 8	nninfwlpoimlemginf 7522	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))
15	14	dcbid 850	. 2 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))
16	13, 15	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  ∅c0 3520  ifcif 3638   ↦ cmpt 4193  suc csuc 4512  ωcom 4739  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  1_oc1o 6684  2_oc2o 6685  ℕ_∞xnninf 7465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-fin 7029  df-nninf 7466

This theorem is used by:  nninfwlpoim  7525