Theorem nninfwlpoimlemdc 7360

Description: Lemma for nninfwlpoim 7362. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
nninfwlpoilemdc.eq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemdc	⊢ (𝜑 → DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛,𝑥,𝑖   𝑛,𝐺,𝑥,𝑖   𝑦,𝐺,𝑥,𝑖   𝑛,𝐹,𝑥,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2239	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) → (𝐺 = 𝑦 ↔ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
2	1	dcbid 843	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) → (DECID 𝐺 = 𝑦 ↔ DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o)))
3		eqeq1 2236	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝐺 = 𝑦))
4	3	dcbid 843	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ DECID 𝐺 = 𝑦))
5	4	ralbidv 2530	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐺 → (∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝐺 = 𝑦))
6		nninfwlpoilemdc.eq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ∞ ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝑥 = 𝑦)
7		nninfwlpoimlemg.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
8		nninfwlpoimlemg.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
9	7, 8	nninfwlpoimlemg 7358	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ∞)
10	5, 6, 9	rspcdva 2912	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ∞ DECID 𝐺 = 𝑦)
11		infnninf 7307	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞)
13	2, 10, 12	rspcdva 2912	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o))
14	7, 8	nninfwlpoimlemginf 7359	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))
15	14	dcbid 843	. 2 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ↔ DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o))
16	13, 15	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → DECID ∀𝑛 ∈ ω (𝐹‘𝑛) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  ∅c0 3491  ifcif 3602   ↦ cmpt 4145  suc csuc 4457  ωcom 4683  ⟶wf 5317  ‘cfv 5321  1_oc1o 6566  2_oc2o 6567  ℕ_∞xnninf 7302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1o 6573  df-2o 6574  df-er 6693  df-map 6810  df-en 6901  df-fin 6903  df-nninf 7303

This theorem is referenced by:  nninfwlpoim  7362