Theorem nninfwlpor 7507

Description: The Weak Limited Principle of Omniscience (WLPO) implies that equality for ℕ_∞ is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpor	|- ( om e. WOmni -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem nninfwlpor

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninff 7455	. . . 4 |- ( x e. ℕ∞ -> x : om --> 2o )
2	1	ad2antrl 494	. . 3 |- ( ( om e. WOmni /\ ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) ) -> x : om --> 2o )
3		nninff 7455	. . . 4 |- ( y e. ℕ∞ -> y : om --> 2o )
4	3	ad2antll 495	. . 3 |- ( ( om e. WOmni /\ ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) ) -> y : om --> 2o )
5		fveq2 5693	. . . . . 6 |- ( j = i -> ( x ` j ) = ( x ` i ) )
6		fveq2 5693	. . . . . 6 |- ( j = i -> ( y ` j ) = ( y ` i ) )
7	5, 6	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( j = i -> ( ( x ` j ) = ( y ` j ) <-> ( x ` i ) = ( y ` i ) ) )
8	7	ifbid 3662	. . . 4 |- ( j = i -> if ( ( x ` j ) = ( y ` j ) , 1o , (/) ) = if ( ( x ` i ) = ( y ` i ) , 1o , (/) ) )
9	8	cbvmptv 4225	. . 3 |- ( j e. om |-> if ( ( x ` j ) = ( y ` j ) , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( ( x ` i ) = ( y ` i ) , 1o , (/) ) )
10		simpl 109	. . 3 |- ( ( om e. WOmni /\ ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) ) -> om e. WOmni )
11	2, 4, 9, 10	nninfwlporlem 7506	. 2 |- ( ( om e. WOmni /\ ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) ) -> DECID x = y )
12	11	ralrimivva 2632	1 |- ( om e. WOmni -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   (/)c0 3520   ifcif 3638   |-> cmpt 4190   omcom 4735   -->wf 5371   ` cfv 5375   1oc1o 6673   2oc2o 6674  ℕ_∞xnninf 7452  WOmnicwomni 7496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1o 6680  df-2o 6681  df-map 6917  df-nninf 7453  df-womni 7497

This theorem is referenced by:  nninfwlpo  7514