Theorem nninfwlpor 7302

Description: The Weak Limited Principle of Omniscience (WLPO) implies that equality for ℕ_∞ is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpor	|- ( om e. WOmni -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem nninfwlpor

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninff 7250	. . . 4 |- ( x e. ℕ∞ -> x : om --> 2o )
2	1	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( om e. WOmni /\ ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) ) -> x : om --> 2o )
3		nninff 7250	. . . 4 |- ( y e. ℕ∞ -> y : om --> 2o )
4	3	ad2antll 491	. . 3 |- ( ( om e. WOmni /\ ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) ) -> y : om --> 2o )
5		fveq2 5599	. . . . . 6 |- ( j = i -> ( x ` j ) = ( x ` i ) )
6		fveq2 5599	. . . . . 6 |- ( j = i -> ( y ` j ) = ( y ` i ) )
7	5, 6	eqeq12d 2222	. . . . 5 |- ( j = i -> ( ( x ` j ) = ( y ` j ) <-> ( x ` i ) = ( y ` i ) ) )
8	7	ifbid 3601	. . . 4 |- ( j = i -> if ( ( x ` j ) = ( y ` j ) , 1o , (/) ) = if ( ( x ` i ) = ( y ` i ) , 1o , (/) ) )
9	8	cbvmptv 4156	. . 3 |- ( j e. om |-> if ( ( x ` j ) = ( y ` j ) , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( ( x ` i ) = ( y ` i ) , 1o , (/) ) )
10		simpl 109	. . 3 |- ( ( om e. WOmni /\ ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) ) -> om e. WOmni )
11	2, 4, 9, 10	nninfwlporlem 7301	. 2 |- ( ( om e. WOmni /\ ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) ) -> DECID x = y )
12	11	ralrimivva 2590	1 |- ( om e. WOmni -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   (/)c0 3468   ifcif 3579   |-> cmpt 4121   omcom 4656   -->wf 5286   ` cfv 5290   1oc1o 6518   2oc2o 6519  ℕ_∞xnninf 7247  WOmnicwomni 7291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1o 6525  df-2o 6526  df-map 6760  df-nninf 7248  df-womni 7292

This theorem is referenced by:  nninfwlpo  7309