Theorem nninfwlpor 7278

Description: The Weak Limited Principle of Omniscience (WLPO) implies that equality for ℕ_∞ is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpor	|- ( om e. WOmni -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem nninfwlpor

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninff 7226	. . . 4 |- ( x e. ℕ∞ -> x : om --> 2o )
2	1	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( om e. WOmni /\ ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) ) -> x : om --> 2o )
3		nninff 7226	. . . 4 |- ( y e. ℕ∞ -> y : om --> 2o )
4	3	ad2antll 491	. . 3 |- ( ( om e. WOmni /\ ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) ) -> y : om --> 2o )
5		fveq2 5578	. . . . . 6 |- ( j = i -> ( x ` j ) = ( x ` i ) )
6		fveq2 5578	. . . . . 6 |- ( j = i -> ( y ` j ) = ( y ` i ) )
7	5, 6	eqeq12d 2220	. . . . 5 |- ( j = i -> ( ( x ` j ) = ( y ` j ) <-> ( x ` i ) = ( y ` i ) ) )
8	7	ifbid 3592	. . . 4 |- ( j = i -> if ( ( x ` j ) = ( y ` j ) , 1o , (/) ) = if ( ( x ` i ) = ( y ` i ) , 1o , (/) ) )
9	8	cbvmptv 4141	. . 3 |- ( j e. om |-> if ( ( x ` j ) = ( y ` j ) , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( ( x ` i ) = ( y ` i ) , 1o , (/) ) )
10		simpl 109	. . 3 |- ( ( om e. WOmni /\ ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) ) -> om e. WOmni )
11	2, 4, 9, 10	nninfwlporlem 7277	. 2 |- ( ( om e. WOmni /\ ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) ) -> DECID x = y )
12	11	ralrimivva 2588	1 |- ( om e. WOmni -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   (/)c0 3460   ifcif 3571   |-> cmpt 4106   omcom 4639   -->wf 5268   ` cfv 5272   1oc1o 6497   2oc2o 6498  ℕ_∞xnninf 7223  WOmnicwomni 7267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1o 6504  df-2o 6505  df-map 6739  df-nninf 7224  df-womni 7268

This theorem is referenced by:  nninfwlpo  7285