Theorem nninfwlpor 7467

Description: The Weak Limited Principle of Omniscience (WLPO) implies that equality for ℕ_∞ is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpor	|- ( om e. WOmni -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem nninfwlpor

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninff 7415	. . . 4 |- ( x e. ℕ∞ -> x : om --> 2o )
2	1	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( om e. WOmni /\ ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) ) -> x : om --> 2o )
3		nninff 7415	. . . 4 |- ( y e. ℕ∞ -> y : om --> 2o )
4	3	ad2antll 491	. . 3 |- ( ( om e. WOmni /\ ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) ) -> y : om --> 2o )
5		fveq2 5672	. . . . . 6 |- ( j = i -> ( x ` j ) = ( x ` i ) )
6		fveq2 5672	. . . . . 6 |- ( j = i -> ( y ` j ) = ( y ` i ) )
7	5, 6	eqeq12d 2249	. . . . 5 |- ( j = i -> ( ( x ` j ) = ( y ` j ) <-> ( x ` i ) = ( y ` i ) ) )
8	7	ifbid 3646	. . . 4 |- ( j = i -> if ( ( x ` j ) = ( y ` j ) , 1o , (/) ) = if ( ( x ` i ) = ( y ` i ) , 1o , (/) ) )
9	8	cbvmptv 4208	. . 3 |- ( j e. om |-> if ( ( x ` j ) = ( y ` j ) , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( ( x ` i ) = ( y ` i ) , 1o , (/) ) )
10		simpl 109	. . 3 |- ( ( om e. WOmni /\ ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) ) -> om e. WOmni )
11	2, 4, 9, 10	nninfwlporlem 7466	. 2 |- ( ( om e. WOmni /\ ( x e. ℕ∞ /\ y e. ℕ∞ ) ) -> DECID x = y )
12	11	ralrimivva 2626	1 |- ( om e. WOmni -> A. x e. ℕ∞ A. y e. ℕ∞ DECID x = y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   (/)c0 3510   ifcif 3622   |-> cmpt 4173   omcom 4714   -->wf 5350   ` cfv 5354   1oc1o 6642   2oc2o 6643  ℕ_∞xnninf 7412  WOmnicwomni 7456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1o 6649  df-2o 6650  df-map 6886  df-nninf 7413  df-womni 7457

This theorem is referenced by:  nninfwlpo  7474