Theorem nnppipi 7284

Description: A natural number plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nnppipi	|- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. N. )

Proof of Theorem nnppipi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7250	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
2		nnacl 6448	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) e. om )
3	1, 2	sylan2 284	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. om )
4		nnaword2 6482	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> B C_ ( A +o B ) )
5	1, 4	sylan 281	. . . 4 |- ( ( B e. N. /\ A e. om ) -> B C_ ( A +o B ) )
6	5	ancoms 266	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> B C_ ( A +o B ) )
7		elni2 7255	. . . . 5 |- ( B e. N. <-> ( B e. om /\ (/) e. B ) )
8	7	simprbi 273	. . . 4 |- ( B e. N. -> (/) e. B )
9	8	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> (/) e. B )
10	6, 9	sseldd 3143	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> (/) e. ( A +o B ) )
11		elni2 7255	. 2 |- ( ( A +o B ) e. N. <-> ( ( A +o B ) e. om /\ (/) e. ( A +o B ) ) )
12	3, 10, 11	sylanbrc 414	1 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. N. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   C_ wss 3116   (/)c0 3409   omcom 4567  (class class class)co 5842   +o coa 6381   N.cnpi 7213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388  df-ni 7245

This theorem is referenced by:  nqpnq0nq  7394  prarloclemlt  7434  prarloclemlo  7435  prarloclemcalc  7443