ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnppipi Unicode version

Theorem nnppipi 7320
Description: A natural number plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nnppipi  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +o  B
)  e.  N. )

Proof of Theorem nnppipi
StepHypRef Expression
1 pinn 7286 . . 3  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
2 nnacl 6474 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )
31, 2sylan2 286 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )
4 nnaword2 6508 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  B  C_  ( A  +o  B ) )
51, 4sylan 283 . . . 4  |-  ( ( B  e.  N.  /\  A  e.  om )  ->  B  C_  ( A  +o  B ) )
65ancoms 268 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  B  C_  ( A  +o  B ) )
7 elni2 7291 . . . . 5  |-  ( B  e.  N.  <->  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B
) )
87simprbi 275 . . . 4  |-  ( B  e.  N.  ->  (/)  e.  B
)
98adantl 277 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  -> 
(/)  e.  B )
106, 9sseldd 3156 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  -> 
(/)  e.  ( A  +o  B ) )
11 elni2 7291 . 2  |-  ( ( A  +o  B )  e.  N.  <->  ( ( A  +o  B )  e. 
om  /\  (/)  e.  ( A  +o  B ) ) )
123, 10, 11sylanbrc 417 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  +o  B
)  e.  N. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2148    C_ wss 3129   (/)c0 3422   omcom 4585  (class class class)co 5868    +o coa 6407   N.cnpi 7249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-oadd 6414  df-ni 7281
This theorem is referenced by:  nqpnq0nq  7430  prarloclemlt  7470  prarloclemlo  7471  prarloclemcalc  7479
  Copyright terms: Public domain W3C validator