Theorem nnppipi 7562

Description: A natural number plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nnppipi	|- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. N. )

Proof of Theorem nnppipi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7528	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
2		nnacl 6647	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) e. om )
3	1, 2	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. om )
4		nnaword2 6681	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> B C_ ( A +o B ) )
5	1, 4	sylan 283	. . . 4 |- ( ( B e. N. /\ A e. om ) -> B C_ ( A +o B ) )
6	5	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> B C_ ( A +o B ) )
7		elni2 7533	. . . . 5 |- ( B e. N. <-> ( B e. om /\ (/) e. B ) )
8	7	simprbi 275	. . . 4 |- ( B e. N. -> (/) e. B )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> (/) e. B )
10	6, 9	sseldd 3228	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> (/) e. ( A +o B ) )
11		elni2 7533	. 2 |- ( ( A +o B ) e. N. <-> ( ( A +o B ) e. om /\ (/) e. ( A +o B ) ) )
12	3, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. N. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   C_ wss 3200   (/)c0 3494   omcom 4688  (class class class)co 6017   +o coa 6578   N.cnpi 7491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-oadd 6585  df-ni 7523

This theorem is referenced by:  nqpnq0nq  7672  prarloclemlt  7712  prarloclemlo  7713  prarloclemcalc  7721