ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnppipi GIF version

Theorem nnppipi 7174
Description: A natural number plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nnppipi ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem nnppipi
StepHypRef Expression
1 pinn 7140 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
2 nnacl 6383 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
31, 2sylan2 284 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
4 nnaword2 6417 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
51, 4sylan 281 . . . 4 ((𝐵N𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
65ancoms 266 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
7 elni2 7145 . . . . 5 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
87simprbi 273 . . . 4 (𝐵N → ∅ ∈ 𝐵)
98adantl 275 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → ∅ ∈ 𝐵)
106, 9sseldd 3102 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵))
11 elni2 7145 . 2 ((𝐴 +o 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω ∧ ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
123, 10, 11sylanbrc 414 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ N)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1481  wss 3075  c0 3367  ωcom 4511  (class class class)co 5781   +o coa 6317  Ncnpi 7103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-oadd 6324  df-ni 7135
This theorem is referenced by:  nqpnq0nq  7284  prarloclemlt  7324  prarloclemlo  7325  prarloclemcalc  7333
  Copyright terms: Public domain W3C validator