Theorem nnppipi 7360

Description: A natural number plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nnppipi	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem nnppipi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7326	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
2		nnacl 6499	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
3	1, 2	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
4		nnaword2 6533	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
5	1, 4	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
6	5	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
7		elni2 7331	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
8	7	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → ∅ ∈ 𝐵)
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → ∅ ∈ 𝐵)
10	6, 9	sseldd 3171	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵))
11		elni2 7331	. 2 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω ∧ ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
12	3, 10, 11	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ N)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2160   ⊆ wss 3144  ∅c0 3437  ωcom 4604  (class class class)co 5891   +_o coa 6432  Ncnpi 7289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-oadd 6439  df-ni 7321

This theorem is referenced by:  nqpnq0nq  7470  prarloclemlt  7510  prarloclemlo  7511  prarloclemcalc  7519