Theorem nnppipi 7538

Description: A natural number plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nnppipi	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem nnppipi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7504	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
2		nnacl 6634	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
3	1, 2	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
4		nnaword2 6668	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
5	1, 4	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
6	5	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
7		elni2 7509	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
8	7	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → ∅ ∈ 𝐵)
9	8	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → ∅ ∈ 𝐵)
10	6, 9	sseldd 3225	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵))
11		elni2 7509	. 2 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω ∧ ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
12	3, 10, 11	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ N)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  ωcom 4682  (class class class)co 6007   +_o coa 6565  Ncnpi 7467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-oadd 6572  df-ni 7499

This theorem is referenced by:  nqpnq0nq  7648  prarloclemlt  7688  prarloclemlo  7689  prarloclemcalc  7697