ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnppipi GIF version

Theorem nnppipi 7292
Description: A natural number plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nnppipi ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem nnppipi
StepHypRef Expression
1 pinn 7258 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
2 nnacl 6456 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
31, 2sylan2 284 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
4 nnaword2 6490 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
51, 4sylan 281 . . . 4 ((𝐵N𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
65ancoms 266 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
7 elni2 7263 . . . . 5 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
87simprbi 273 . . . 4 (𝐵N → ∅ ∈ 𝐵)
98adantl 275 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → ∅ ∈ 𝐵)
106, 9sseldd 3148 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵))
11 elni2 7263 . 2 ((𝐴 +o 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω ∧ ∅ ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
123, 10, 11sylanbrc 415 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ N)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 2141  wss 3121  c0 3414  ωcom 4572  (class class class)co 5850   +o coa 6389  Ncnpi 7221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-oadd 6396  df-ni 7253
This theorem is referenced by:  nqpnq0nq  7402  prarloclemlt  7442  prarloclemlo  7443  prarloclemcalc  7451
  Copyright terms: Public domain W3C validator