ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlo Unicode version
Theorem prarloclemlo 7456
Description: Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7465. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlo |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
Distinct variable groups:   y, A   y, L   y, P   y, U   y, X
Proof of Theorem prarloclemlo
Dummy variables f g h z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnaass 6464 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) -> ( ( f +o g ) +o h ) = ( f +o ( g +o h ) ) )
21adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f +o g ) +o h ) = ( f +o ( g +o h ) ) )
3 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> y e. om )
4 1onn 6499 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. om
5 nnacl 6459 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ 1o e. om ) -> ( y +o 1o ) e. om )
63, 4, 5sylancl 411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. om )
7 2onn 6500 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o e. om
87a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> 2o e. om )
9 simpll 524 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> X e. om )
102, 6, 8, 9caovassd 6012 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) = ( ( y +o 1o ) +o ( 2o +o X ) ) )
114a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> 1o e. om )
12 nnacom 6463 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f +o g ) = ( g +o f ) )
1312adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f +o g ) = ( g +o f ) )
14 nnacl 6459 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f +o g ) e. om )
1514adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f +o g ) e. om )
163, 8, 11, 13, 2, 9, 15caov4d 6037 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o ( 1o +o X ) ) = ( ( y +o 1o ) +o ( 2o +o X ) ) )
1713, 11, 9caovcomd 6009 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( 1o +o X ) = ( X +o 1o ) )
18 nnon 4594 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. om -> X e. On )
19 oa1suc 6446 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. On -> ( X +o 1o ) = suc X )
209, 18, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( X +o 1o ) = suc X )
2117, 20eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( 1o +o X ) = suc X )
2221oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o ( 1o +o X ) ) = ( ( y +o 2o ) +o suc X ) )
2310, 16, 223eqtr2rd 2210 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o suc X ) = ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) )
2423opeq1d 3771 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. = <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
2524eceq1d 6549 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
2625oveq1d 5868 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
2726oveq2d 5869 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
2827eleq1d 2239 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
2928biimpd 143 . . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U -> ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
30 simplr1 1034 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> <. L , U >. e. P. )
31 simplr2 1035 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. L )
32 elprnql 7443 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) -> A e. Q. )
3330, 31, 32syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. Q. )
34 1pi 7277 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. N.
35 nnppipi 7305 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ 1o e. N. ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
363, 34, 35sylancl 411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
37 opelxpi 4643 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3834, 37mpan2 423 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y +o 1o ) e. N. -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
39 enqex 7322 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ~Q e. _V
4039ecelqsi 6567 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
41 df-nqqs 7310 . . . . . . . . . . . . . 14 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
4240, 41eleqtrrdi 2264 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
4336, 38, 423syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
44 simplr3 1036 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> P e. Q. )
45 mulclnq 7338 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
4643, 44, 45syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
47 nqnq0a 7416 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Q. /\ ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
4833, 46, 47syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
49 nqnq0m 7417 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ·Q0 P ) )
5043, 44, 49syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ·Q0 P ) )
51 nqnq0pi 7400 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 = [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q )
5236, 34, 51sylancl 411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 = [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q )
5352oveq1d 5868 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ·Q0 P ) )
5450, 53eqtr4d 2206 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
5554oveq2d 5869 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
5648, 55eqtrd 2203 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
5756eleq1d 2239 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
5857anbi1d 462 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
59 opeq1 3765 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y +o 1o ) -> <. z , 1o >. = <. ( y +o 1o ) , 1o >. )
6059eceq1d 6549 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y +o 1o ) -> [ <. z , 1o >. ] ~Q0 = [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 )
6160oveq1d 5868 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
6261oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
6362eleq1d 2239 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
64 oveq1 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( z +o 2o ) = ( ( y +o 1o ) +o 2o ) )
6564oveq1d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( z +o 2o ) +o X ) = ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) )
6665opeq1d 3771 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y +o 1o ) -> <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. = <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
6766eceq1d 6549 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y +o 1o ) -> [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
6867oveq1d 5868 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
6968oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
7069eleq1d 2239 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
7163, 70anbi12d 470 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
7271rspcev 2834 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y +o 1o ) e. om /\ ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
7372ex 114 . . . . . . . 8 |- ( ( y +o 1o ) e. om -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
746, 73syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
7558, 74sylbid 149 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
76 opeq1 3765 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> <. z , 1o >. = <. y , 1o >. )
7776eceq1d 6549 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> [ <. z , 1o >. ] ~Q0 = [ <. y , 1o >. ] ~Q0 )
7877oveq1d 5868 . . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
7978oveq2d 5869 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
8079eleq1d 2239 . . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
81 oveq1 5860 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( z +o 2o ) = ( y +o 2o ) )
8281oveq1d 5868 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( ( z +o 2o ) +o X ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
8382opeq1d 3771 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
8483eceq1d 6549 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
8584oveq1d 5868 . . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
8685oveq2d 5869 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
8786eleq1d 2239 . . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
8880, 87anbi12d 470 . . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
8988cbvrexv 2697 . . . . . 6 |- ( E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
9075, 89syl6ib 160 . . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9129, 90sylan2d 292 . . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9291expdimp 257 . . 3 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9392adantld 276 . 2 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L ) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9493ex 114 1 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   <.cop 3586   Oncon0 4348   suc csuc 4350   omcom 4574   X. cxp 4609  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   2oc2o 6389   +o coa 6392   [cec 6511   /.cqs 6512   N.cnpi 7234   ~Q ceq 7241   Q.cnq 7242   +Q cplq 7244   .Q cmq 7245   ~Q0 ceq0 7248   +Q0 cplq0 7251   ·Q0 cmq0 7252   P.cnp 7253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7458
  Copyright terms: Public domain W3C validator