ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlo Unicode version
Theorem prarloclemlo 7493
Description: Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlo |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
Distinct variable groups:   y, A   y, L   y, P   y, U   y, X
Proof of Theorem prarloclemlo
Dummy variables f g h z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnaass 6486 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) -> ( ( f +o g ) +o h ) = ( f +o ( g +o h ) ) )
21adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f +o g ) +o h ) = ( f +o ( g +o h ) ) )
3 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> y e. om )
4 1onn 6521 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. om
5 nnacl 6481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ 1o e. om ) -> ( y +o 1o ) e. om )
63, 4, 5sylancl 413 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. om )
7 2onn 6522 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o e. om
87a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> 2o e. om )
9 simpll 527 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> X e. om )
102, 6, 8, 9caovassd 6034 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) = ( ( y +o 1o ) +o ( 2o +o X ) ) )
114a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> 1o e. om )
12 nnacom 6485 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f +o g ) = ( g +o f ) )
1312adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f +o g ) = ( g +o f ) )
14 nnacl 6481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f +o g ) e. om )
1514adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f +o g ) e. om )
163, 8, 11, 13, 2, 9, 15caov4d 6059 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o ( 1o +o X ) ) = ( ( y +o 1o ) +o ( 2o +o X ) ) )
1713, 11, 9caovcomd 6031 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( 1o +o X ) = ( X +o 1o ) )
18 nnon 4610 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. om -> X e. On )
19 oa1suc 6468 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. On -> ( X +o 1o ) = suc X )
209, 18, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( X +o 1o ) = suc X )
2117, 20eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( 1o +o X ) = suc X )
2221oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o ( 1o +o X ) ) = ( ( y +o 2o ) +o suc X ) )
2310, 16, 223eqtr2rd 2217 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o suc X ) = ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) )
2423opeq1d 3785 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. = <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
2524eceq1d 6571 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
2625oveq1d 5890 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
2726oveq2d 5891 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
2827eleq1d 2246 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
2928biimpd 144 . . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U -> ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
30 simplr1 1039 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> <. L , U >. e. P. )
31 simplr2 1040 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. L )
32 elprnql 7480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) -> A e. Q. )
3330, 31, 32syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. Q. )
34 1pi 7314 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. N.
35 nnppipi 7342 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ 1o e. N. ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
363, 34, 35sylancl 413 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
37 opelxpi 4659 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3834, 37mpan2 425 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y +o 1o ) e. N. -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
39 enqex 7359 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ~Q e. _V
4039ecelqsi 6589 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
41 df-nqqs 7347 . . . . . . . . . . . . . 14 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
4240, 41eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
4336, 38, 423syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
44 simplr3 1041 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> P e. Q. )
45 mulclnq 7375 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
4643, 44, 45syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
47 nqnq0a 7453 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Q. /\ ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
4833, 46, 47syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
49 nqnq0m 7454 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ·Q0 P ) )
5043, 44, 49syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ·Q0 P ) )
51 nqnq0pi 7437 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 = [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q )
5236, 34, 51sylancl 413 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 = [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q )
5352oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ·Q0 P ) )
5450, 53eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
5554oveq2d 5891 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
5648, 55eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
5756eleq1d 2246 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
5857anbi1d 465 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
59 opeq1 3779 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y +o 1o ) -> <. z , 1o >. = <. ( y +o 1o ) , 1o >. )
6059eceq1d 6571 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y +o 1o ) -> [ <. z , 1o >. ] ~Q0 = [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 )
6160oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
6261oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
6362eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
64 oveq1 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( z +o 2o ) = ( ( y +o 1o ) +o 2o ) )
6564oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( z +o 2o ) +o X ) = ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) )
6665opeq1d 3785 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y +o 1o ) -> <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. = <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
6766eceq1d 6571 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y +o 1o ) -> [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
6867oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
6968oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
7069eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
7163, 70anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
7271rspcev 2842 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y +o 1o ) e. om /\ ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
7372ex 115 . . . . . . . 8 |- ( ( y +o 1o ) e. om -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
746, 73syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
7558, 74sylbid 150 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
76 opeq1 3779 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> <. z , 1o >. = <. y , 1o >. )
7776eceq1d 6571 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> [ <. z , 1o >. ] ~Q0 = [ <. y , 1o >. ] ~Q0 )
7877oveq1d 5890 . . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
7978oveq2d 5891 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
8079eleq1d 2246 . . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
81 oveq1 5882 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( z +o 2o ) = ( y +o 2o ) )
8281oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( ( z +o 2o ) +o X ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
8382opeq1d 3785 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
8483eceq1d 6571 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
8584oveq1d 5890 . . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
8685oveq2d 5891 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
8786eleq1d 2246 . . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
8880, 87anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
8988cbvrexv 2705 . . . . . 6 |- ( E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
9075, 89imbitrdi 161 . . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9129, 90sylan2d 294 . . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9291expdimp 259 . . 3 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9392adantld 278 . 2 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L ) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9493ex 115 1 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   <.cop 3596   Oncon0 4364   suc csuc 4366   omcom 4590   X. cxp 4625  (class class class)co 5875   1oc1o 6410   2oc2o 6411   +o coa 6414   [cec 6533   /.cqs 6534   N.cnpi 7271   ~Q ceq 7278   Q.cnq 7279   +Q cplq 7281   .Q cmq 7282   ~Q0 ceq0 7285   +Q0 cplq0 7288   ·Q0 cmq0 7289   P.cnp 7290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-plq0 7426  df-mq0 7427  df-inp 7465
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7495
  Copyright terms: Public domain W3C validator