ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlo Unicode version
Theorem prarloclemlo 7642
Description: Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7651. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlo |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
Distinct variable groups:   y, A   y, L   y, P   y, U   y, X
Proof of Theorem prarloclemlo
Dummy variables f g h z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnaass 6594 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) -> ( ( f +o g ) +o h ) = ( f +o ( g +o h ) ) )
21adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f +o g ) +o h ) = ( f +o ( g +o h ) ) )
3 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> y e. om )
4 1onn 6629 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. om
5 nnacl 6589 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ 1o e. om ) -> ( y +o 1o ) e. om )
63, 4, 5sylancl 413 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. om )
7 2onn 6630 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o e. om
87a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> 2o e. om )
9 simpll 527 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> X e. om )
102, 6, 8, 9caovassd 6129 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) = ( ( y +o 1o ) +o ( 2o +o X ) ) )
114a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> 1o e. om )
12 nnacom 6593 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f +o g ) = ( g +o f ) )
1312adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f +o g ) = ( g +o f ) )
14 nnacl 6589 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f +o g ) e. om )
1514adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f +o g ) e. om )
163, 8, 11, 13, 2, 9, 15caov4d 6154 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o ( 1o +o X ) ) = ( ( y +o 1o ) +o ( 2o +o X ) ) )
1713, 11, 9caovcomd 6126 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( 1o +o X ) = ( X +o 1o ) )
18 nnon 4676 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. om -> X e. On )
19 oa1suc 6576 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. On -> ( X +o 1o ) = suc X )
209, 18, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( X +o 1o ) = suc X )
2117, 20eqtrd 2240 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( 1o +o X ) = suc X )
2221oveq2d 5983 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o ( 1o +o X ) ) = ( ( y +o 2o ) +o suc X ) )
2310, 16, 223eqtr2rd 2247 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o suc X ) = ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) )
2423opeq1d 3839 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. = <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
2524eceq1d 6679 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
2625oveq1d 5982 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
2726oveq2d 5983 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
2827eleq1d 2276 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
2928biimpd 144 . . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U -> ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
30 simplr1 1042 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> <. L , U >. e. P. )
31 simplr2 1043 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. L )
32 elprnql 7629 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) -> A e. Q. )
3330, 31, 32syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. Q. )
34 1pi 7463 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. N.
35 nnppipi 7491 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ 1o e. N. ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
363, 34, 35sylancl 413 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
37 opelxpi 4725 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3834, 37mpan2 425 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y +o 1o ) e. N. -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
39 enqex 7508 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ~Q e. _V
4039ecelqsi 6699 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
41 df-nqqs 7496 . . . . . . . . . . . . . 14 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
4240, 41eleqtrrdi 2301 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
4336, 38, 423syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
44 simplr3 1044 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> P e. Q. )
45 mulclnq 7524 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
4643, 44, 45syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
47 nqnq0a 7602 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Q. /\ ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
4833, 46, 47syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
49 nqnq0m 7603 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ·Q0 P ) )
5043, 44, 49syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ·Q0 P ) )
51 nqnq0pi 7586 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 = [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q )
5236, 34, 51sylancl 413 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 = [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q )
5352oveq1d 5982 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ·Q0 P ) )
5450, 53eqtr4d 2243 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
5554oveq2d 5983 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
5648, 55eqtrd 2240 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
5756eleq1d 2276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
5857anbi1d 465 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
59 opeq1 3833 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y +o 1o ) -> <. z , 1o >. = <. ( y +o 1o ) , 1o >. )
6059eceq1d 6679 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y +o 1o ) -> [ <. z , 1o >. ] ~Q0 = [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 )
6160oveq1d 5982 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
6261oveq2d 5983 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
6362eleq1d 2276 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
64 oveq1 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( z +o 2o ) = ( ( y +o 1o ) +o 2o ) )
6564oveq1d 5982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( z +o 2o ) +o X ) = ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) )
6665opeq1d 3839 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y +o 1o ) -> <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. = <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
6766eceq1d 6679 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y +o 1o ) -> [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
6867oveq1d 5982 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
6968oveq2d 5983 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
7069eleq1d 2276 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
7163, 70anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
7271rspcev 2884 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y +o 1o ) e. om /\ ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
7372ex 115 . . . . . . . 8 |- ( ( y +o 1o ) e. om -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
746, 73syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
7558, 74sylbid 150 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
76 opeq1 3833 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> <. z , 1o >. = <. y , 1o >. )
7776eceq1d 6679 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> [ <. z , 1o >. ] ~Q0 = [ <. y , 1o >. ] ~Q0 )
7877oveq1d 5982 . . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
7978oveq2d 5983 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
8079eleq1d 2276 . . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
81 oveq1 5974 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( z +o 2o ) = ( y +o 2o ) )
8281oveq1d 5982 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( ( z +o 2o ) +o X ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
8382opeq1d 3839 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
8483eceq1d 6679 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
8584oveq1d 5982 . . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
8685oveq2d 5983 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
8786eleq1d 2276 . . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
8880, 87anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
8988cbvrexv 2743 . . . . . 6 |- ( E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
9075, 89imbitrdi 161 . . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9129, 90sylan2d 294 . . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9291expdimp 259 . . 3 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9392adantld 278 . 2 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L ) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9493ex 115 1 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   E.wrex 2487   <.cop 3646   Oncon0 4428   suc csuc 4430   omcom 4656   X. cxp 4691  (class class class)co 5967   1oc1o 6518   2oc2o 6519   +o coa 6522   [cec 6641   /.cqs 6642   N.cnpi 7420   ~Q ceq 7427   Q.cnq 7428   +Q cplq 7430   .Q cmq 7431   ~Q0 ceq0 7434   +Q0 cplq0 7437   ·Q0 cmq0 7438   P.cnp 7439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-1o 6525  df-2o 6526  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-er 6643  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-pli 7453  df-mi 7454  df-plpq 7492  df-mpq 7493  df-enq 7495  df-nqqs 7496  df-plqqs 7497  df-mqqs 7498  df-enq0 7572  df-nq0 7573  df-plq0 7575  df-mq0 7576  df-inp 7614
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7644
  Copyright terms: Public domain W3C validator