ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlo Unicode version
Theorem prarloclemlo 7326
Description: Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7335. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlo |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
Distinct variable groups:   y, A   y, L   y, P   y, U   y, X
Proof of Theorem prarloclemlo
Dummy variables f g h z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnaass 6389 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) -> ( ( f +o g ) +o h ) = ( f +o ( g +o h ) ) )
21adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f +o g ) +o h ) = ( f +o ( g +o h ) ) )
3 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> y e. om )
4 1onn 6424 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. om
5 nnacl 6384 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ 1o e. om ) -> ( y +o 1o ) e. om )
63, 4, 5sylancl 410 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. om )
7 2onn 6425 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o e. om
87a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> 2o e. om )
9 simpll 519 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> X e. om )
102, 6, 8, 9caovassd 5938 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) = ( ( y +o 1o ) +o ( 2o +o X ) ) )
114a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> 1o e. om )
12 nnacom 6388 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f +o g ) = ( g +o f ) )
1312adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f +o g ) = ( g +o f ) )
14 nnacl 6384 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f +o g ) e. om )
1514adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f +o g ) e. om )
163, 8, 11, 13, 2, 9, 15caov4d 5963 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o ( 1o +o X ) ) = ( ( y +o 1o ) +o ( 2o +o X ) ) )
1713, 11, 9caovcomd 5935 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( 1o +o X ) = ( X +o 1o ) )
18 nnon 4531 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. om -> X e. On )
19 oa1suc 6371 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. On -> ( X +o 1o ) = suc X )
209, 18, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( X +o 1o ) = suc X )
2117, 20eqtrd 2173 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( 1o +o X ) = suc X )
2221oveq2d 5798 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o ( 1o +o X ) ) = ( ( y +o 2o ) +o suc X ) )
2310, 16, 223eqtr2rd 2180 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o suc X ) = ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) )
2423opeq1d 3719 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. = <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
2524eceq1d 6473 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
2625oveq1d 5797 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
2726oveq2d 5798 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
2827eleq1d 2209 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
2928biimpd 143 . . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U -> ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
30 simplr1 1024 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> <. L , U >. e. P. )
31 simplr2 1025 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. L )
32 elprnql 7313 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) -> A e. Q. )
3330, 31, 32syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. Q. )
34 1pi 7147 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. N.
35 nnppipi 7175 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ 1o e. N. ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
363, 34, 35sylancl 410 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
37 opelxpi 4579 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
3834, 37mpan2 422 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y +o 1o ) e. N. -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
39 enqex 7192 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ~Q e. _V
4039ecelqsi 6491 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
41 df-nqqs 7180 . . . . . . . . . . . . . 14 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
4240, 41eleqtrrdi 2234 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
4336, 38, 423syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
44 simplr3 1026 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> P e. Q. )
45 mulclnq 7208 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
4643, 44, 45syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
47 nqnq0a 7286 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Q. /\ ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
4833, 46, 47syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
49 nqnq0m 7287 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ·Q0 P ) )
5043, 44, 49syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ·Q0 P ) )
51 nqnq0pi 7270 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 = [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q )
5236, 34, 51sylancl 410 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 = [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q )
5352oveq1d 5797 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ·Q0 P ) )
5450, 53eqtr4d 2176 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
5554oveq2d 5798 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
5648, 55eqtrd 2173 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
5756eleq1d 2209 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
5857anbi1d 461 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
59 opeq1 3713 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y +o 1o ) -> <. z , 1o >. = <. ( y +o 1o ) , 1o >. )
6059eceq1d 6473 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y +o 1o ) -> [ <. z , 1o >. ] ~Q0 = [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 )
6160oveq1d 5797 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
6261oveq2d 5798 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
6362eleq1d 2209 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
64 oveq1 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( z +o 2o ) = ( ( y +o 1o ) +o 2o ) )
6564oveq1d 5797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( z +o 2o ) +o X ) = ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) )
6665opeq1d 3719 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y +o 1o ) -> <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. = <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
6766eceq1d 6473 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y +o 1o ) -> [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
6867oveq1d 5797 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
6968oveq2d 5798 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
7069eleq1d 2209 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
7163, 70anbi12d 465 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( y +o 1o ) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
7271rspcev 2793 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y +o 1o ) e. om /\ ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
7372ex 114 . . . . . . . 8 |- ( ( y +o 1o ) e. om -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
746, 73syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
7558, 74sylbid 149 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
76 opeq1 3713 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> <. z , 1o >. = <. y , 1o >. )
7776eceq1d 6473 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> [ <. z , 1o >. ] ~Q0 = [ <. y , 1o >. ] ~Q0 )
7877oveq1d 5797 . . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) = ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) )
7978oveq2d 5798 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) = ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) )
8079eleq1d 2209 . . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L <-> ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L ) )
81 oveq1 5789 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( z +o 2o ) = ( y +o 2o ) )
8281oveq1d 5797 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( ( z +o 2o ) +o X ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
8382opeq1d 3719 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. = <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. )
8483eceq1d 6473 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q = [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
8584oveq1d 5797 . . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
8685oveq2d 5798 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) = ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
8786eleq1d 2209 . . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U <-> ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
8880, 87anbi12d 465 . . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
8988cbvrexv 2658 . . . . . 6 |- ( E. z e. om ( ( A +Q0 ( [ <. z , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( z +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) <-> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) )
9075, 89syl6ib 160 . . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( ( y +o 1o ) +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9129, 90sylan2d 292 . . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9291expdimp 257 . . 3 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9392adantld 276 . 2 |- ( ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) /\ ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L ) -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) )
9493ex 114 1 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. L -> ( ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o suc X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) -> E. y e. om ( ( A +Q0 ( [ <. y , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 P ) ) e. L /\ ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) e. U ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418   <.cop 3535   Oncon0 4293   suc csuc 4295   omcom 4512   X. cxp 4545  (class class class)co 5782   1oc1o 6314   2oc2o 6315   +o coa 6318   [cec 6435   /.cqs 6436   N.cnpi 7104   ~Q ceq 7111   Q.cnq 7112   +Q cplq 7114   .Q cmq 7115   ~Q0 ceq0 7118   +Q0 cplq0 7121   ·Q0 cmq0 7122   P.cnp 7123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-2o 6322  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-pli 7137  df-mi 7138  df-plpq 7176  df-mpq 7177  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-plqqs 7181  df-mqqs 7182  df-enq0 7256  df-nq0 7257  df-plq0 7259  df-mq0 7260  df-inp 7298
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7328
  Copyright terms: Public domain W3C validator