ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlo Unicode version

Theorem prarloclemlo 7314
Description: Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7323. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlo  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  L  ->  ( ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, L    y, P    y, U    y, X

Proof of Theorem prarloclemlo
Dummy variables  f  g  h  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnaass 6381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om  /\  h  e.  om )  ->  (
( f  +o  g
)  +o  h )  =  ( f  +o  ( g  +o  h
) ) )
21adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. )
)  /\  y  e.  om )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om  /\  h  e. 
om ) )  -> 
( ( f  +o  g )  +o  h
)  =  ( f  +o  ( g  +o  h ) ) )
3 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  y  e.  om )
4 1onn 6416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  om
5 nnacl 6376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> 
( y  +o  1o )  e.  om )
63, 4, 5sylancl 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  om )
7 2onn 6417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  e.  om
87a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  2o  e.  om )
9 simpll 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  X  e.  om )
102, 6, 8, 9caovassd 5930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X
)  =  ( ( y  +o  1o )  +o  ( 2o  +o  X ) ) )
114a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  1o  e.  om )
12 nnacom 6380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om )  ->  ( f  +o  g
)  =  ( g  +o  f ) )
1312adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. )
)  /\  y  e.  om )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om ) )  -> 
( f  +o  g
)  =  ( g  +o  f ) )
14 nnacl 6376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om )  ->  ( f  +o  g
)  e.  om )
1514adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. )
)  /\  y  e.  om )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om ) )  -> 
( f  +o  g
)  e.  om )
163, 8, 11, 13, 2, 9, 15caov4d 5955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  2o )  +o  ( 1o  +o  X ) )  =  ( ( y  +o  1o )  +o  ( 2o  +o  X
) ) )
1713, 11, 9caovcomd 5927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( 1o  +o  X
)  =  ( X  +o  1o ) )
18 nnon 4523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  om  ->  X  e.  On )
19 oa1suc 6363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  On  ->  ( X  +o  1o )  =  suc  X )
209, 18, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( X  +o  1o )  =  suc  X )
2117, 20eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( 1o  +o  X
)  =  suc  X
)
2221oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  2o )  +o  ( 1o  +o  X ) )  =  ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) )
2310, 16, 223eqtr2rd 2179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  2o )  +o  suc  X )  =  ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) )
2423opeq1d 3711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  -> 
<. ( ( y  +o  2o )  +o  suc  X ) ,  1o >.  = 
<. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. )
2524eceq1d 6465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  )
2625oveq1d 5789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
( y  +o  2o )  +o  suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  =  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )
2726oveq2d 5790 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  =  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
2827eleq1d 2208 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U  <->  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )
2928biimpd 143 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U  ->  ( A  +Q  ( [ <. (
( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U ) )
30 simplr1 1023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  -> 
<. L ,  U >.  e. 
P. )
31 simplr2 1024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  A  e.  L )
32 elprnql 7301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  L )  ->  A  e.  Q. )
3330, 31, 32syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  A  e.  Q. )
34 1pi 7135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  N.
35 nnppipi 7163 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +o  1o )  e.  N. )
363, 34, 35sylancl 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  N. )
37 opelxpi 4571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. (
y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
3834, 37mpan2 421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  +o  1o )  e.  N.  ->  <. (
y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
39 enqex 7180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ~Q  e.  _V
4039ecelqsi 6483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
( y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
41 df-nqqs 7168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
4240, 41eleqtrrdi 2233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
( y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
4336, 38, 423syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
44 simplr3 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  P  e.  Q. )
45 mulclnq 7196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
4643, 44, 45syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
47 nqnq0a 7274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
)  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  =  ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
4833, 46, 47syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  =  ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
49 nqnq0m 7275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q ·Q0 
P ) )
5043, 44, 49syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q ·Q0 
P ) )
51 nqnq0pi 7258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0  =  [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
5236, 34, 51sylancl 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0  =  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
5352oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q ·Q0  P )
)
5450, 53eqtr4d 2175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)
5554oveq2d 5790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A +Q0  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  =  ( A +Q0  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) ) )
5648, 55eqtrd 2172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  =  ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
) )
5756eleq1d 2208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  L  <->  ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L ) )
5857anbi1d 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  <->  ( ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
59 opeq1 3705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  <. z ,  1o >.  =  <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. )
6059eceq1d 6465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  [ <. z ,  1o >. ] ~Q0  =  [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0  )
6160oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )
6261oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  =  ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
) )
6362eleq1d 2208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  (
( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  <->  ( A +Q0  ( [
<. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L ) )
64 oveq1 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  (
z  +o  2o )  =  ( ( y  +o  1o )  +o  2o ) )
6564oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  (
( z  +o  2o )  +o  X )  =  ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X
) )
6665opeq1d 3711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  <. (
( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >.  =  <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. )
6766eceq1d 6465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  )
6867oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
)  =  ( [
<. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )
6968oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  =  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
7069eleq1d 2208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  (
( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U  <->  ( A  +Q  ( [
<. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U ) )
7163, 70anbi12d 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  (
( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  <->  ( ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
7271rspcev 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  om  /\  (
( A +Q0  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )  ->  E. z  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )
7372ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  +o  1o )  e.  om  ->  (
( ( A +Q0  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  ->  E. z  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
746, 73syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  ->  E. z  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
7558, 74sylbid 149 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. z  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
76 opeq1 3705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  <. z ,  1o >.  =  <. y ,  1o >. )
7776eceq1d 6465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  [ <. z ,  1o >. ] ~Q0  =  [ <. y ,  1o >. ] ~Q0  )
7877oveq1d 5789 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )  =  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )
7978oveq2d 5790 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  =  ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
) )
8079eleq1d 2208 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  <->  ( A +Q0  ( [
<. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0 
P ) )  e.  L ) )
81 oveq1 5781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
z  +o  2o )  =  ( y  +o  2o ) )
8281oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  +o  2o )  +o  X )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X
) )
8382opeq1d 3711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  <. (
( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >.  =  <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. )
8483eceq1d 6465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  )
8584oveq1d 5789 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
)  =  ( [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )
8685oveq2d 5790 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  =  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
8786eleq1d 2208 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U  <->  ( A  +Q  ( [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U ) )
8880, 87anbi12d 464 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  <->  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
8988cbvrexv 2655 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  om  (
( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  <->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )
9075, 89syl6ib 160 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
9129, 90sylan2d 292 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
9291expdimp 257 . . 3  |-  ( ( ( ( X  e. 
om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. )
)  /\  y  e.  om )  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L )  ->  (
( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
9392adantld 276 . 2  |-  ( ( ( ( X  e. 
om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. )
)  /\  y  e.  om )  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L )  ->  (
( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
9493ex 114 1  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  L  ->  ( ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   E.wrex 2417   <.cop 3530   Oncon0 4285   suc csuc 4287   omcom 4504    X. cxp 4537  (class class class)co 5774   1oc1o 6306   2oc2o 6307    +o coa 6310   [cec 6427   /.cqs 6428   N.cnpi 7092    ~Q ceq 7099   Q.cnq 7100    +Q cplq 7102    .Q cmq 7103   ~Q0 ceq0 7106   +Q0 cplq0 7109   ·Q0 cmq0 7110   P.cnp 7111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-plpq 7164  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-mqqs 7170  df-enq0 7244  df-nq0 7245  df-plq0 7247  df-mq0 7248  df-inp 7286
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7316
  Copyright terms: Public domain W3C validator