Theorem nnsinds 10411

Description: Strong (or "total") induction principle over the naturals. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnsinds.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
nnsinds.2	|- ( x = N -> ( ph <-> ch ) )
nnsinds.3	|- ( x e. NN -> ( A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
nnsinds	|- ( N e. NN -> ch )

Distinct variable groups:   ch, x   x, N   ph, y   ps, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   N( y)

Proof of Theorem nnsinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 9535	. 2 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
2		nnsinds.1	. . 3 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
3		nnsinds.2	. . 3 |- ( x = N -> ( ph <-> ch ) )
4		elnnuz 9535	. . . 4 |- ( x e. NN <-> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5		nnsinds.3	. . . 4 |- ( x e. NN -> ( A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) )
6	4, 5	sylbir 135	. . 3 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) )
7	2, 3, 6	uzsinds 10410	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ch )
8	1, 7	sylbi 121	1 |- ( N e. NN -> ch )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   1c1 7787   - cmin 8102   NNcn 8890   ZZ>=cuz 9499   ...cfz 9977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-fz 9978

This theorem is referenced by: (None)