ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnsinds Unicode version

Theorem nnsinds 9737
Description: Strong (or "total") induction principle over the naturals. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nnsinds.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
nnsinds.2  |-  ( x  =  N  ->  ( ph 
<->  ch ) )
nnsinds.3  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  (
1 ... ( x  - 
1 ) ) ps 
->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
nnsinds  |-  ( N  e.  NN  ->  ch )
Distinct variable groups:    ch, x    x, N    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    N( y)

Proof of Theorem nnsinds
StepHypRef Expression
1 elnnuz 8949 . 2  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 nnsinds.1 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
3 nnsinds.2 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  ( ph 
<->  ch ) )
4 elnnuz 8949 . . . 4  |-  ( x  e.  NN  <->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
5 nnsinds.3 . . . 4  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  (
1 ... ( x  - 
1 ) ) ps 
->  ph ) )
64, 5sylbir 133 . . 3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ps 
->  ph ) )
72, 3, 6uzsinds 9736 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ch )
81, 7sylbi 119 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ch )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   ` cfv 4968  (class class class)co 5590   1c1 7253    - cmin 7555   NNcn 8315   ZZ>=cuz 8913   ...cfz 9318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-addcom 7347  ax-addass 7349  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-apti 7362  ax-pre-ltadd 7363
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-inn 8316  df-n0 8565  df-z 8646  df-uz 8914  df-fz 9319
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator