Theorem elnnuz 9687

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	|- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9686	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	eleq2i 2272	1 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2176   ` cfv 5272   1c1 7928   NNcn 9038   ZZ>=cuz 9650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-z 9375  df-uz 9651

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9695  uznnssnn  9700  elnndc  9735  uzsubsubfz1  10172  elfz1end  10179  fznn  10213  fzo1fzo0n0  10309  elfzonlteqm1  10341  rebtwn2z  10399  nnsinds  10592  exp3vallem  10687  exp1  10692  expp1  10693  facp1  10877  faclbnd  10888  bcn1  10905  resqrexlemf1  11352  resqrexlemfp1  11353  summodclem3  11724  summodclem2a  11725  fsum3  11731  fsumcl2lem  11742  fsumadd  11750  sumsnf  11753  fsummulc2  11792  trireciplem  11844  geo2lim  11860  geoisum1  11863  geoisum1c  11864  cvgratnnlemnexp  11868  cvgratz  11876  prodmodclem3  11919  prodmodclem2a  11920  fprodseq  11927  fprodmul  11935  prodsnf  11936  fprodfac  11959  dvdsfac  12204  gcdsupex  12311  gcdsupcl  12312  prmind2  12475  eulerthlemrprm  12584  eulerthlema  12585  pcmpt  12699  prmunb  12718  nninfdclemp1  12854  structfn  12884  mulgnngsum  13496  mulg1  13498  mulgnndir  13520  lgsval2lem  15520  lgsdir  15545  lgsdilem2  15546  lgsdi  15547  lgsne0  15548  2lgslem1a  15598  2sqlem10  15635  cvgcmp2nlemabs  16008  trilpolemisumle  16014  nconstwlpolem0  16039