Theorem elnnuz 9891

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	|- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9890	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	eleq2i 2299	1 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2203   ` cfv 5352   1c1 8128   NNcn 9237   ZZ>=cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9904  uznnssnn  9909  elnndc  9944  uzsubsubfz1  10382  elfz1end  10389  fznn  10423  fzo1fzo0n0  10522  elfzonlteqm1  10555  rebtwn2z  10614  nnsinds  10807  exp3vallem  10902  exp1  10907  expp1  10908  facp1  11092  faclbnd  11103  bcn1  11120  resqrexlemf1  11693  resqrexlemfp1  11694  summodclem3  12066  summodclem2a  12067  fsum3  12073  fsumcl2lem  12084  fsumadd  12092  sumsnf  12095  fsummulc2  12134  trireciplem  12186  geo2lim  12202  geoisum1  12205  geoisum1c  12206  cvgratnnlemnexp  12210  cvgratz  12218  prodmodclem3  12261  prodmodclem2a  12262  fprodseq  12269  fprodmul  12277  prodsnf  12278  fprodfac  12301  dvdsfac  12546  gcdsupex  12653  gcdsupcl  12654  prmind2  12817  eulerthlemrprm  12926  eulerthlema  12927  pcmpt  13041  prmunb  13060  nninfdclemp1  13201  structfn  13231  mulgnngsum  13844  mulg1  13846  mulgnndir  13868  lgsval2lem  15883  lgsdir  15908  lgsdilem2  15909  lgsdi  15910  lgsne0  15911  2lgslem1a  15961  2sqlem10  15998  clwwlkccatlem  16395  cvgcmp2nlemabs  16816  trilpolemisumle  16822  nconstwlpolem0  16849  gfsumval  16862