Theorem elnnuz 9685

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	|- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9684	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	eleq2i 2272	1 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2176   ` cfv 5271   1c1 7926   NNcn 9036   ZZ>=cuz 9648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-z 9373  df-uz 9649

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9693  uznnssnn  9698  elnndc  9733  uzsubsubfz1  10170  elfz1end  10177  fznn  10211  fzo1fzo0n0  10307  elfzonlteqm1  10339  rebtwn2z  10397  nnsinds  10590  exp3vallem  10685  exp1  10690  expp1  10691  facp1  10875  faclbnd  10886  bcn1  10903  resqrexlemf1  11319  resqrexlemfp1  11320  summodclem3  11691  summodclem2a  11692  fsum3  11698  fsumcl2lem  11709  fsumadd  11717  sumsnf  11720  fsummulc2  11759  trireciplem  11811  geo2lim  11827  geoisum1  11830  geoisum1c  11831  cvgratnnlemnexp  11835  cvgratz  11843  prodmodclem3  11886  prodmodclem2a  11887  fprodseq  11894  fprodmul  11902  prodsnf  11903  fprodfac  11926  dvdsfac  12171  gcdsupex  12278  gcdsupcl  12279  prmind2  12442  eulerthlemrprm  12551  eulerthlema  12552  pcmpt  12666  prmunb  12685  nninfdclemp1  12821  structfn  12851  mulgnngsum  13463  mulg1  13465  mulgnndir  13487  lgsval2lem  15487  lgsdir  15512  lgsdilem2  15513  lgsdi  15514  lgsne0  15515  2lgslem1a  15565  2sqlem10  15602  cvgcmp2nlemabs  15971  trilpolemisumle  15977  nconstwlpolem0  16002