Theorem elnnuz 9938

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	|- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9937	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	eleq2i 2305	1 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2209   ` cfv 5372   1c1 8170   NNcn 9283   ZZ>=cuz 9900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-z 9624  df-uz 9901

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9951  uznnssnn  9956  elnndc  9991  uzsubsubfz1  10431  elfz1end  10439  fznn  10474  fzo1fzo0n0  10573  elfzonlteqm1  10606  rebtwn2z  10667  nnsinds  10860  exp3vallem  10955  exp1  10960  expp1  10961  facp1  11146  faclbnd  11157  bcn1  11174  resqrexlemf1  11752  resqrexlemfp1  11753  summodclem3  12125  summodclem2a  12126  fsum3  12132  fsumcl2lem  12143  fsumadd  12151  sumsnf  12154  fsummulc2  12193  trireciplem  12245  geo2lim  12261  geoisum1  12264  geoisum1c  12265  cvgratnnlemnexp  12269  cvgratz  12277  prodmodclem3  12320  prodmodclem2a  12321  fprodseq  12328  fprodmul  12336  prodsnf  12337  fprodfac  12360  dvdsfac  12605  gcdsupex  12712  gcdsupcl  12713  prmind2  12876  eulerthlemrprm  12985  eulerthlema  12986  pcmpt  13100  prmunb  13119  ballotfilemfp1  13209  ballotfilemfc0  13210  ballotfilemfcc  13211  ballotfilem4  13219  ballotfilemic  13228  ballotfilem1c  13229  nninfdclemp1  13319  structfn  13349  mulgnngzsum  13907  mulg1  13909  mulgnndir  13931  gsumvalfi  14129  logfac  15918  lgsval2lem  16043  lgsdir  16068  lgsdilem2  16069  lgsdi  16070  lgsne0  16071  2lgslem1a  16121  2sqlem10  16158  clwwlkccatlem  16555  cvgcmp2nlemabs  16986  trilpolemisumle  16992  nconstwlpolem0  17018