Theorem elnnuz 9759

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	|- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9758	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	eleq2i 2296	1 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2200   ` cfv 5318   1c1 8000   NNcn 9110   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9767  uznnssnn  9772  elnndc  9807  uzsubsubfz1  10244  elfz1end  10251  fznn  10285  fzo1fzo0n0  10383  elfzonlteqm1  10416  rebtwn2z  10474  nnsinds  10667  exp3vallem  10762  exp1  10767  expp1  10768  facp1  10952  faclbnd  10963  bcn1  10980  resqrexlemf1  11519  resqrexlemfp1  11520  summodclem3  11891  summodclem2a  11892  fsum3  11898  fsumcl2lem  11909  fsumadd  11917  sumsnf  11920  fsummulc2  11959  trireciplem  12011  geo2lim  12027  geoisum1  12030  geoisum1c  12031  cvgratnnlemnexp  12035  cvgratz  12043  prodmodclem3  12086  prodmodclem2a  12087  fprodseq  12094  fprodmul  12102  prodsnf  12103  fprodfac  12126  dvdsfac  12371  gcdsupex  12478  gcdsupcl  12479  prmind2  12642  eulerthlemrprm  12751  eulerthlema  12752  pcmpt  12866  prmunb  12885  nninfdclemp1  13021  structfn  13051  mulgnngsum  13664  mulg1  13666  mulgnndir  13688  lgsval2lem  15689  lgsdir  15714  lgsdilem2  15715  lgsdi  15716  lgsne0  15717  2lgslem1a  15767  2sqlem10  15804  cvgcmp2nlemabs  16400  trilpolemisumle  16406  nconstwlpolem0  16431