Theorem elnnuz 9629

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	|- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9628	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	eleq2i 2260	1 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2164   ` cfv 5254   1c1 7873   NNcn 8982   ZZ>=cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9637  uznnssnn  9642  elnndc  9677  uzsubsubfz1  10114  elfz1end  10121  fznn  10155  fzo1fzo0n0  10250  elfzonlteqm1  10277  rebtwn2z  10323  nnsinds  10516  exp3vallem  10611  exp1  10616  expp1  10617  facp1  10801  faclbnd  10812  bcn1  10829  resqrexlemf1  11152  resqrexlemfp1  11153  summodclem3  11523  summodclem2a  11524  fsum3  11530  fsumcl2lem  11541  fsumadd  11549  sumsnf  11552  fsummulc2  11591  trireciplem  11643  geo2lim  11659  geoisum1  11662  geoisum1c  11663  cvgratnnlemnexp  11667  cvgratz  11675  prodmodclem3  11718  prodmodclem2a  11719  fprodseq  11726  fprodmul  11734  prodsnf  11735  fprodfac  11758  dvdsfac  12002  gcdsupex  12094  gcdsupcl  12095  prmind2  12258  eulerthlemrprm  12367  eulerthlema  12368  pcmpt  12481  prmunb  12500  nninfdclemp1  12607  structfn  12637  mulgnngsum  13197  mulg1  13199  mulgnndir  13221  lgsval2lem  15126  lgsdir  15151  lgsdilem2  15152  lgsdi  15153  lgsne0  15154  2sqlem10  15212  cvgcmp2nlemabs  15522  trilpolemisumle  15528  nconstwlpolem0  15553