Theorem elnnuz 9655

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	|- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9654	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	eleq2i 2263	1 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2167   ` cfv 5259   1c1 7897   NNcn 9007   ZZ>=cuz 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-z 9344  df-uz 9619

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9663  uznnssnn  9668  elnndc  9703  uzsubsubfz1  10140  elfz1end  10147  fznn  10181  fzo1fzo0n0  10276  elfzonlteqm1  10303  rebtwn2z  10361  nnsinds  10554  exp3vallem  10649  exp1  10654  expp1  10655  facp1  10839  faclbnd  10850  bcn1  10867  resqrexlemf1  11190  resqrexlemfp1  11191  summodclem3  11562  summodclem2a  11563  fsum3  11569  fsumcl2lem  11580  fsumadd  11588  sumsnf  11591  fsummulc2  11630  trireciplem  11682  geo2lim  11698  geoisum1  11701  geoisum1c  11702  cvgratnnlemnexp  11706  cvgratz  11714  prodmodclem3  11757  prodmodclem2a  11758  fprodseq  11765  fprodmul  11773  prodsnf  11774  fprodfac  11797  dvdsfac  12042  gcdsupex  12149  gcdsupcl  12150  prmind2  12313  eulerthlemrprm  12422  eulerthlema  12423  pcmpt  12537  prmunb  12556  nninfdclemp1  12692  structfn  12722  mulgnngsum  13333  mulg1  13335  mulgnndir  13357  lgsval2lem  15335  lgsdir  15360  lgsdilem2  15361  lgsdi  15362  lgsne0  15363  2lgslem1a  15413  2sqlem10  15450  cvgcmp2nlemabs  15763  trilpolemisumle  15769  nconstwlpolem0  15794