Theorem elnnuz 9523

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	|- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9522	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	eleq2i 2237	1 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 2141   ` cfv 5198   1c1 7775   NNcn 8878   ZZ>=cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9531  uznnssnn  9536  elnndc  9571  uzsubsubfz1  10004  elfz1end  10011  fznn  10045  fzo1fzo0n0  10139  elfzonlteqm1  10166  rebtwn2z  10211  nnsinds  10399  exp3vallem  10477  exp1  10482  expp1  10483  facp1  10664  faclbnd  10675  bcn1  10692  resqrexlemf1  10972  resqrexlemfp1  10973  summodclem3  11343  summodclem2a  11344  fsum3  11350  fsumcl2lem  11361  fsumadd  11369  sumsnf  11372  fsummulc2  11411  trireciplem  11463  geo2lim  11479  geoisum1  11482  geoisum1c  11483  cvgratnnlemnexp  11487  cvgratz  11495  prodmodclem3  11538  prodmodclem2a  11539  fprodseq  11546  fprodmul  11554  prodsnf  11555  fprodfac  11578  dvdsfac  11820  gcdsupex  11912  gcdsupcl  11913  prmind2  12074  eulerthlemrprm  12183  eulerthlema  12184  pcmpt  12295  prmunb  12314  nninfdclemp1  12405  structfn  12435  lgsval2lem  13705  lgsdir  13730  lgsdilem2  13731  lgsdi  13732  lgsne0  13733  2sqlem10  13755  cvgcmp2nlemabs  14064  trilpolemisumle  14070  nconstwlpolem0  14094