Theorem elnnuz 9562

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	|- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9561	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	eleq2i 2244	1 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2148   ` cfv 5216   1c1 7811   NNcn 8917   ZZ>=cuz 9526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-z 9252  df-uz 9527

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9570  uznnssnn  9575  elnndc  9610  uzsubsubfz1  10045  elfz1end  10052  fznn  10086  fzo1fzo0n0  10180  elfzonlteqm1  10207  rebtwn2z  10252  nnsinds  10440  exp3vallem  10518  exp1  10523  expp1  10524  facp1  10705  faclbnd  10716  bcn1  10733  resqrexlemf1  11012  resqrexlemfp1  11013  summodclem3  11383  summodclem2a  11384  fsum3  11390  fsumcl2lem  11401  fsumadd  11409  sumsnf  11412  fsummulc2  11451  trireciplem  11503  geo2lim  11519  geoisum1  11522  geoisum1c  11523  cvgratnnlemnexp  11527  cvgratz  11535  prodmodclem3  11578  prodmodclem2a  11579  fprodseq  11586  fprodmul  11594  prodsnf  11595  fprodfac  11618  dvdsfac  11860  gcdsupex  11952  gcdsupcl  11953  prmind2  12114  eulerthlemrprm  12223  eulerthlema  12224  pcmpt  12335  prmunb  12354  nninfdclemp1  12445  structfn  12475  mulg1  12944  mulgnndir  12965  lgsval2lem  14304  lgsdir  14329  lgsdilem2  14330  lgsdi  14331  lgsne0  14332  2sqlem10  14354  cvgcmp2nlemabs  14662  trilpolemisumle  14668  nconstwlpolem0  14692