Theorem elnnuz 9720

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	|- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9719	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	eleq2i 2274	1 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2178   ` cfv 5290   1c1 7961   NNcn 9071   ZZ>=cuz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-z 9408  df-uz 9684

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9728  uznnssnn  9733  elnndc  9768  uzsubsubfz1  10205  elfz1end  10212  fznn  10246  fzo1fzo0n0  10344  elfzonlteqm1  10376  rebtwn2z  10434  nnsinds  10627  exp3vallem  10722  exp1  10727  expp1  10728  facp1  10912  faclbnd  10923  bcn1  10940  resqrexlemf1  11434  resqrexlemfp1  11435  summodclem3  11806  summodclem2a  11807  fsum3  11813  fsumcl2lem  11824  fsumadd  11832  sumsnf  11835  fsummulc2  11874  trireciplem  11926  geo2lim  11942  geoisum1  11945  geoisum1c  11946  cvgratnnlemnexp  11950  cvgratz  11958  prodmodclem3  12001  prodmodclem2a  12002  fprodseq  12009  fprodmul  12017  prodsnf  12018  fprodfac  12041  dvdsfac  12286  gcdsupex  12393  gcdsupcl  12394  prmind2  12557  eulerthlemrprm  12666  eulerthlema  12667  pcmpt  12781  prmunb  12800  nninfdclemp1  12936  structfn  12966  mulgnngsum  13578  mulg1  13580  mulgnndir  13602  lgsval2lem  15602  lgsdir  15627  lgsdilem2  15628  lgsdi  15629  lgsne0  15630  2lgslem1a  15680  2sqlem10  15717  cvgcmp2nlemabs  16173  trilpolemisumle  16179  nconstwlpolem0  16204