Theorem elnnuz 9854

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	|- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9853	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	eleq2i 2298	1 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2202   ` cfv 5333   1c1 8093   NNcn 9202   ZZ>=cuz 9816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-z 9541  df-uz 9817

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9867  uznnssnn  9872  elnndc  9907  uzsubsubfz1  10345  elfz1end  10352  fznn  10386  fzo1fzo0n0  10485  elfzonlteqm1  10518  rebtwn2z  10577  nnsinds  10770  exp3vallem  10865  exp1  10870  expp1  10871  facp1  11055  faclbnd  11066  bcn1  11083  resqrexlemf1  11648  resqrexlemfp1  11649  summodclem3  12021  summodclem2a  12022  fsum3  12028  fsumcl2lem  12039  fsumadd  12047  sumsnf  12050  fsummulc2  12089  trireciplem  12141  geo2lim  12157  geoisum1  12160  geoisum1c  12161  cvgratnnlemnexp  12165  cvgratz  12173  prodmodclem3  12216  prodmodclem2a  12217  fprodseq  12224  fprodmul  12232  prodsnf  12233  fprodfac  12256  dvdsfac  12501  gcdsupex  12608  gcdsupcl  12609  prmind2  12772  eulerthlemrprm  12881  eulerthlema  12882  pcmpt  12996  prmunb  13015  nninfdclemp1  13151  structfn  13181  mulgnngsum  13794  mulg1  13796  mulgnndir  13818  lgsval2lem  15829  lgsdir  15854  lgsdilem2  15855  lgsdi  15856  lgsne0  15857  2lgslem1a  15907  2sqlem10  15944  clwwlkccatlem  16341  cvgcmp2nlemabs  16764  trilpolemisumle  16770  nconstwlpolem0  16796  gfsumval  16809