Theorem elnnuz 9469

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	|- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9468	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	eleq2i 2224	1 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 2128   ` cfv 5169   1c1 7727   NNcn 8827   ZZ>=cuz 9433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-ltadd 7842

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-z 9162  df-uz 9434

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9477  uznnssnn  9482  uzsubsubfz1  9943  elfz1end  9950  fznn  9984  fzo1fzo0n0  10075  elfzonlteqm1  10102  rebtwn2z  10147  nnsinds  10335  exp3vallem  10413  exp1  10418  expp1  10419  facp1  10597  faclbnd  10608  bcn1  10625  resqrexlemf1  10901  resqrexlemfp1  10902  summodclem3  11270  summodclem2a  11271  fsum3  11277  fsumcl2lem  11288  fsumadd  11296  sumsnf  11299  fsummulc2  11338  trireciplem  11390  geo2lim  11406  geoisum1  11409  geoisum1c  11410  cvgratnnlemnexp  11414  cvgratz  11422  prodmodclem3  11465  prodmodclem2a  11466  fprodseq  11473  fprodmul  11481  prodsnf  11482  fprodfac  11505  dvdsfac  11744  gcdsupex  11832  gcdsupcl  11833  prmind2  11988  eulerthlemrprm  12092  eulerthlema  12093  structfn  12180  cvgcmp2nlemabs  13574  trilpolemisumle  13580  nconstwlpolem0  13604