Theorem elnnuz 9909

Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnnuz	|- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Proof of Theorem elnnuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9908	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	eleq2i 2301	1 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2205   ` cfv 5357   1c1 8144   NNcn 9254   ZZ>=cuz 9871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-z 9595  df-uz 9872

This theorem is referenced by:  eluzge3nn  9922  uznnssnn  9927  elnndc  9962  uzsubsubfz1  10402  elfz1end  10410  fznn  10445  fzo1fzo0n0  10544  elfzonlteqm1  10577  rebtwn2z  10638  nnsinds  10831  exp3vallem  10926  exp1  10931  expp1  10932  facp1  11117  faclbnd  11128  bcn1  11145  resqrexlemf1  11718  resqrexlemfp1  11719  summodclem3  12091  summodclem2a  12092  fsum3  12098  fsumcl2lem  12109  fsumadd  12117  sumsnf  12120  fsummulc2  12159  trireciplem  12211  geo2lim  12227  geoisum1  12230  geoisum1c  12231  cvgratnnlemnexp  12235  cvgratz  12243  prodmodclem3  12286  prodmodclem2a  12287  fprodseq  12294  fprodmul  12302  prodsnf  12303  fprodfac  12326  dvdsfac  12571  gcdsupex  12678  gcdsupcl  12679  prmind2  12842  eulerthlemrprm  12951  eulerthlema  12952  pcmpt  13066  prmunb  13085  ballotfilemfp1  13175  ballotfilemfc0  13176  ballotfilemfcc  13177  ballotfilem4  13185  ballotfilemic  13194  ballotfilem1c  13195  nninfdclemp1  13285  structfn  13315  mulgnngsum  13880  mulg1  13882  mulgnndir  13904  gfsumval  14102  lgsval2lem  16009  lgsdir  16034  lgsdilem2  16035  lgsdi  16036  lgsne0  16037  2lgslem1a  16087  2sqlem10  16124  clwwlkccatlem  16521  cvgcmp2nlemabs  16942  trilpolemisumle  16948  nconstwlpolem0  16975