ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzsinds Unicode version

Theorem uzsinds 9813
Description: Strong (or "total") induction principle over an upper set of integers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uzsinds.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
uzsinds.2  |-  ( x  =  N  ->  ( ph 
<->  ch ) )
uzsinds.3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ps  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
uzsinds  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ch )
Distinct variable groups:    ch, x    x, M, y    x, N    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    N( y)

Proof of Theorem uzsinds
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzsinds.2 . 2  |-  ( x  =  N  ->  ( ph 
<->  ch ) )
2 oveq2 5642 . . . 4  |-  ( w  =  M  ->  ( M ... w )  =  ( M ... M
) )
32raleqdv 2568 . . 3  |-  ( w  =  M  ->  ( A. x  e.  ( M ... w ) ph  <->  A. x  e.  ( M ... M ) ph ) )
4 oveq2 5642 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  ( M ... w )  =  ( M ... k
) )
54raleqdv 2568 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  ( A. x  e.  ( M ... w ) ph  <->  A. x  e.  ( M ... k ) ph ) )
6 oveq2 5642 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( M ... w )  =  ( M ... (
k  +  1 ) ) )
76raleqdv 2568 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. x  e.  ( M ... w ) ph  <->  A. x  e.  ( M ... ( k  +  1 ) ) ph ) )
8 oveq2 5642 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  ( M ... w )  =  ( M ... N
) )
98raleqdv 2568 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  ( A. x  e.  ( M ... w ) ph  <->  A. x  e.  ( M ... N ) ph ) )
10 ral0 3379 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  ps
11 zre 8724 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
1211ltm1d 8365 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  <  M )
13 peano2zm 8758 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
14 fzn 9425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  1 )  < 
M  <->  ( M ... ( M  -  1
) )  =  (/) ) )
1513, 14mpdan 412 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  -  1 )  <  M  <->  ( M ... ( M  -  1 ) )  =  (/) ) )
1612, 15mpbid 145 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  - 
1 ) )  =  (/) )
1716raleqdv 2568 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( M  - 
1 ) ) ps  <->  A. y  e.  (/)  ps )
)
1810, 17mpbiri 166 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  A. y  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ps )
19 uzid 9002 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
20 uzsinds.3 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ps  ->  ph ) )
2120rgen 2428 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )
( A. y  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ps  ->  ph )
22 nfv 1466 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. y  e.  ( M ... ( M  - 
1 ) ) ps
23 nfsbc1v 2856 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [. M  /  x ]. ph
2422, 23nfim 1509 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A. y  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ps  ->  [. M  /  x ]. ph )
25 oveq1 5641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  (
x  -  1 )  =  ( M  - 
1 ) )
2625oveq2d 5650 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  ( M ... ( x  - 
1 ) )  =  ( M ... ( M  -  1 ) ) )
2726raleqdv 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( x  - 
1 ) ) ps  <->  A. y  e.  ( M ... ( M  - 
1 ) ) ps ) )
28 sbceq1a 2847 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  ( ph 
<-> 
[. M  /  x ]. ph ) )
2927, 28imbi12d 232 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (
( A. y  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ps  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ps  ->  [. M  /  x ]. ph ) ) )
3024, 29rspc 2716 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M ) ( A. y  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ps  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ps  ->  [. M  /  x ]. ph ) ) )
3119, 21, 30mpisyl 1380 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( M  - 
1 ) ) ps 
->  [. M  /  x ]. ph ) )
3218, 31mpd 13 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  [. M  /  x ]. ph )
33 ralsns 3476 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  { M } ph  <->  [. M  /  x ]. ph ) )
3432, 33mpbird 165 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  A. x  e.  { M } ph )
35 fzsn 9448 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
3635raleqdv 2568 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ( M ... M ) ph  <->  A. x  e.  { M } ph ) )
3734, 36mpbird 165 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  A. x  e.  ( M ... M
) ph )
38 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  A. x  e.  ( M ... k )
ph )
39 uzsinds.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4039cbvralv 2590 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( M ... k ) ph  <->  A. y  e.  ( M ... k
) ps )
4138, 40sylib 120 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  A. y  e.  ( M ... k ) ps )
42 eluzelz 8997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
4342adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  k  e.  ZZ )
4443zcnd 8839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  k  e.  CC )
45 1cnd 7483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  1  e.  CC )
4644, 45pncand 7773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
4746oveq2d 5650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( M ... (
( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( M ... k ) )
4847raleqdv 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( M ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ps  <->  A. y  e.  ( M ... k
) ps ) )
49 peano2uz 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5049adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
51 nfv 1466 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x A. y  e.  ( M ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ps
52 nfsbc1v 2856 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph
5351, 52nfim 1509 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( A. y  e.  ( M ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ps  ->  [. (
k  +  1 )  /  x ]. ph )
54 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
5554oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( M ... ( x  - 
1 ) )  =  ( M ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) )
5655raleqdv 2568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( x  - 
1 ) ) ps  <->  A. y  e.  ( M ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ps ) )
57 sbceq1a 2847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
5856, 57imbi12d 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A. y  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ps  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  ( M ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ps  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
5953, 58rspc 2716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M ) ( A. y  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ps  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ps  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
6050, 21, 59mpisyl 1380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( M ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ps  ->  [. (
k  +  1 )  /  x ]. ph )
)
6148, 60sylbird 168 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( M ... k
) ps  ->  [. (
k  +  1 )  /  x ]. ph )
)
6241, 61mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph )
6342peano2zd 8841 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
6463adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
65 ralsns 3476 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
6664, 65syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( A. x  e. 
{ ( k  +  1 ) } ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
6762, 66mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  A. x  e.  {
( k  +  1 ) } ph )
68 ralun 3180 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  ( M ... k )
ph  /\  A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph )  ->  A. x  e.  ( ( M ... k
)  u.  { ( k  +  1 ) } ) ph )
6938, 67, 68syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  A. x  e.  ( ( M ... k
)  u.  { ( k  +  1 ) } ) ph )
70 fzsuc 9450 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( M ... k
)  u.  { ( k  +  1 ) } ) )
7170raleqdv 2568 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. x  e.  ( M ... ( k  +  1 ) ) ph  <->  A. x  e.  ( ( M ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) ph ) )
7271adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  ( A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ph  <->  A. x  e.  ( ( M ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) ph ) )
7369, 72mpbird 165 . . . 4  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. x  e.  ( M ... k ) ph )  ->  A. x  e.  ( M ... ( k  +  1 ) )
ph )
7473ex 113 . . 3  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. x  e.  ( M ... k ) ph  ->  A. x  e.  ( M ... ( k  +  1 ) ) ph ) )
753, 5, 7, 9, 37, 74uzind4 9045 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  A. x  e.  ( M ... N
) ph )
76 eluzfz2 9415 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
771, 75, 76rspcdva 2727 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ch )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   [.wsbc 2838    u. cun 2995   (/)c0 3284   {csn 3441   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   1c1 7330    + caddc 7332    < clt 7501    - cmin 7632   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988   ...cfz 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394
This theorem is referenced by:  nnsinds  9814  nn0sinds  9815
  Copyright terms: Public domain W3C validator