ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzsinds Unicode version
Theorem uzsinds 10482
Description: Strong (or "total") induction principle over an upper set of integers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uzsinds.1 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
uzsinds.2 |- ( x = N -> ( ph <-> ch ) )
uzsinds.3 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) )
Assertion
Ref Expression
uzsinds |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ch )
Distinct variable groups:   ch, x   x, M, y   x, N   ph, y   ps, x
Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   N( y)
Proof of Theorem uzsinds
Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzsinds.2 . 2 |- ( x = N -> ( ph <-> ch ) )
2 oveq2 5908 . . . 4 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
32raleqdv 2692 . . 3 |- ( w = M -> ( A. x e. ( M ... w ) ph <-> A. x e. ( M ... M ) ph ) )
4 oveq2 5908 . . . 4 |- ( w = k -> ( M ... w ) = ( M ... k ) )
54raleqdv 2692 . . 3 |- ( w = k -> ( A. x e. ( M ... w ) ph <-> A. x e. ( M ... k ) ph ) )
6 oveq2 5908 . . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( k + 1 ) ) )
76raleqdv 2692 . . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A. x e. ( M ... w ) ph <-> A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph ) )
8 oveq2 5908 . . . 4 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
98raleqdv 2692 . . 3 |- ( w = N -> ( A. x e. ( M ... w ) ph <-> A. x e. ( M ... N ) ph ) )
10 ral0 3539 . . . . . . 7 |- A. y e. (/) ps
11 zre 9293 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
1211ltm1d 8925 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) < M )
13 peano2zm 9327 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
14 fzn 10079 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ ( M - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) < M <-> ( M ... ( M - 1 ) ) = (/) ) )
1513, 14mpdan 421 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( M - 1 ) < M <-> ( M ... ( M - 1 ) ) = (/) ) )
1612, 15mpbid 147 . . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M - 1 ) ) = (/) )
1716raleqdv 2692 . . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps <-> A. y e. (/) ps ) )
1810, 17mpbiri 168 . . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps )
19 uzid 9578 . . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
20 uzsinds.3 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) )
2120rgen 2543 . . . . . . 7 |- A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph )
22 nfv 1539 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps
23 nfsbc1v 2996 . . . . . . . . 9 |- F/ x [. M / x ]. ph
2422, 23nfim 1583 . . . . . . . 8 |- F/ x ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps -> [. M / x ]. ph )
25 oveq1 5907 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = M -> ( x - 1 ) = ( M - 1 ) )
2625oveq2d 5916 . . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( M ... ( x - 1 ) ) = ( M ... ( M - 1 ) ) )
2726raleqdv 2692 . . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps <-> A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps ) )
28 sbceq1a 2987 . . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( ph <-> [. M / x ]. ph ) )
2927, 28imbi12d 234 . . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) <-> ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps -> [. M / x ]. ph ) ) )
3024, 29rspc 2850 . . . . . . 7 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) -> ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps -> [. M / x ]. ph ) ) )
3119, 21, 30mpisyl 1457 . . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps -> [. M / x ]. ph ) )
3218, 31mpd 13 . . . . 5 |- ( M e. ZZ -> [. M / x ]. ph )
33 ralsns 3648 . . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( A. x e. { M } ph <-> [. M / x ]. ph ) )
3432, 33mpbird 167 . . . 4 |- ( M e. ZZ -> A. x e. { M } ph )
35 fzsn 10103 . . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
3635raleqdv 2692 . . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( A. x e. ( M ... M ) ph <-> A. x e. { M } ph ) )
3734, 36mpbird 167 . . 3 |- ( M e. ZZ -> A. x e. ( M ... M ) ph )
38 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. x e. ( M ... k ) ph )
39 uzsinds.1 . . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
4039cbvralv 2718 . . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( M ... k ) ph <-> A. y e. ( M ... k ) ps )
4138, 40sylib 122 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. y e. ( M ... k ) ps )
42 eluzelz 9573 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
4342adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> k e. ZZ )
4443zcnd 9412 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> k e. CC )
45 1cnd 8009 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> 1 e. CC )
4644, 45pncand 8305 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
4746oveq2d 5916 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( M ... k ) )
4847raleqdv 2692 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps <-> A. y e. ( M ... k ) ps ) )
49 peano2uz 9620 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5049adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
51 nfv 1539 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ x A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps
52 nfsbc1v 2996 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ x [. ( k + 1 ) / x ]. ph
5351, 52nfim 1583 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
54 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( x - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
5554oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( M ... ( x - 1 ) ) = ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
5655raleqdv 2692 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps <-> A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps ) )
57 sbceq1a 2987 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
5856, 57imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) <-> ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) ) )
5953, 58rspc 2850 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) -> ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) ) )
6050, 21, 59mpisyl 1457 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
6148, 60sylbird 170 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( M ... k ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
6241, 61mpd 13 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
6342peano2zd 9414 . . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
6463adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
65 ralsns 3648 . . . . . . . 8 |- ( ( k + 1 ) e. ZZ -> ( A. x e. { ( k + 1 ) } ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
6664, 65syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. x e. { ( k + 1 ) } ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
6762, 66mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. x e. { ( k + 1 ) } ph )
68 ralun 3332 . . . . . 6 |- ( ( A. x e. ( M ... k ) ph /\ A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) -> A. x e. ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph )
6938, 67, 68syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. x e. ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph )
70 fzsuc 10106 . . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( k + 1 ) ) = ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) )
7170raleqdv 2692 . . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph <-> A. x e. ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph ) )
7271adantr 276 . . . . 5 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph <-> A. x e. ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph ) )
7369, 72mpbird 167 . . . 4 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph )
7473ex 115 . . 3 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( M ... k ) ph -> A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph ) )
753, 5, 7, 9, 37, 74uzind4 9625 . 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> A. x e. ( M ... N ) ph )
76 eluzfz2 10069 . 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
771, 75, 76rspcdva 2861 1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ch )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   [.wsbc 2977   u. cun 3142   (/)c0 3437   {csn 3610   class class class wbr 4021   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   1c1 7847   + caddc 7849   < clt 8028   - cmin 8164   ZZcz 9289   ZZ>=cuz 9564   ...cfz 10045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8030  df-mnf 8031  df-xr 8032  df-ltxr 8033  df-le 8034  df-sub 8166  df-neg 8167  df-inn 8956  df-n0 9213  df-z 9290  df-uz 9565  df-fz 10046
This theorem is referenced by:  nnsinds  10483  nn0sinds  10484
  Copyright terms: Public domain W3C validator