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Theorem uzsinds 10518
Description: Strong (or "total") induction principle over an upper set of integers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uzsinds.1 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
uzsinds.2 |- ( x = N -> ( ph <-> ch ) )
uzsinds.3 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) )
Assertion
Ref Expression
uzsinds |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ch )
Distinct variable groups:   ch, x   x, M, y   x, N   ph, y   ps, x
Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   N( y)
Proof of Theorem uzsinds
Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzsinds.2 . 2 |- ( x = N -> ( ph <-> ch ) )
2 oveq2 5927 . . . 4 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
32raleqdv 2696 . . 3 |- ( w = M -> ( A. x e. ( M ... w ) ph <-> A. x e. ( M ... M ) ph ) )
4 oveq2 5927 . . . 4 |- ( w = k -> ( M ... w ) = ( M ... k ) )
54raleqdv 2696 . . 3 |- ( w = k -> ( A. x e. ( M ... w ) ph <-> A. x e. ( M ... k ) ph ) )
6 oveq2 5927 . . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( k + 1 ) ) )
76raleqdv 2696 . . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A. x e. ( M ... w ) ph <-> A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph ) )
8 oveq2 5927 . . . 4 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
98raleqdv 2696 . . 3 |- ( w = N -> ( A. x e. ( M ... w ) ph <-> A. x e. ( M ... N ) ph ) )
10 ral0 3549 . . . . . . 7 |- A. y e. (/) ps
11 zre 9324 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
1211ltm1d 8953 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) < M )
13 peano2zm 9358 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
14 fzn 10111 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ ( M - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) < M <-> ( M ... ( M - 1 ) ) = (/) ) )
1513, 14mpdan 421 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( M - 1 ) < M <-> ( M ... ( M - 1 ) ) = (/) ) )
1612, 15mpbid 147 . . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M - 1 ) ) = (/) )
1716raleqdv 2696 . . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps <-> A. y e. (/) ps ) )
1810, 17mpbiri 168 . . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps )
19 uzid 9609 . . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
20 uzsinds.3 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) )
2120rgen 2547 . . . . . . 7 |- A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph )
22 nfv 1539 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps
23 nfsbc1v 3005 . . . . . . . . 9 |- F/ x [. M / x ]. ph
2422, 23nfim 1583 . . . . . . . 8 |- F/ x ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps -> [. M / x ]. ph )
25 oveq1 5926 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = M -> ( x - 1 ) = ( M - 1 ) )
2625oveq2d 5935 . . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( M ... ( x - 1 ) ) = ( M ... ( M - 1 ) ) )
2726raleqdv 2696 . . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps <-> A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps ) )
28 sbceq1a 2996 . . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( ph <-> [. M / x ]. ph ) )
2927, 28imbi12d 234 . . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) <-> ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps -> [. M / x ]. ph ) ) )
3024, 29rspc 2859 . . . . . . 7 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) -> ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps -> [. M / x ]. ph ) ) )
3119, 21, 30mpisyl 1457 . . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps -> [. M / x ]. ph ) )
3218, 31mpd 13 . . . . 5 |- ( M e. ZZ -> [. M / x ]. ph )
33 ralsns 3657 . . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( A. x e. { M } ph <-> [. M / x ]. ph ) )
3432, 33mpbird 167 . . . 4 |- ( M e. ZZ -> A. x e. { M } ph )
35 fzsn 10135 . . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
3635raleqdv 2696 . . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( A. x e. ( M ... M ) ph <-> A. x e. { M } ph ) )
3734, 36mpbird 167 . . 3 |- ( M e. ZZ -> A. x e. ( M ... M ) ph )
38 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. x e. ( M ... k ) ph )
39 uzsinds.1 . . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
4039cbvralv 2726 . . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( M ... k ) ph <-> A. y e. ( M ... k ) ps )
4138, 40sylib 122 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. y e. ( M ... k ) ps )
42 eluzelz 9604 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
4342adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> k e. ZZ )
4443zcnd 9443 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> k e. CC )
45 1cnd 8037 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> 1 e. CC )
4644, 45pncand 8333 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
4746oveq2d 5935 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( M ... k ) )
4847raleqdv 2696 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps <-> A. y e. ( M ... k ) ps ) )
49 peano2uz 9651 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5049adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
51 nfv 1539 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ x A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps
52 nfsbc1v 3005 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ x [. ( k + 1 ) / x ]. ph
5351, 52nfim 1583 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
54 oveq1 5926 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( x - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
5554oveq2d 5935 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( M ... ( x - 1 ) ) = ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
5655raleqdv 2696 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps <-> A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps ) )
57 sbceq1a 2996 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
5856, 57imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) <-> ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) ) )
5953, 58rspc 2859 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) -> ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) ) )
6050, 21, 59mpisyl 1457 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
6148, 60sylbird 170 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( M ... k ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
6241, 61mpd 13 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
6342peano2zd 9445 . . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
6463adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
65 ralsns 3657 . . . . . . . 8 |- ( ( k + 1 ) e. ZZ -> ( A. x e. { ( k + 1 ) } ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
6664, 65syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. x e. { ( k + 1 ) } ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
6762, 66mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. x e. { ( k + 1 ) } ph )
68 ralun 3342 . . . . . 6 |- ( ( A. x e. ( M ... k ) ph /\ A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) -> A. x e. ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph )
6938, 67, 68syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. x e. ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph )
70 fzsuc 10138 . . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( k + 1 ) ) = ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) )
7170raleqdv 2696 . . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph <-> A. x e. ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph ) )
7271adantr 276 . . . . 5 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph <-> A. x e. ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph ) )
7369, 72mpbird 167 . . . 4 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph )
7473ex 115 . . 3 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( M ... k ) ph -> A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph ) )
753, 5, 7, 9, 37, 74uzind4 9656 . 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> A. x e. ( M ... N ) ph )
76 eluzfz2 10101 . 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
771, 75, 76rspcdva 2870 1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ch )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   [.wsbc 2986   u. cun 3152   (/)c0 3447   {csn 3619   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056   - cmin 8192   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   ...cfz 10077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078
This theorem is referenced by:  nnsinds  10519  nn0sinds  10520
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