Theorem uzsinds 10806

Description: Strong (or "total") induction principle over an upper set of integers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzsinds.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
uzsinds.2	|- ( x = N -> ( ph <-> ch ) )
uzsinds.3	|- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
uzsinds	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ch )

Distinct variable groups:   ch, x   x, M, y   x, N   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   N( y)

Proof of Theorem uzsinds

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzsinds.2	. 2 |- ( x = N -> ( ph <-> ch ) )
2		oveq2 6058	. . . 4 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
3	2	raleqdv 2747	. . 3 |- ( w = M -> ( A. x e. ( M ... w ) ph <-> A. x e. ( M ... M ) ph ) )
4		oveq2 6058	. . . 4 |- ( w = k -> ( M ... w ) = ( M ... k ) )
5	4	raleqdv 2747	. . 3 |- ( w = k -> ( A. x e. ( M ... w ) ph <-> A. x e. ( M ... k ) ph ) )
6		oveq2 6058	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( k + 1 ) ) )
7	6	raleqdv 2747	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A. x e. ( M ... w ) ph <-> A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph ) )
8		oveq2 6058	. . . 4 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
9	8	raleqdv 2747	. . 3 |- ( w = N -> ( A. x e. ( M ... w ) ph <-> A. x e. ( M ... N ) ph ) )
10		ral0 3611	. . . . . . 7 |- A. y e. (/) ps
11		zre 9581	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
12	11	ltm1d 9206	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) < M )
13		peano2zm 9615	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
14		fzn 10376	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ ( M - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) < M <-> ( M ... ( M - 1 ) ) = (/) ) )
15	13, 14	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( M - 1 ) < M <-> ( M ... ( M - 1 ) ) = (/) ) )
16	12, 15	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M - 1 ) ) = (/) )
17	16	raleqdv 2747	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps <-> A. y e. (/) ps ) )
18	10, 17	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps )
19		uzid 9868	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
20		uzsinds.3	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) )
21	20	rgen 2595	. . . . . . 7 |- A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph )
22		nfv 1577	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps
23		nfsbc1v 3061	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. M / x ]. ph
24	22, 23	nfim 1621	. . . . . . . 8 |- F/ x ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps -> [. M / x ]. ph )
25		oveq1 6057	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = M -> ( x - 1 ) = ( M - 1 ) )
26	25	oveq2d 6066	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( M ... ( x - 1 ) ) = ( M ... ( M - 1 ) ) )
27	26	raleqdv 2747	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps <-> A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps ) )
28		sbceq1a 3052	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( ph <-> [. M / x ]. ph ) )
29	27, 28	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) <-> ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps -> [. M / x ]. ph ) ) )
30	24, 29	rspc 2915	. . . . . . 7 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) -> ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps -> [. M / x ]. ph ) ) )
31	19, 21, 30	mpisyl 1492	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps -> [. M / x ]. ph ) )
32	18, 31	mpd 13	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> [. M / x ]. ph )
33		ralsns 3727	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( A. x e. { M } ph <-> [. M / x ]. ph ) )
34	32, 33	mpbird 167	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> A. x e. { M } ph )
35		fzsn 10400	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
36	35	raleqdv 2747	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( A. x e. ( M ... M ) ph <-> A. x e. { M } ph ) )
37	34, 36	mpbird 167	. . 3 |- ( M e. ZZ -> A. x e. ( M ... M ) ph )
38		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. x e. ( M ... k ) ph )
39		uzsinds.1	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
40	39	cbvralv 2778	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( M ... k ) ph <-> A. y e. ( M ... k ) ps )
41	38, 40	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. y e. ( M ... k ) ps )
42		eluzelz 9863	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
43	42	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> k e. ZZ )
44	43	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> k e. CC )
45		1cnd 8290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> 1 e. CC )
46	44, 45	pncand 8585	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
47	46	oveq2d 6066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( M ... k ) )
48	47	raleqdv 2747	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps <-> A. y e. ( M ... k ) ps ) )
49		peano2uz 9915	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
51		nfv 1577	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps
52		nfsbc1v 3061	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x [. ( k + 1 ) / x ]. ph
53	51, 52	nfim 1621	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
54		oveq1 6057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( x - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
55	54	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( M ... ( x - 1 ) ) = ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
56	55	raleqdv 2747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps <-> A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps ) )
57		sbceq1a 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
58	56, 57	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) <-> ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) ) )
59	53, 58	rspc 2915	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) -> ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) ) )
60	50, 21, 59	mpisyl 1492	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
61	48, 60	sylbird 170	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( M ... k ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
62	41, 61	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
63	42	peano2zd 9703	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
64	63	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
65		ralsns 3727	. . . . . . . 8 |- ( ( k + 1 ) e. ZZ -> ( A. x e. { ( k + 1 ) } ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. x e. { ( k + 1 ) } ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
67	62, 66	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. x e. { ( k + 1 ) } ph )
68		ralun 3401	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. ( M ... k ) ph /\ A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) -> A. x e. ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph )
69	38, 67, 68	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. x e. ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph )
70		fzsuc 10403	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( k + 1 ) ) = ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) )
71	70	raleqdv 2747	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph <-> A. x e. ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph ) )
72	71	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph <-> A. x e. ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph ) )
73	69, 72	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph )
74	73	ex 115	. . 3 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( M ... k ) ph -> A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph ) )
75	3, 5, 7, 9, 37, 74	uzind4 9920	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> A. x e. ( M ... N ) ph )
76		eluzfz2 10366	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
77	1, 75, 76	rspcdva 2926	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ch )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   [.wsbc 3042   u. cun 3209   (/)c0 3508   {csn 3689   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   - cmin 8444   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853   ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343

This theorem is referenced by:  nnsinds  10807  nn0sinds  10808