Theorem uzsinds 10515

Description: Strong (or "total") induction principle over an upper set of integers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzsinds.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
uzsinds.2	|- ( x = N -> ( ph <-> ch ) )
uzsinds.3	|- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
uzsinds	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ch )

Distinct variable groups:   ch, x   x, M, y   x, N   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   N( y)

Proof of Theorem uzsinds

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzsinds.2	. 2 |- ( x = N -> ( ph <-> ch ) )
2		oveq2 5926	. . . 4 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
3	2	raleqdv 2696	. . 3 |- ( w = M -> ( A. x e. ( M ... w ) ph <-> A. x e. ( M ... M ) ph ) )
4		oveq2 5926	. . . 4 |- ( w = k -> ( M ... w ) = ( M ... k ) )
5	4	raleqdv 2696	. . 3 |- ( w = k -> ( A. x e. ( M ... w ) ph <-> A. x e. ( M ... k ) ph ) )
6		oveq2 5926	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( k + 1 ) ) )
7	6	raleqdv 2696	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A. x e. ( M ... w ) ph <-> A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph ) )
8		oveq2 5926	. . . 4 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
9	8	raleqdv 2696	. . 3 |- ( w = N -> ( A. x e. ( M ... w ) ph <-> A. x e. ( M ... N ) ph ) )
10		ral0 3548	. . . . . . 7 |- A. y e. (/) ps
11		zre 9321	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
12	11	ltm1d 8951	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) < M )
13		peano2zm 9355	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
14		fzn 10108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ ( M - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) < M <-> ( M ... ( M - 1 ) ) = (/) ) )
15	13, 14	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( M - 1 ) < M <-> ( M ... ( M - 1 ) ) = (/) ) )
16	12, 15	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( M ... ( M - 1 ) ) = (/) )
17	16	raleqdv 2696	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps <-> A. y e. (/) ps ) )
18	10, 17	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps )
19		uzid 9606	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
20		uzsinds.3	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) )
21	20	rgen 2547	. . . . . . 7 |- A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph )
22		nfv 1539	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps
23		nfsbc1v 3004	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. M / x ]. ph
24	22, 23	nfim 1583	. . . . . . . 8 |- F/ x ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps -> [. M / x ]. ph )
25		oveq1 5925	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = M -> ( x - 1 ) = ( M - 1 ) )
26	25	oveq2d 5934	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( M ... ( x - 1 ) ) = ( M ... ( M - 1 ) ) )
27	26	raleqdv 2696	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps <-> A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps ) )
28		sbceq1a 2995	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( ph <-> [. M / x ]. ph ) )
29	27, 28	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) <-> ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps -> [. M / x ]. ph ) ) )
30	24, 29	rspc 2858	. . . . . . 7 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) -> ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps -> [. M / x ]. ph ) ) )
31	19, 21, 30	mpisyl 1457	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( A. y e. ( M ... ( M - 1 ) ) ps -> [. M / x ]. ph ) )
32	18, 31	mpd 13	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> [. M / x ]. ph )
33		ralsns 3656	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( A. x e. { M } ph <-> [. M / x ]. ph ) )
34	32, 33	mpbird 167	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> A. x e. { M } ph )
35		fzsn 10132	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
36	35	raleqdv 2696	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( A. x e. ( M ... M ) ph <-> A. x e. { M } ph ) )
37	34, 36	mpbird 167	. . 3 |- ( M e. ZZ -> A. x e. ( M ... M ) ph )
38		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. x e. ( M ... k ) ph )
39		uzsinds.1	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
40	39	cbvralv 2726	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( M ... k ) ph <-> A. y e. ( M ... k ) ps )
41	38, 40	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. y e. ( M ... k ) ps )
42		eluzelz 9601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
43	42	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> k e. ZZ )
44	43	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> k e. CC )
45		1cnd 8035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> 1 e. CC )
46	44, 45	pncand 8331	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
47	46	oveq2d 5934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( M ... k ) )
48	47	raleqdv 2696	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps <-> A. y e. ( M ... k ) ps ) )
49		peano2uz 9648	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
51		nfv 1539	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps
52		nfsbc1v 3004	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x [. ( k + 1 ) / x ]. ph
53	51, 52	nfim 1583	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
54		oveq1 5925	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( x - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
55	54	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( M ... ( x - 1 ) ) = ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
56	55	raleqdv 2696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps <-> A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps ) )
57		sbceq1a 2995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
58	56, 57	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) <-> ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) ) )
59	53, 58	rspc 2858	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( A. y e. ( M ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) -> ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) ) )
60	50, 21, 59	mpisyl 1457	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( M ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
61	48, 60	sylbird 170	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( M ... k ) ps -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
62	41, 61	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
63	42	peano2zd 9442	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
64	63	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
65		ralsns 3656	. . . . . . . 8 |- ( ( k + 1 ) e. ZZ -> ( A. x e. { ( k + 1 ) } ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. x e. { ( k + 1 ) } ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
67	62, 66	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. x e. { ( k + 1 ) } ph )
68		ralun 3341	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. ( M ... k ) ph /\ A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) -> A. x e. ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph )
69	38, 67, 68	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. x e. ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph )
70		fzsuc 10135	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( k + 1 ) ) = ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) )
71	70	raleqdv 2696	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph <-> A. x e. ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph ) )
72	71	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> ( A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph <-> A. x e. ( ( M ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph ) )
73	69, 72	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. x e. ( M ... k ) ph ) -> A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph )
74	73	ex 115	. . 3 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( M ... k ) ph -> A. x e. ( M ... ( k + 1 ) ) ph ) )
75	3, 5, 7, 9, 37, 74	uzind4 9653	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> A. x e. ( M ... N ) ph )
76		eluzfz2 10098	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
77	1, 75, 76	rspcdva 2869	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ch )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   [.wsbc 2985   u. cun 3151   (/)c0 3446   {csn 3618   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   - cmin 8190   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075

This theorem is referenced by:  nnsinds  10516  nn0sinds  10517