Theorem nnsinds 10516

Description: Strong (or "total") induction principle over the naturals. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnsinds.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nnsinds.2	⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nnsinds.3	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
nnsinds	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝜒,𝑥   𝑥,𝑁   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem nnsinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 9629	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
2		nnsinds.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		nnsinds.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4		elnnuz 9629	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnsinds.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))
6	4, 5	sylbir 135	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘1) → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))
7	2, 3, 6	uzsinds 10515	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝜒)
8	1, 7	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  1c1 7873   − cmin 8190  ℕcn 8982  ℤ_≥cuz 9592  ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075

This theorem is referenced by: (None)