ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnsinds GIF version

Theorem nnsinds 10240
Description: Strong (or "total") induction principle over the naturals. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nnsinds.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
nnsinds.2 (𝑥 = 𝑁 → (𝜑𝜒))
nnsinds.3 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑥 − 1))𝜓𝜑))
Assertion
Ref Expression
nnsinds (𝑁 ∈ ℕ → 𝜒)
Distinct variable groups:   𝜒,𝑥   𝑥,𝑁   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem nnsinds
StepHypRef Expression
1 elnnuz 9381 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
2 nnsinds.1 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
3 nnsinds.2 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (𝜑𝜒))
4 elnnuz 9381 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
5 nnsinds.3 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑥 − 1))𝜓𝜑))
64, 5sylbir 134 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ‘1) → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑥 − 1))𝜓𝜑))
72, 3, 6uzsinds 10239 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝜒)
81, 7sylbi 120 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝜒)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  cfv 5126  (class class class)co 5777  1c1 7640  cmin 7952  cn 8739  cuz 9345  ...cfz 9814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-addcom 7739  ax-addass 7741  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-inn 8740  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-fz 9815
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator