Theorem nnsinds 9849

Description: Strong (or "total") induction principle over the naturals. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnsinds.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nnsinds.2	⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nnsinds.3	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
nnsinds	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝜒,𝑥   𝑥,𝑁   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem nnsinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 9055	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
2		nnsinds.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		nnsinds.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4		elnnuz 9055	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1))
5		nnsinds.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))
6	4, 5	sylbir 133	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘1) → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))
7	2, 3, 6	uzsinds 9848	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝜒)
8	1, 7	sylbi 119	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   = wceq 1289   ∈ wcel 1438  ∀wral 2359  ‘cfv 5015  (class class class)co 5652  1c1 7351   − cmin 7653  ℕcn 8422  ℤ_≥cuz 9019  ...cfz 9424

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425

This theorem is referenced by: (None)