Theorem nn0sinds 10707

Description: Strong (or "total") induction principle over the nonnegative integers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0sinds.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
nn0sinds.2	|- ( x = N -> ( ph <-> ch ) )
nn0sinds.3	|- ( x e. NN0 -> ( A. y e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
nn0sinds	|- ( N e. NN0 -> ch )

Distinct variable groups:   ch, x   x, N   ph, y   ps, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   N( y)

Proof of Theorem nn0sinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0uz 9793	. 2 |- ( N e. NN0 <-> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
2		nn0sinds.1	. . 3 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
3		nn0sinds.2	. . 3 |- ( x = N -> ( ph <-> ch ) )
4		elnn0uz 9793	. . . 4 |- ( x e. NN0 <-> x e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5		nn0sinds.3	. . . 4 |- ( x e. NN0 -> ( A. y e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) )
6	4, 5	sylbir 135	. . 3 |- ( x e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( A. y e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) )
7	2, 3, 6	uzsinds 10705	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ch )
8	1, 7	sylbi 121	1 |- ( N e. NN0 -> ch )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   0cc0 8031   1c1 8032   - cmin 8349   NN0cn0 9401   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243

This theorem is referenced by:  bezoutlemmain  12568