Theorem nn0sinds 9911

Description: Strong (or "total") induction principle over the nonnegative integers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0sinds.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
nn0sinds.2	|- ( x = N -> ( ph <-> ch ) )
nn0sinds.3	|- ( x e. NN0 -> ( A. y e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
nn0sinds	|- ( N e. NN0 -> ch )

Distinct variable groups:   ch, x   x, N   ph, y   ps, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   N( y)

Proof of Theorem nn0sinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0uz 9117	. 2 |- ( N e. NN0 <-> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
2		nn0sinds.1	. . 3 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
3		nn0sinds.2	. . 3 |- ( x = N -> ( ph <-> ch ) )
4		elnn0uz 9117	. . . 4 |- ( x e. NN0 <-> x e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5		nn0sinds.3	. . . 4 |- ( x e. NN0 -> ( A. y e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) )
6	4, 5	sylbir 134	. . 3 |- ( x e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( A. y e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ps -> ph ) )
7	2, 3, 6	uzsinds 9909	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ch )
8	1, 7	sylbi 120	1 |- ( N e. NN0 -> ch )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1290   e. wcel 1439   A.wral 2360   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   0cc0 7411   1c1 7412   - cmin 7714   NN0cn0 8734   ZZ>=cuz 9080   ...cfz 9485

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-fz 9486

This theorem is referenced by:  bezoutlemmain  11326