Theorem omsinds 4495

Description: Strong (or "total") induction principle over om. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
omsinds.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
omsinds.2	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
omsinds.3	|- ( x e. om -> ( A. y e. x ps -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
omsinds	|- ( A e. om -> ch )

Distinct variable groups:   x, A   ch, x   ph, y   ps, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   A( y)

Proof of Theorem omsinds

Dummy variables w k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsinds.2	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
2		suceq 4284	. . . 4 |- ( w = (/) -> suc w = suc (/) )
3	2	raleqdv 2606	. . 3 |- ( w = (/) -> ( A. x e. suc w ph <-> A. x e. suc (/) ph ) )
4		suceq 4284	. . . 4 |- ( w = k -> suc w = suc k )
5	4	raleqdv 2606	. . 3 |- ( w = k -> ( A. x e. suc w ph <-> A. x e. suc k ph ) )
6		suceq 4284	. . . 4 |- ( w = suc k -> suc w = suc suc k )
7	6	raleqdv 2606	. . 3 |- ( w = suc k -> ( A. x e. suc w ph <-> A. x e. suc suc k ph ) )
8		suceq 4284	. . . 4 |- ( w = A -> suc w = suc A )
9	8	raleqdv 2606	. . 3 |- ( w = A -> ( A. x e. suc w ph <-> A. x e. suc A ph ) )
10		ral0 3430	. . . . . 6 |- A. y e. (/) ps
11		omsinds.3	. . . . . . . 8 |- ( x e. om -> ( A. y e. x ps -> ph ) )
12	11	rgen 2459	. . . . . . 7 |- A. x e. om ( A. y e. x ps -> ph )
13		peano1 4468	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
14	10	nfth 1423	. . . . . . . . . 10 |- F/ x A. y e. (/) ps
15		nfsbc1v 2896	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [. (/) / x ]. ph
16	14, 15	nfim 1534	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( A. y e. (/) ps -> [. (/) / x ]. ph )
17		raleq 2600	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( A. y e. x ps <-> A. y e. (/) ps ) )
18		sbceq1a 2887	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ph <-> [. (/) / x ]. ph ) )
19	17, 18	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( ( A. y e. x ps -> ph ) <-> ( A. y e. (/) ps -> [. (/) / x ]. ph ) ) )
20	16, 19	rspc 2754	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. om -> ( A. x e. om ( A. y e. x ps -> ph ) -> ( A. y e. (/) ps -> [. (/) / x ]. ph ) ) )
21	13, 20	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( A. x e. om ( A. y e. x ps -> ph ) -> ( A. y e. (/) ps -> [. (/) / x ]. ph ) )
22	12, 21	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( A. y e. (/) ps -> [. (/) / x ]. ph )
23	10, 22	ax-mp 7	. . . . 5 |- [. (/) / x ]. ph
24		ralsns 3528	. . . . . 6 |- ( (/) e. om -> ( A. x e. { (/) } ph <-> [. (/) / x ]. ph ) )
25	13, 24	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( A. x e. { (/) } ph <-> [. (/) / x ]. ph )
26	23, 25	mpbir 145	. . . 4 |- A. x e. { (/) } ph
27		suc0 4293	. . . . 5 |- suc (/) = { (/) }
28	27	raleqi 2604	. . . 4 |- ( A. x e. suc (/) ph <-> A. x e. { (/) } ph )
29	26, 28	mpbir 145	. . 3 |- A. x e. suc (/) ph
30		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> A. x e. suc k ph )
31		peano2 4469	. . . . . . . . 9 |- ( k e. om -> suc k e. om )
32	31	adantr 272	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> suc k e. om )
33		omsinds.1	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
34	33	cbvralv 2628	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. suc k ph <-> A. y e. suc k ps )
35	30, 34	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> A. y e. suc k ps )
36		nfv 1491	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x A. y e. suc k ps
37		nfsbc1v 2896	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [. suc k / x ]. ph
38	36, 37	nfim 1534	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( A. y e. suc k ps -> [. suc k / x ]. ph )
39		raleq 2600	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc k -> ( A. y e. x ps <-> A. y e. suc k ps ) )
40		sbceq1a 2887	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc k -> ( ph <-> [. suc k / x ]. ph ) )
41	39, 40	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc k -> ( ( A. y e. x ps -> ph ) <-> ( A. y e. suc k ps -> [. suc k / x ]. ph ) ) )
42	38, 41	rspc 2754	. . . . . . . . 9 |- ( suc k e. om -> ( A. x e. om ( A. y e. x ps -> ph ) -> ( A. y e. suc k ps -> [. suc k / x ]. ph ) ) )
43	12, 42	mpi 15	. . . . . . . 8 |- ( suc k e. om -> ( A. y e. suc k ps -> [. suc k / x ]. ph ) )
44	32, 35, 43	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> [. suc k / x ]. ph )
45		ralsns 3528	. . . . . . . 8 |- ( suc k e. om -> ( A. x e. { suc k } ph <-> [. suc k / x ]. ph ) )
46	32, 45	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> ( A. x e. { suc k } ph <-> [. suc k / x ]. ph ) )
47	44, 46	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> A. x e. { suc k } ph )
48		ralun 3224	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. suc k ph /\ A. x e. { suc k } ph ) -> A. x e. ( suc k u. { suc k } ) ph )
49	30, 47, 48	syl2anc 406	. . . . 5 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> A. x e. ( suc k u. { suc k } ) ph )
50		df-suc 4253	. . . . . . 7 |- suc suc k = ( suc k u. { suc k } )
51	50	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> suc suc k = ( suc k u. { suc k } ) )
52	51	raleqdv 2606	. . . . 5 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> ( A. x e. suc suc k ph <-> A. x e. ( suc k u. { suc k } ) ph ) )
53	49, 52	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> A. x e. suc suc k ph )
54	53	ex 114	. . 3 |- ( k e. om -> ( A. x e. suc k ph -> A. x e. suc suc k ph ) )
55	3, 5, 7, 9, 29, 54	finds 4474	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. suc A ph )
56		sucidg 4298	. 2 |- ( A e. om -> A e. suc A )
57	1, 55, 56	rspcdva 2765	1 |- ( A e. om -> ch )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1314   e. wcel 1463   A.wral 2390   [.wsbc 2878   u. cun 3035   (/)c0 3329   {csn 3493   suc csuc 4247   omcom 4464

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-iinf 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-uni 3703  df-int 3738  df-suc 4253  df-iom 4465

This theorem is referenced by:  nninfalllem1  12895  nninfsellemqall  12903