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Theorem omsinds 4606
Description: Strong (or "total") induction principle over  om. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
omsinds.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
omsinds.2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ch ) )
omsinds.3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
omsinds  |-  ( A  e.  om  ->  ch )
Distinct variable groups:    x, A    ch, x    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    A( y)

Proof of Theorem omsinds
Dummy variables  w  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsinds.2 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ch ) )
2 suceq 4387 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  suc  w  =  suc  (/) )
32raleqdv 2671 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x  e.  suc  w ph  <->  A. x  e.  suc  (/) ph )
)
4 suceq 4387 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  suc  w  =  suc  k )
54raleqdv 2671 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  ( A. x  e.  suc  w ph  <->  A. x  e.  suc  k ph ) )
6 suceq 4387 . . . 4  |-  ( w  =  suc  k  ->  suc  w  =  suc  suc  k )
76raleqdv 2671 . . 3  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( A. x  e. 
suc  w ph  <->  A. x  e.  suc  suc  k ph ) )
8 suceq 4387 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  suc  w  =  suc  A )
98raleqdv 2671 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  ( A. x  e.  suc  w ph  <->  A. x  e.  suc  A
ph ) )
10 ral0 3516 . . . . . 6  |-  A. y  e.  (/)  ps
11 omsinds.3 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph ) )
1211rgen 2523 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  om  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph )
13 peano1 4578 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  om
1410nfth 1457 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. y  e.  (/)  ps
15 nfsbc1v 2973 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x [. (/)  /  x ]. ph
1614, 15nfim 1565 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( A. y  e.  (/)  ps  ->  [. (/)  /  x ]. ph )
17 raleq 2665 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. y  e.  x  ps  <->  A. y  e.  (/)  ps )
)
18 sbceq1a 2964 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  [. (/)  /  x ]. ph )
)
1917, 18imbi12d 233 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  x  ps  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  (/)  ps  ->  [. (/)  /  x ]. ph )
) )
2016, 19rspc 2828 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( A. x  e.  om  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  (/)  ps  ->  [. (/)  /  x ]. ph )
) )
2113, 20ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  om  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  (/)  ps  ->  [. (/)  /  x ]. ph )
)
2212, 21ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  (/)  ps  ->  [. (/)  /  x ]. ph )
2310, 22ax-mp 5 . . . . 5  |-  [. (/)  /  x ]. ph
24 ralsns 3621 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( A. x  e.  { (/) } ph  <->  [. (/)  /  x ]. ph )
)
2513, 24ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  { (/) } ph  <->  [. (/)  /  x ]. ph )
2623, 25mpbir 145 . . . 4  |-  A. x  e.  { (/) } ph
27 suc0 4396 . . . . 5  |-  suc  (/)  =  { (/)
}
2827raleqi 2669 . . . 4  |-  ( A. x  e.  suc  (/) ph  <->  A. x  e.  { (/) } ph )
2926, 28mpbir 145 . . 3  |-  A. x  e.  suc  (/) ph
30 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  A. x  e.  suc  k ph )
31 peano2 4579 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  e.  om )
3231adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  suc  k  e.  om )
33 omsinds.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
3433cbvralv 2696 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  suc  k ph  <->  A. y  e.  suc  k ps )
3530, 34sylib 121 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  A. y  e.  suc  k ps )
36 nfv 1521 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. y  e.  suc  k ps
37 nfsbc1v 2973 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [. suc  k  /  x ]. ph
3836, 37nfim 1565 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( A. y  e. 
suc  k ps  ->  [.
suc  k  /  x ]. ph )
39 raleq 2665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  k  -> 
( A. y  e.  x  ps  <->  A. y  e.  suc  k ps )
)
40 sbceq1a 2964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  k  -> 
( ph  <->  [. suc  k  /  x ]. ph ) )
4139, 40imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  k  -> 
( ( A. y  e.  x  ps  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  suc  k ps  ->  [.
suc  k  /  x ]. ph ) ) )
4238, 41rspc 2828 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  k  e.  om  ->  ( A. x  e.  om  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  suc  k ps  ->  [. suc  k  /  x ]. ph )
) )
4312, 42mpi 15 . . . . . . . 8  |-  ( suc  k  e.  om  ->  ( A. y  e.  suc  k ps  ->  [. suc  k  /  x ]. ph )
)
4432, 35, 43sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  [. suc  k  /  x ]. ph )
45 ralsns 3621 . . . . . . . 8  |-  ( suc  k  e.  om  ->  ( A. x  e.  { suc  k } ph  <->  [. suc  k  /  x ]. ph )
)
4632, 45syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  ( A. x  e.  { suc  k } ph  <->  [. suc  k  /  x ]. ph )
)
4744, 46mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  A. x  e.  { suc  k }
ph )
48 ralun 3309 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  suc  k ph  /\  A. x  e.  { suc  k }
ph )  ->  A. x  e.  ( suc  k  u. 
{ suc  k }
) ph )
4930, 47, 48syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  A. x  e.  ( suc  k  u. 
{ suc  k }
) ph )
50 df-suc 4356 . . . . . . 7  |-  suc  suc  k  =  ( suc  k  u.  { suc  k } )
5150a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  suc  suc  k  =  ( suc  k  u.  { suc  k } ) )
5251raleqdv 2671 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  ( A. x  e.  suc  suc  k ph 
<-> 
A. x  e.  ( suc  k  u.  { suc  k } ) ph ) )
5349, 52mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  A. x  e.  suc  suc  k ph )
5453ex 114 . . 3  |-  ( k  e.  om  ->  ( A. x  e.  suc  k ph  ->  A. x  e.  suc  suc  k ph ) )
553, 5, 7, 9, 29, 54finds 4584 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  A. x  e.  suc  A ph )
56 sucidg 4401 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  suc  A )
571, 55, 56rspcdva 2839 1  |-  ( A  e.  om  ->  ch )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   [.wsbc 2955    u. cun 3119   (/)c0 3414   {csn 3583   suc csuc 4350   omcom 4574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-suc 4356  df-iom 4575
This theorem is referenced by:  nninfalllem1  14041  nninfsellemqall  14048
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