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Theorem omsinds 4425
Description: Strong (or "total") induction principle over  om. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
omsinds.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
omsinds.2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ch ) )
omsinds.3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
omsinds  |-  ( A  e.  om  ->  ch )
Distinct variable groups:    x, A    ch, x    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    A( y)

Proof of Theorem omsinds
Dummy variables  w  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsinds.2 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ch ) )
2 suceq 4220 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  suc  w  =  suc  (/) )
32raleqdv 2568 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x  e.  suc  w ph  <->  A. x  e.  suc  (/) ph )
)
4 suceq 4220 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  suc  w  =  suc  k )
54raleqdv 2568 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  ( A. x  e.  suc  w ph  <->  A. x  e.  suc  k ph ) )
6 suceq 4220 . . . 4  |-  ( w  =  suc  k  ->  suc  w  =  suc  suc  k )
76raleqdv 2568 . . 3  |-  ( w  =  suc  k  -> 
( A. x  e. 
suc  w ph  <->  A. x  e.  suc  suc  k ph ) )
8 suceq 4220 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  suc  w  =  suc  A )
98raleqdv 2568 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  ( A. x  e.  suc  w ph  <->  A. x  e.  suc  A
ph ) )
10 ral0 3379 . . . . . 6  |-  A. y  e.  (/)  ps
11 omsinds.3 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph ) )
1211rgen 2428 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  om  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph )
13 peano1 4399 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  om
1410nfth 1398 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. y  e.  (/)  ps
15 nfsbc1v 2856 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x [. (/)  /  x ]. ph
1614, 15nfim 1509 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( A. y  e.  (/)  ps  ->  [. (/)  /  x ]. ph )
17 raleq 2562 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. y  e.  x  ps  <->  A. y  e.  (/)  ps )
)
18 sbceq1a 2847 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  [. (/)  /  x ]. ph )
)
1917, 18imbi12d 232 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  x  ps  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  (/)  ps  ->  [. (/)  /  x ]. ph )
) )
2016, 19rspc 2716 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( A. x  e.  om  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  (/)  ps  ->  [. (/)  /  x ]. ph )
) )
2113, 20ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  om  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  (/)  ps  ->  [. (/)  /  x ]. ph )
)
2212, 21ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  (/)  ps  ->  [. (/)  /  x ]. ph )
2310, 22ax-mp 7 . . . . 5  |-  [. (/)  /  x ]. ph
24 ralsns 3476 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( A. x  e.  { (/) } ph  <->  [. (/)  /  x ]. ph )
)
2513, 24ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  { (/) } ph  <->  [. (/)  /  x ]. ph )
2623, 25mpbir 144 . . . 4  |-  A. x  e.  { (/) } ph
27 suc0 4229 . . . . 5  |-  suc  (/)  =  { (/)
}
2827raleqi 2566 . . . 4  |-  ( A. x  e.  suc  (/) ph  <->  A. x  e.  { (/) } ph )
2926, 28mpbir 144 . . 3  |-  A. x  e.  suc  (/) ph
30 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  A. x  e.  suc  k ph )
31 peano2 4400 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  om  ->  suc  k  e.  om )
3231adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  suc  k  e.  om )
33 omsinds.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
3433cbvralv 2590 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  suc  k ph  <->  A. y  e.  suc  k ps )
3530, 34sylib 120 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  A. y  e.  suc  k ps )
36 nfv 1466 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. y  e.  suc  k ps
37 nfsbc1v 2856 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [. suc  k  /  x ]. ph
3836, 37nfim 1509 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( A. y  e. 
suc  k ps  ->  [.
suc  k  /  x ]. ph )
39 raleq 2562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  k  -> 
( A. y  e.  x  ps  <->  A. y  e.  suc  k ps )
)
40 sbceq1a 2847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  k  -> 
( ph  <->  [. suc  k  /  x ]. ph ) )
4139, 40imbi12d 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  k  -> 
( ( A. y  e.  x  ps  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  suc  k ps  ->  [.
suc  k  /  x ]. ph ) ) )
4238, 41rspc 2716 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  k  e.  om  ->  ( A. x  e.  om  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  suc  k ps  ->  [. suc  k  /  x ]. ph )
) )
4312, 42mpi 15 . . . . . . . 8  |-  ( suc  k  e.  om  ->  ( A. y  e.  suc  k ps  ->  [. suc  k  /  x ]. ph )
)
4432, 35, 43sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  [. suc  k  /  x ]. ph )
45 ralsns 3476 . . . . . . . 8  |-  ( suc  k  e.  om  ->  ( A. x  e.  { suc  k } ph  <->  [. suc  k  /  x ]. ph )
)
4632, 45syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  ( A. x  e.  { suc  k } ph  <->  [. suc  k  /  x ]. ph )
)
4744, 46mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  A. x  e.  { suc  k }
ph )
48 ralun 3180 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  suc  k ph  /\  A. x  e.  { suc  k }
ph )  ->  A. x  e.  ( suc  k  u. 
{ suc  k }
) ph )
4930, 47, 48syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  A. x  e.  ( suc  k  u. 
{ suc  k }
) ph )
50 df-suc 4189 . . . . . . 7  |-  suc  suc  k  =  ( suc  k  u.  { suc  k } )
5150a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  suc  suc  k  =  ( suc  k  u.  { suc  k } ) )
5251raleqdv 2568 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  ( A. x  e.  suc  suc  k ph 
<-> 
A. x  e.  ( suc  k  u.  { suc  k } ) ph ) )
5349, 52mpbird 165 . . . 4  |-  ( ( k  e.  om  /\  A. x  e.  suc  k ph )  ->  A. x  e.  suc  suc  k ph )
5453ex 113 . . 3  |-  ( k  e.  om  ->  ( A. x  e.  suc  k ph  ->  A. x  e.  suc  suc  k ph ) )
553, 5, 7, 9, 29, 54finds 4405 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  A. x  e.  suc  A ph )
56 sucidg 4234 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  suc  A )
571, 55, 56rspcdva 2727 1  |-  ( A  e.  om  ->  ch )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   [.wsbc 2838    u. cun 2995   (/)c0 3284   {csn 3441   suc csuc 4183   omcom 4395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-int 3684  df-suc 4189  df-iom 4396
This theorem is referenced by:  nninfalllem1  11556  nninfsellemqall  11564
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