Theorem omsinds 4659

Description: Strong (or "total") induction principle over om. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
omsinds.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
omsinds.2	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
omsinds.3	|- ( x e. om -> ( A. y e. x ps -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
omsinds	|- ( A e. om -> ch )

Distinct variable groups:   x, A   ch, x   ph, y   ps, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   A( y)

Proof of Theorem omsinds

Dummy variables w k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsinds.2	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
2		suceq 4438	. . . 4 |- ( w = (/) -> suc w = suc (/) )
3	2	raleqdv 2699	. . 3 |- ( w = (/) -> ( A. x e. suc w ph <-> A. x e. suc (/) ph ) )
4		suceq 4438	. . . 4 |- ( w = k -> suc w = suc k )
5	4	raleqdv 2699	. . 3 |- ( w = k -> ( A. x e. suc w ph <-> A. x e. suc k ph ) )
6		suceq 4438	. . . 4 |- ( w = suc k -> suc w = suc suc k )
7	6	raleqdv 2699	. . 3 |- ( w = suc k -> ( A. x e. suc w ph <-> A. x e. suc suc k ph ) )
8		suceq 4438	. . . 4 |- ( w = A -> suc w = suc A )
9	8	raleqdv 2699	. . 3 |- ( w = A -> ( A. x e. suc w ph <-> A. x e. suc A ph ) )
10		ral0 3553	. . . . . 6 |- A. y e. (/) ps
11		omsinds.3	. . . . . . . 8 |- ( x e. om -> ( A. y e. x ps -> ph ) )
12	11	rgen 2550	. . . . . . 7 |- A. x e. om ( A. y e. x ps -> ph )
13		peano1 4631	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
14	10	nfth 1478	. . . . . . . . . 10 |- F/ x A. y e. (/) ps
15		nfsbc1v 3008	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [. (/) / x ]. ph
16	14, 15	nfim 1586	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( A. y e. (/) ps -> [. (/) / x ]. ph )
17		raleq 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( A. y e. x ps <-> A. y e. (/) ps ) )
18		sbceq1a 2999	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ph <-> [. (/) / x ]. ph ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( ( A. y e. x ps -> ph ) <-> ( A. y e. (/) ps -> [. (/) / x ]. ph ) ) )
20	16, 19	rspc 2862	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. om -> ( A. x e. om ( A. y e. x ps -> ph ) -> ( A. y e. (/) ps -> [. (/) / x ]. ph ) ) )
21	13, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( A. x e. om ( A. y e. x ps -> ph ) -> ( A. y e. (/) ps -> [. (/) / x ]. ph ) )
22	12, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( A. y e. (/) ps -> [. (/) / x ]. ph )
23	10, 22	ax-mp 5	. . . . 5 |- [. (/) / x ]. ph
24		ralsns 3661	. . . . . 6 |- ( (/) e. om -> ( A. x e. { (/) } ph <-> [. (/) / x ]. ph ) )
25	13, 24	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( A. x e. { (/) } ph <-> [. (/) / x ]. ph )
26	23, 25	mpbir 146	. . . 4 |- A. x e. { (/) } ph
27		suc0 4447	. . . . 5 |- suc (/) = { (/) }
28	27	raleqi 2697	. . . 4 |- ( A. x e. suc (/) ph <-> A. x e. { (/) } ph )
29	26, 28	mpbir 146	. . 3 |- A. x e. suc (/) ph
30		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> A. x e. suc k ph )
31		peano2 4632	. . . . . . . . 9 |- ( k e. om -> suc k e. om )
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> suc k e. om )
33		omsinds.1	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
34	33	cbvralv 2729	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. suc k ph <-> A. y e. suc k ps )
35	30, 34	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> A. y e. suc k ps )
36		nfv 1542	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x A. y e. suc k ps
37		nfsbc1v 3008	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [. suc k / x ]. ph
38	36, 37	nfim 1586	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( A. y e. suc k ps -> [. suc k / x ]. ph )
39		raleq 2693	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc k -> ( A. y e. x ps <-> A. y e. suc k ps ) )
40		sbceq1a 2999	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc k -> ( ph <-> [. suc k / x ]. ph ) )
41	39, 40	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc k -> ( ( A. y e. x ps -> ph ) <-> ( A. y e. suc k ps -> [. suc k / x ]. ph ) ) )
42	38, 41	rspc 2862	. . . . . . . . 9 |- ( suc k e. om -> ( A. x e. om ( A. y e. x ps -> ph ) -> ( A. y e. suc k ps -> [. suc k / x ]. ph ) ) )
43	12, 42	mpi 15	. . . . . . . 8 |- ( suc k e. om -> ( A. y e. suc k ps -> [. suc k / x ]. ph ) )
44	32, 35, 43	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> [. suc k / x ]. ph )
45		ralsns 3661	. . . . . . . 8 |- ( suc k e. om -> ( A. x e. { suc k } ph <-> [. suc k / x ]. ph ) )
46	32, 45	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> ( A. x e. { suc k } ph <-> [. suc k / x ]. ph ) )
47	44, 46	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> A. x e. { suc k } ph )
48		ralun 3346	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. suc k ph /\ A. x e. { suc k } ph ) -> A. x e. ( suc k u. { suc k } ) ph )
49	30, 47, 48	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> A. x e. ( suc k u. { suc k } ) ph )
50		df-suc 4407	. . . . . . 7 |- suc suc k = ( suc k u. { suc k } )
51	50	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> suc suc k = ( suc k u. { suc k } ) )
52	51	raleqdv 2699	. . . . 5 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> ( A. x e. suc suc k ph <-> A. x e. ( suc k u. { suc k } ) ph ) )
53	49, 52	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( k e. om /\ A. x e. suc k ph ) -> A. x e. suc suc k ph )
54	53	ex 115	. . 3 |- ( k e. om -> ( A. x e. suc k ph -> A. x e. suc suc k ph ) )
55	3, 5, 7, 9, 29, 54	finds 4637	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. suc A ph )
56		sucidg 4452	. 2 |- ( A e. om -> A e. suc A )
57	1, 55, 56	rspcdva 2873	1 |- ( A e. om -> ch )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   [.wsbc 2989   u. cun 3155   (/)c0 3451   {csn 3623   suc csuc 4401   omcom 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-int 3876  df-suc 4407  df-iom 4628

This theorem is referenced by:  nninfalllem1  15739  nninfsellemqall  15746