Theorem plendxnn 13534

Description: The index value of the order slot is a positive integer. This property should be ensured for every concrete coding because otherwise it could not be used in an extensible structure (slots must be positive integers). (Contributed by AV, 30-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
plendxnn	⊢ (le‘ndx) ∈ ℕ

Proof of Theorem plendxnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plendx 13531	. 2 ⊢ (le‘ndx) = ;10
2		10nn 9771	. 2 ⊢ ;10 ∈ ℕ
3	1, 2	eqeltri 2311	1 ⊢ (le‘ndx) ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5372  0cc0 8169  1c1 8170  ℕcn 9283  ;cdc 9756  ndxcnx 13327  lecple 13415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-dec 9757  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-ple 13428

This theorem is referenced by:  prdsex  14149  prdsval  14150  znval  14943  znbaslemnn  14946