Theorem znbaslemnn 14735

Description: Lemma for znbas 14740. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znval2.u	|- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
znval2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znbaslem.e	|- E = Slot ( E ` ndx )
znbaslemnn.nn	|- ( E ` ndx ) e. NN
znbaslem.n	|- ( E ` ndx ) =/= ( le ` ndx )

Assertion

Ref	Expression
znbaslemnn	|- ( N e. NN0 -> ( E ` U ) = ( E ` Y ) )

Proof of Theorem znbaslemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval2.u	. . . 4 |- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
2		zringring 14689	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
3		znval2.s	. . . . . . . 8 |- S = (RSpan ` ℤring )
4		rspex 14570	. . . . . . . . 9 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
6	3, 5	eqeltri 2304	. . . . . . 7 |- S e. _V
7		snexg 4280	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
8		fvexg 5667	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
9	6, 7, 8	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( S ` { N } ) e. _V )
10		eqgex 13888	. . . . . 6 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
11	2, 9, 10	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
12		qusex 13488	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V ) -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) ) e. _V )
13	2, 11, 12	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) ) e. _V )
14	1, 13	eqeltrid 2318	. . 3 |- ( N e. NN0 -> U e. _V )
15		znval2.y	. . . . . 6 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
16		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
17		eqid 2231	. . . . . 6 |- if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
18		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) )
19	3, 1, 15, 16, 17, 18	znval 14732	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> Y = ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) >. ) )
20		plendxnn 13366	. . . . . . 7 |- ( le ` ndx ) e. NN
21	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( le ` ndx ) e. NN )
22		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZRHom ` U ) = ( ZRHom ` U )
23	22	zrhex 14717	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. _V -> ( ZRHom ` U ) e. _V )
24	14, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` U ) e. _V )
25		resexg 5059	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZRHom ` U ) e. _V -> ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V )
27		xrex 10152	. . . . . . . . . 10 |- RR* e. _V
28	27, 27	xpex 4848	. . . . . . . . 9 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
29		lerelxr 8301	. . . . . . . . 9 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
30	28, 29	ssexi 4232	. . . . . . . 8 |- <_ e. _V
31		coexg 5288	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V /\ <_ e. _V ) -> ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) e. _V )
32	26, 30, 31	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) e. _V )
33		cnvexg 5281	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V -> `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V )
34	26, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V )
35		coexg 5288	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) e. _V /\ `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V ) -> ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) e. _V )
36	32, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) e. _V )
37		setsex 13194	. . . . . 6 |- ( ( U e. _V /\ ( le ` ndx ) e. NN /\ ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) e. _V ) -> ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) >. ) e. _V )
38	14, 21, 36, 37	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) >. ) e. _V )
39	19, 38	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> Y e. _V )
40		pleslid 13365	. . . . 5 |- ( le = Slot ( le ` ndx ) /\ ( le ` ndx ) e. NN )
41	40	slotex 13189	. . . 4 |- ( Y e. _V -> ( le ` Y ) e. _V )
42	39, 41	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( le ` Y ) e. _V )
43		znbaslem.e	. . . . 5 |- E = Slot ( E ` ndx )
44		znbaslemnn.nn	. . . . 5 |- ( E ` ndx ) e. NN
45	43, 44	ndxslid 13187	. . . 4 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
46		znbaslem.n	. . . 4 |- ( E ` ndx ) =/= ( le ` ndx )
47	45, 46, 20	setsslnid 13214	. . 3 |- ( ( U e. _V /\ ( le ` Y ) e. _V ) -> ( E ` U ) = ( E ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( le ` Y ) >. ) ) )
48	14, 42, 47	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E ` U ) = ( E ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( le ` Y ) >. ) ) )
49		eqid 2231	. . . 4 |- ( le ` Y ) = ( le ` Y )
50	3, 1, 15, 49	znval2 14734	. . 3 |- ( N e. NN0 -> Y = ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( le ` Y ) >. ) )
51	50	fveq2d 5652	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E ` Y ) = ( E ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( le ` Y ) >. ) ) )
52	48, 51	eqtr4d 2267	1 |- ( N e. NN0 -> ( E ` U ) = ( E ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   _Vcvv 2803   ifcif 3607   {csn 3673   <.cop 3676   X. cxp 4729   `'ccnv 4730   |` cres 4733   o. ccom 4735   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   0cc0 8092   RR*cxr 8272   <_ cle 8274   NNcn 9202   NN0cn0 9461   ZZcz 9540  ..^cfzo 10439   ndxcnx 13159   sSet csts 13160  Slot cslot 13161   lecple 13247   /._s cqus 13463   ~_QG cqg 13836   Ringcrg 14090  RSpancrsp 14564  ℤ_ringczring 14686   ZRHomczrh 14707  ℤ/nℤczn 14709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-addf 8214  ax-mulf 8215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-ec 6747  df-map 6862  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-9 9268  df-n0 9462  df-z 9541  df-dec 9673  df-uz 9817  df-rp 9950  df-fz 10306  df-cj 11482  df-abs 11639  df-struct 13164  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-iress 13170  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-starv 13255  df-sca 13256  df-vsca 13257  df-ip 13258  df-tset 13259  df-ple 13260  df-ds 13262  df-unif 13263  df-0g 13421  df-topgen 13423  df-iimas 13465  df-qus 13466  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-minusg 13667  df-subg 13837  df-eqg 13839  df-cmn 13953  df-mgp 14015  df-ur 14054  df-ring 14092  df-cring 14093  df-rhm 14247  df-subrg 14314  df-lsp 14483  df-sra 14531  df-rgmod 14532  df-rsp 14566  df-bl 14642  df-mopn 14643  df-fg 14645  df-metu 14646  df-cnfld 14653  df-zring 14687  df-zrh 14710  df-zn 14712

This theorem is referenced by:  znbas2  14736  znadd  14737  znmul  14738