Theorem znbaslemnn 14643

Description: Lemma for znbas 14648. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znval2.u	|- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
znval2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znbaslem.e	|- E = Slot ( E ` ndx )
znbaslemnn.nn	|- ( E ` ndx ) e. NN
znbaslem.n	|- ( E ` ndx ) =/= ( le ` ndx )

Assertion

Ref	Expression
znbaslemnn	|- ( N e. NN0 -> ( E ` U ) = ( E ` Y ) )

Proof of Theorem znbaslemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval2.u	. . . 4 |- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
2		zringring 14597	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
3		znval2.s	. . . . . . . 8 |- S = (RSpan ` ℤring )
4		rspex 14478	. . . . . . . . 9 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
6	3, 5	eqeltri 2302	. . . . . . 7 |- S e. _V
7		snexg 4272	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
8		fvexg 5654	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
9	6, 7, 8	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( S ` { N } ) e. _V )
10		eqgex 13798	. . . . . 6 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
11	2, 9, 10	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
12		qusex 13398	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V ) -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) ) e. _V )
13	2, 11, 12	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) ) e. _V )
14	1, 13	eqeltrid 2316	. . 3 |- ( N e. NN0 -> U e. _V )
15		znval2.y	. . . . . 6 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
16		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
17		eqid 2229	. . . . . 6 |- if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
18		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) )
19	3, 1, 15, 16, 17, 18	znval 14640	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> Y = ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) >. ) )
20		plendxnn 13276	. . . . . . 7 |- ( le ` ndx ) e. NN
21	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( le ` ndx ) e. NN )
22		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZRHom ` U ) = ( ZRHom ` U )
23	22	zrhex 14625	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. _V -> ( ZRHom ` U ) e. _V )
24	14, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` U ) e. _V )
25		resexg 5051	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZRHom ` U ) e. _V -> ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V )
27		xrex 10081	. . . . . . . . . 10 |- RR* e. _V
28	27, 27	xpex 4840	. . . . . . . . 9 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
29		lerelxr 8232	. . . . . . . . 9 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
30	28, 29	ssexi 4225	. . . . . . . 8 |- <_ e. _V
31		coexg 5279	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V /\ <_ e. _V ) -> ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) e. _V )
32	26, 30, 31	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) e. _V )
33		cnvexg 5272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V -> `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V )
34	26, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V )
35		coexg 5279	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) e. _V /\ `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V ) -> ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) e. _V )
36	32, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) e. _V )
37		setsex 13104	. . . . . 6 |- ( ( U e. _V /\ ( le ` ndx ) e. NN /\ ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) e. _V ) -> ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) >. ) e. _V )
38	14, 21, 36, 37	syl3anc 1271	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) >. ) e. _V )
39	19, 38	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> Y e. _V )
40		pleslid 13275	. . . . 5 |- ( le = Slot ( le ` ndx ) /\ ( le ` ndx ) e. NN )
41	40	slotex 13099	. . . 4 |- ( Y e. _V -> ( le ` Y ) e. _V )
42	39, 41	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( le ` Y ) e. _V )
43		znbaslem.e	. . . . 5 |- E = Slot ( E ` ndx )
44		znbaslemnn.nn	. . . . 5 |- ( E ` ndx ) e. NN
45	43, 44	ndxslid 13097	. . . 4 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
46		znbaslem.n	. . . 4 |- ( E ` ndx ) =/= ( le ` ndx )
47	45, 46, 20	setsslnid 13124	. . 3 |- ( ( U e. _V /\ ( le ` Y ) e. _V ) -> ( E ` U ) = ( E ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( le ` Y ) >. ) ) )
48	14, 42, 47	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E ` U ) = ( E ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( le ` Y ) >. ) ) )
49		eqid 2229	. . . 4 |- ( le ` Y ) = ( le ` Y )
50	3, 1, 15, 49	znval2 14642	. . 3 |- ( N e. NN0 -> Y = ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( le ` Y ) >. ) )
51	50	fveq2d 5639	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E ` Y ) = ( E ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( le ` Y ) >. ) ) )
52	48, 51	eqtr4d 2265	1 |- ( N e. NN0 -> ( E ` U ) = ( E ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   _Vcvv 2800   ifcif 3603   {csn 3667   <.cop 3670   X. cxp 4721   `'ccnv 4722   |` cres 4725   o. ccom 4727   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   0cc0 8022   RR*cxr 8203   <_ cle 8205   NNcn 9133   NN0cn0 9392   ZZcz 9469  ..^cfzo 10367   ndxcnx 13069   sSet csts 13070  Slot cslot 13071   lecple 13157   /._s cqus 13373   ~_QG cqg 13746   Ringcrg 13999  RSpancrsp 14472  ℤ_ringczring 14594   ZRHomczrh 14615  ℤ/nℤczn 14617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-addf 8144  ax-mulf 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-ec 6699  df-map 6814  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-z 9470  df-dec 9602  df-uz 9746  df-rp 9879  df-fz 10234  df-cj 11393  df-abs 11550  df-struct 13074  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-iress 13080  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-starv 13165  df-sca 13166  df-vsca 13167  df-ip 13168  df-tset 13169  df-ple 13170  df-ds 13172  df-unif 13173  df-0g 13331  df-topgen 13333  df-iimas 13375  df-qus 13376  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577  df-subg 13747  df-eqg 13749  df-cmn 13863  df-mgp 13924  df-ur 13963  df-ring 14001  df-cring 14002  df-rhm 14156  df-subrg 14223  df-lsp 14391  df-sra 14439  df-rgmod 14440  df-rsp 14474  df-bl 14550  df-mopn 14551  df-fg 14553  df-metu 14554  df-cnfld 14561  df-zring 14595  df-zrh 14618  df-zn 14620

This theorem is referenced by:  znbas2  14644  znadd  14645  znmul  14646