Theorem znbaslemnn 15083

Description: Lemma for znbas 15088. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znval2.u	|- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
znval2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znbaslem.e	|- E = Slot ( E ` ndx )
znbaslemnn.nn	|- ( E ` ndx ) e. NN
znbaslem.n	|- ( E ` ndx ) =/= ( le ` ndx )

Assertion

Ref	Expression
znbaslemnn	|- ( N e. NN0 -> ( E ` U ) = ( E ` Y ) )

Proof of Theorem znbaslemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval2.u	. . . 4 |- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
2		zringring 15037	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
3		znval2.s	. . . . . . . 8 |- S = (RSpan ` ℤring )
4		rspex 14920	. . . . . . . . 9 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
6	3, 5	eqeltri 2311	. . . . . . 7 |- S e. _V
7		snexg 4323	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
8		fvexg 5717	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
9	6, 7, 8	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( S ` { N } ) e. _V )
10		eqgex 14083	. . . . . 6 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
11	2, 9, 10	sylancr 418	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
12		qusex 13705	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V ) -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) ) e. _V )
13	2, 11, 12	sylancr 418	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) ) e. _V )
14	1, 13	eqeltrid 2325	. . 3 |- ( N e. NN0 -> U e. _V )
15		znval2.y	. . . . . 6 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
16		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) = ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
17		eqid 2238	. . . . . 6 |- if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
18		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) )
19	3, 1, 15, 16, 17, 18	znval 15080	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> Y = ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) >. ) )
20		plendxnn 13616	. . . . . . 7 |- ( le ` ndx ) e. NN
21	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( le ` ndx ) e. NN )
22		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZRHom ` U ) = ( ZRHom ` U )
23	22	zrhex 15065	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. _V -> ( ZRHom ` U ) e. _V )
24	14, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` U ) e. _V )
25		resexg 5105	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZRHom ` U ) e. _V -> ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V )
27		xrex 10275	. . . . . . . . . 10 |- RR* e. _V
28	27, 27	xpex 4893	. . . . . . . . 9 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
29		lerelxr 8394	. . . . . . . . 9 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
30	28, 29	ssexi 4273	. . . . . . . 8 |- <_ e. _V
31		coexg 5335	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V /\ <_ e. _V ) -> ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) e. _V )
32	26, 30, 31	sylancl 417	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) e. _V )
33		cnvexg 5328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V -> `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V )
34	26, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V )
35		coexg 5335	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) e. _V /\ `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) e. _V ) -> ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) e. _V )
36	32, 34, 35	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) e. _V )
37		setsex 13442	. . . . . 6 |- ( ( U e. _V /\ ( le ` ndx ) e. NN /\ ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) e. _V ) -> ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) >. ) e. _V )
38	14, 21, 36, 37	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) o. <_ ) o. `' ( ( ZRHom ` U ) |` if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) ) ) >. ) e. _V )
39	19, 38	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> Y e. _V )
40		pleslid 13615	. . . . 5 |- ( le = Slot ( le ` ndx ) /\ ( le ` ndx ) e. NN )
41	40	slotex 13437	. . . 4 |- ( Y e. _V -> ( le ` Y ) e. _V )
42	39, 41	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( le ` Y ) e. _V )
43		znbaslem.e	. . . . 5 |- E = Slot ( E ` ndx )
44		znbaslemnn.nn	. . . . 5 |- ( E ` ndx ) e. NN
45	43, 44	ndxslid 13435	. . . 4 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
46		znbaslem.n	. . . 4 |- ( E ` ndx ) =/= ( le ` ndx )
47	45, 46, 20	setsslnid 13462	. . 3 |- ( ( U e. _V /\ ( le ` Y ) e. _V ) -> ( E ` U ) = ( E ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( le ` Y ) >. ) ) )
48	14, 42, 47	syl2anc 415	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E ` U ) = ( E ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( le ` Y ) >. ) ) )
49		eqid 2238	. . . 4 |- ( le ` Y ) = ( le ` Y )
50	3, 1, 15, 49	znval2 15082	. . 3 |- ( N e. NN0 -> Y = ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( le ` Y ) >. ) )
51	50	fveq2d 5702	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E ` Y ) = ( E ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( le ` Y ) >. ) ) )
52	48, 51	eqtr4d 2274	1 |- ( N e. NN0 -> ( E ` U ) = ( E ` Y ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   ifcif 3638   {csn 3709   <.cop 3712   X. cxp 4774   `'ccnv 4775   |` cres 4778   o. ccom 4780   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   0cc0 8185   RR*cxr 8365   <_ cle 8367   NNcn 9313   NN0cn0 9574   ZZcz 9655  ..^cfzo 10566   ndxcnx 13407   sSet csts 13408  Slot cslot 13409   lecple 13497   /._s cqus 13682   ~_QG cqg 14031   Ringcrg 14407  RSpancrsp 14914  ℤ_ringczring 15034   ZRHomczrh 15055  ℤ/nℤczn 15057

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-ec 6813  df-map 6928  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-cj 11629  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-starv 13505  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-ip 13508  df-tset 13509  df-ple 13510  df-ds 13512  df-unif 13513  df-0g 13671  df-topgen 13673  df-iimas 13683  df-qus 13684  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-subg 14032  df-eqg 14034  df-cmn 14179  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-cring 14410  df-rhm 14568  df-subrg 14636  df-lsp 14833  df-sra 14881  df-rgmod 14882  df-rsp 14916  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-fg 14995  df-metu 14996  df-cnfld 15003  df-zring 15035  df-zrh 15058  df-zn 15060

This theorem is used by:  znbas2  15084  znadd  15085  znmul  15086