ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  psmetdmdm GIF version

Theorem psmetdmdm 13909
Description: Recover the base set from a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetdmdm (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = dom dom 𝐷)

Proof of Theorem psmetdmdm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑀 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psmet 13532 . . . . . 6 PsMet = (π‘₯ ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ* β†‘π‘š (π‘₯ Γ— π‘₯)) ∣ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝑦𝑑𝑦) = 0 ∧ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ βˆ€π‘€ ∈ π‘₯ (𝑦𝑑𝑧) ≀ ((𝑀𝑑𝑦) +𝑒 (𝑀𝑑𝑧)))})
21mptrcl 5600 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
3 ispsmet 13908 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V β†’ (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
43biimpa 296 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
52, 4mpancom 422 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
65simpld 112 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
7 fdm 5373 . . . 4 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
87dmeqd 4831 . . 3 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ dom dom 𝐷 = dom (𝑋 Γ— 𝑋))
96, 8syl 14 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ dom dom 𝐷 = dom (𝑋 Γ— 𝑋))
10 dmxpid 4850 . 2 dom (𝑋 Γ— 𝑋) = 𝑋
119, 10eqtr2di 2227 1 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = dom dom 𝐷)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2739   class class class wbr 4005   Γ— cxp 4626  dom cdm 4628  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   β†‘π‘š cmap 6650  0cc0 7813  β„*cxr 7993   ≀ cle 7995   +𝑒 cxad 9772  PsMetcpsmet 13524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-map 6652  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-psmet 13532
This theorem is referenced by:  blfvalps  13970
  Copyright terms: Public domain W3C validator