ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  psmetdmdm GIF version

Theorem psmetdmdm 13695
Description: Recover the base set from a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetdmdm (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)

Proof of Theorem psmetdmdm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psmet 13316 . . . . . 6 PsMet = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑥 × 𝑥)) ∣ ∀𝑦𝑥 ((𝑦𝑑𝑦) = 0 ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑦𝑑𝑧) ≤ ((𝑤𝑑𝑦) +𝑒 (𝑤𝑑𝑧)))})
21mptrcl 5597 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
3 ispsmet 13694 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
43biimpa 296 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
52, 4mpancom 422 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
65simpld 112 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
7 fdm 5370 . . . 4 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
87dmeqd 4828 . . 3 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom dom 𝐷 = dom (𝑋 × 𝑋))
96, 8syl 14 . 2 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → dom dom 𝐷 = dom (𝑋 × 𝑋))
10 dmxpid 4847 . 2 dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
119, 10eqtr2di 2227 1 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2737   class class class wbr 4002   × cxp 4623  dom cdm 4625  wf 5211  cfv 5215  (class class class)co 5872  𝑚 cmap 6645  0cc0 7808  *cxr 7987  cle 7989   +𝑒 cxad 9766  PsMetcpsmet 13308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-map 6647  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-psmet 13316
This theorem is referenced by:  blfvalps  13756
  Copyright terms: Public domain W3C validator