Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  psmetdmdm GIF version

Theorem psmetdmdm 12552
 Description: Recover the base set from a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetdmdm (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)

Proof of Theorem psmetdmdm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psmet 12215 . . . . . 6 PsMet = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ*𝑚 (𝑥 × 𝑥)) ∣ ∀𝑦𝑥 ((𝑦𝑑𝑦) = 0 ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑦𝑑𝑧) ≤ ((𝑤𝑑𝑦) +𝑒 (𝑤𝑑𝑧)))})
21mptrcl 5512 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
3 ispsmet 12551 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
43biimpa 294 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
52, 4mpancom 419 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
65simpld 111 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
7 fdm 5287 . . . 4 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
87dmeqd 4750 . . 3 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom dom 𝐷 = dom (𝑋 × 𝑋))
96, 8syl 14 . 2 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → dom dom 𝐷 = dom (𝑋 × 𝑋))
10 dmxpid 4769 . 2 dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
119, 10eqtr2di 2190 1 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  {crab 2421  Vcvv 2690   class class class wbr 3938   × cxp 4546  dom cdm 4548  ⟶wf 5128  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783   ↑𝑚 cmap 6551  0cc0 7664  ℝ*cxr 7843   ≤ cle 7845   +𝑒 cxad 9607  PsMetcpsmet 12207 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-fv 5140  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-map 6553  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-psmet 12215 This theorem is referenced by:  blfvalps  12613
 Copyright terms: Public domain W3C validator